1、第3课时利用导数证明不等式构造法证明不等式考点1移项作差构造函数证明不等式综合性设函数f (x)ln xx1.(1)讨论f (x)的单调性；(2)证明：当x(1，)时，1x；(3)设c1，证明：当x(0,1)时，1(c1)xcx.(1)解：函数f (x)ln xx1的定义域为(0，)，f (x)1.令f (x)0，解得x1.当0x1时，f (x)0，f (x)单调递增；当x1时，f (x)0，f (x)单调递减(2)证明：由(1)知f (x)在x1处取得最大值，最大值为f (1)0.所以当x1时，ln xx1.故当x(1，)时，0ln xx1，所以1.用代换x得ln 10，所以x.即1x.(3
2、)证明：设g(x)1(c1)xcx，则g(x)c1cxln c.令g(x0)0，解得x0.当xx0时，g(x)0，g(x)单调递增；当xx0时，g(x)0，g(x)单调递减由(2)知1c，故0x01.又g(0)g(1)0，故当0x1时，g(x)0.所以当x(0,1)时，1(c1)xcx.将本例函数改为“f (x)cx(cR) ”若1c2，求证：f (x)0，f (x)1等价于 cx0.设h(x) cx2x1ln x，只需证h(x)0成立h(x)2cx1，1c2.易知2cx2x10有两个异号的根令其正根为x0，则2cxx010.在(0，x0)上h(x)0，则h(x)的最小值为h(x0)cxx01
3、ln x0x01ln x0ln x0.又h(1)2c20，hc30，所以x00，ln x00.因此ln x00，即h(x0)0.所以h(x)0.所以1c2时，f (x)0，则h(x)在(a，b)上单调递增同时h(a)0，即f (x)g(x)或若h(x)0，即f (x)g(x)已知函数f (x)x2(a2)xaln x(aR)(1)求函数yf (x)的单调区间；(2)当a1时，证明：对任意的x0，f (x)exx2x2.(1)解：函数f (x)的定义域是(0，)，f (x)2x(a2).当a0时，f (x)0对任意x(0，)恒成立，所以，函数f (x)在区间(0，)上单调递增当a0时，由f (x
4、)0得x；由f (x)0，得0x.所以函数f (x)在区间上单调递增，在区间上单调递减(2)证明：当a1时，f (x)x2xln x.要证明f (x)exx2x2，只需证明exln x20.设g(x)exln x2，则问题转化为证明对任意的x0，g(x)0.令g(x)ex0，得ex，易知方程有唯一解，不妨设为x0，则x0满足e.当x变化时，g(x)和g(x)变化情况如下表：x(0，x0)x0(x0，)g(x)0g(x)极小值g(x)ming(x0)eln x02x02.因为x00，且x01，所以g(x)min220，因此不等式得证考点2放缩构造法综合性函数f (x)(xb)(exa)(b0)的
5、图象在(1，f (1)处的切线方程是(e1)xeye10.(1)求a，b的值；(2)若m0，证明：f (x)mx2x. (1)解：由(e1)xeye10得切线的斜率为且f (1)0，所以f (1)(1b)0，解得a或b1.又f (x)(xb1)exa，所以f (1)a.若a，则b2e0矛盾；若b1，则a1.故a1，b1.(2)证明：由(1)可知，f (x)(x1)(ex1)由m0，可得xmx2x.令g(x)(x1)(ex1)x，则g(x)(x2)ex2.当x2时，g(x)2时，设h(x)g(x)(x2)ex2，则h(x)(x3)ex0，故函数g(x)在(2，)上单调递增又g(0)0，所以当x(
6、，0)时，g(x)0，函数g(x)在区间(0，)上单调递增所以g(x)ming(0)0.所以g(x)g(0)0，所以(x1)(ex1)xmx2x，故f (x)mx2x.关于放缩构造法证明不等式导数的综合应用题中，最常见的就是ex和ln x与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负常见的放缩不等式如下：(1)ex1x，当且仅当x0时取等号；(2)exex，当且仅当x1时取等号；(3)当x0时，ex1xx2 ，当且仅当x0时取等号；(4)当x0时，exx21, 当且仅当x0时取等号；(5)ln xx1x2x，当且仅当x1时取等号；(6
7、)当x1时，ln x，当且仅当x1时取等号(2020全国卷)已知函数f (x)sin2xsin 2x.(1)讨论f (x)在区间(0，)的单调性；(2)证明：；(3)设nN*，证明：sin2xsin22xsin24xsin22nx.(1)解：f (x)sin2xsin 2x2sin3xcos x，则f (x)2(3sin2xcos2xsin4x)2sin2x(3cos2xsin2x)2sin2x(4cos2x1)2sin2x(2cos x1)(2cos x1)f (x)0在(0，)上的根为x1，x2.当x时，f (x)0，f (x)单调递增；当x时，f (x)0，f (x)单调递减；当x时，f
8、 (x)0，f (x)单调递增(2)证明：注意到f (x)sin2 (x)sin2(x)sin2xsin 2xf (x)故函数f (x)是周期为的函数结合(1)的结论，计算得f (0)f ()0，f ，f .据此得f (x)max，f (x)min，所以.(3)证明：结合(2)的结论得，所以sin2xsin22xsin24xsin22nx(sin3xsin32xsin34xsin32nx)sin x(sin2xsin 2x)(sin22xsin 4x)(sin22n1xsin 2nx)sin22nx.考点3构造双函数法应用性已知函数f (x)x22x2xex.(1)求函数f (x)的极值(2)
9、当x0时，证明f (x)2xx2x32eln x.(1)解：因为函数f (x)x22x2xex(xR)，所以f (x)2x22ex2xex(2x2)(1ex)由f (x)0，得x1或x0，列表如下：x(，1)1(1,0)0(0，)f (x)00f (x)极小值极大值所以当x1时，f (x)极小值f (1)1221；当x0时，f (x)极大值f (0)0.(2)证明：要证明f (x)2xx2x32eln x即证2exx22x(x0)令g(x)2exx22x(x0)，h(x)(x0)g(x)2(exx1)，g(x)2(ex1)0，所以g(x)在(0，)上单调递增，g(x)g(0)0.所以g(x)在
10、(0，)上单调递增，g(x)g(0)2.h(x)，可得h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，所以h(x)h(e)2.又g(x)与h(x)取最值点不同，所以g(x)h(x)在(0，)恒成立，故2exx22x(x0)所以当x0时，f (x)2xx2x32eln x.构造双函数法证明不等式的适用情形在证明不等式时，若待证不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题，可借助两个函数的最值证明，如证f (x)g(x)在D上恒成立，只需证明f (x)ming(x)max即可已知f (x)xln x.(1)求函数f (x)的最小值；(2)证明：对一切x(0，)，都有ln x成立(1)解：由f (x)xln x，x0，得f (x)ln x1.令f (x)0，得x.当x时，f (x)0，f (x)单调递增所以f (x)的极小值即最小值，为f .(2)证明：问题等价于证明xln x(x(0，)由(1)可知f (x)xln x(x(0，)的最小值是，当且仅当x时取到设m(x)(x(0，)，则m(x).由m(x)1时，m(x)单调递减；由m(x)0，得0x成立