1、2.4等比数列教案（一） 教学目标知识与技能目标1.等比数列的定义；2.等比数列的通项公式过程与能力目标1.明确等比数列的定义；2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道，n中的三个，求另一个的问题教学重点1.等比数列概念的理解与掌握；2.等比数列的通项公式的推导及应用教学难点等差数列等比的理解、把握和应用教学过程一、情境导入： 下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的P48面）1，2，4，8，16，263; 1，； 1，； 对于数列，= ; =2（n2）对于数列， =；（n2）对于数列，= ; =20（n2）共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数二、检查预习1等
2、比数列的定义2.等比数列的通项公式: ， ， 3an成等比数列4求下面等比数列的第4项与第5项：（1）5，15，45，；（2）1.2，2.4，4.8，；（3），.三、合作探究（1）等比数列中有为0的项吗？ （2）公比为1的数列是什么数列？（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？（4）常数列都是等比数列吗？四交流展示等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q表示（q0），即：=q（q0）注：(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q； 成等比数列=q（，q0）(2) 隐含：任一项(3) q=
3、1时，an为常数数列 （4）既是等差又是等比数列的数列：非零常数列2.等比数列的通项公式1: 观察法：由等比数列的定义，有：； ； 迭乘法：由等比数列的定义，有：；所以，即等比数列的通项公式2: 五精讲精练例1一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.解： 点评：考察等比数列项和通项公式的理解变式训练一：教材第52页第1例2求下列各等比数列的通项公式： 解：(1) (2)点评：求通项时，求首项和公比变式训练二 ：教材第52页第2例3教材P50面的例1。例4 已知无穷数列， 求证：（1）这个数列成等比数列； （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的； （3）这个数列的任
4、意两项的积仍在这个数列中证：（1）（常数）该数列成等比数列 （2），即： （3）， 且，（第项） 变式训练三：教材第53页第3、4题六、课堂小结： 1.等比数列的定义；2.等比数列的通项公式及变形式七、板书设计八、课后作业阅读教材第4850页； 2.4等比数列教案（二） 授课类型：新授教学目标知识与技能目标进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；过程与能力目标利用等比数列通项公式寻找出等比数列的一些性质方法与价值观培养学生应用意识教学重点，难点（1）等比数列定义及通项公式的应用；（2）灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题教学过程二问题情境1情境：在等比数列中，（1）是否成立？是否成立
5、？（2）是否成立？2问题：由情境你能得到等比数列更一般的结论吗？三学生活动对于（1），成立同理 ：成立对于（2），成立一般地：若，则四建构数学1若为等比数列，则由等比数列通项公式得：，故且， ，2若为等比数列，则由等比数列的通项公式知：，则 五数学运用1例题：例1（1）在等比数列中，是否有（）？ （2）在数列中，对于任意的正整数（），都有，那么数列一定是等比数列解：（1）等比数列的定义和等比数列的通项公式数列是等比数列，即（）成立（2）不一定例如对于数列，总有，但这个数列不是等比数列例2 已知为，且，该数列的各项都为正数，求的通项公式。解：设该数列的公比为，由得，又数列的各项都是正数，故，则
6、例3已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。解：由题意可以设这三个数分别为，得：，即得或，或， 故该三数为：1，3，9或，3，或9，3，1或，3，说明：已知三数成等比数列，一般情况下设该三数为例4 如图是一个边长为的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图形（2），如此继续下去，得图形（3）求第个图形的边长和周长解：设第个图形的边长为，周长为由题知，从第二个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形的边长的，数列是等比数列，首项为，公比为要计算第个图形的周长，只要计算第个图形的边数第一个图形的边数为，从第二个图形起，每一个图形的边数
7、均为上一个图形的边数的倍，第个图形的边数为2练习：1已知是等比数列且，则 2已知是等比数列，且公比为整数，则 3已知在等比数列中，则 五回顾小结：1等比数列的性质（要和等差数列的性质进行类比记忆）六课外作业：书练习第1，2题，习题第6，8，9，10题七板书设计课内探究学案（一 ）学习目标1.明确等比数列的定义；2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道，n中的三个，求另一个的问题教学重点1.等比数列概念的理解与掌握；2.等比数列的通项公式的推导及应用教学难点等差数列等比的理解、把握和应用（二）学习过程1、自主学习、合作探究1.等差数列的证明：（）；（、），；证明为常数（对于适用）；证明。2.当引入
8、公比辅助解题或作为参数时，注意考虑是否需要对和进行分类讨论。3.证明数列是等比数列、不是等比数列，讨论数列是否等比数列，求解含参等比数列中的参数这四类问题同源。4.注意巧用等比数列的主要性质，特别是（）和（）。5. 三数成等比数列，一般可设为、；四数成等比数列，一般可设为、；五数成等比数列，一般可设为、。2、精讲点拨三、典型例题例1 数列为各项均为正数的等比数列，它的前项和为80，且前项中数值最大的项为54，它的前项和为6560，求首项和公比。解：若，则应有，与题意不符合，故。依题意有：得即得或（舍去），。由知，数列的前项中最大，得。将代入（1）得 （3），由得，即 （4），联立（3）（4）解
9、方程组得。例2 （1）已知为等比数列，求的通项公式。（2）记等比数列的前项和为，已知，求和公比的值。解：（1）设等比数列的公比为（），则，即也即，解此关于的一元方程得或。，或。（2）在等比数列中，有，又，联立解得或，由此知，而，从而解得或。例3 已知数列，其中，且数列（为常数）为等比数列，求常数。解：为等比数列，那么，将代入并整理得，解之得或。例4 设、是公比不相等的两个等比数列，证明数列不是等比数列。解：设、分别是公比为、（）的两个等比数列，要证明不是等比数列，我们只需证即可。事实上，又、，数列不是等比数列。3、反思总结 4当堂检测1.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是( ) 2.已
10、知是等比数列，则 3.若实数、成等比数列，则函数与轴的交点的个数为（ ） 无法确定4. 在数列中，且是公比为（）的等比数列，该数列满足（），则公比的取值范围是（ ） 5.设数列满足（，），且，则_。6.设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则_。7.设是由正数组成的等比数列，公比，且，则_。8.设两个方程、的四个根组成以2为公比的等比数列，则_。9.设数列为等比数列，已知，。（1）求等比数列的首项和公比；（2）求数列的通项公式。10.设数列的前项和为，已知（1）证明：当时，是等比数列；（2）求的通项公式。11.已知数列和满足：，其中为实数，为正整数。（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；（2
11、）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（3）设,为数列的前项和。是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。【当堂检测】1. 解析：设数列的公比为，那么，函数（）的值域为，从而求得的取值范围。2. 解析：等比数列的公比，显然数列也是等比数列，其首项为，公比，。3. 解析：、成等比数列，二次函数的判别式，从而函数与轴无交点。4. ，而，即，解得，而，故公比的取值范围为。5. 解析：，即，也即，从而数列是公比为的等比数列。6.解析：的两根分别为和，从而、，。7.解析：，。8.解析：设该等比数列为、， ，从而、，。9.解：（1）对于等式，令得；令得，。（2）
12、，则 得 得：。10.解：（1）证明：由题意知，且，两式相减得，即 当时，由知，于是又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。（2）当时，由（1）知，即； 当时，由得11.解：（1）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有，即，矛盾。所以不是等比数列.（2）解： 。又，所以当时，这时不是等比数列；当时，由上可知，。故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列。（3）由（2）知，当时，不满足题目要求。，故知，可得，要使对任意正整数成立，即，得 令，则当为正奇数时，；当为正偶数时，。所以的最大值为，最小值为。于是，由式得。当时，由知，不存在实数满足题目要求；当时，存在实数，使得对任意正整数，都有，且的
13、取值范围是。等比数列学案一、课前预习（一）预习目标1.理解等比数列的定义；2.了解等比数列的通项公式（二）自我探究下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的P48面）1，2，4，8，16，263; 1，； 1，； 对于数列，= ; =2（n2）对于数列， =；（n2）对于数列，= ; =20（n2）共同特点： (1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q； 成等比数列=q（，q0）(2) 隐含：任一项(3) q=1时，an为常数数列 （4）既是等差又是等比数列的数列：非零常数列（四）提出疑惑 （五）预习内容1、等比数列的定义 2、等比数列的通项公式 1. 如果一个数列从第二项起，
14、每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做该等比数列的公比，我们通常用字母（）表示。数学语言描述：对于数列，如果满足（、，为常数，），那么为等比数列。2.当等比数列的公比时。该等比数列为常数列。3.等比数列的通项公式：，对于等比数列的通项公式，我们有以下结论：；（，此结论对于有意义时适用）。4. 等比数列的增减性：若，当时，等比数列为递增数列；当时，等比数列为递减数列；当时，等比数列的增减性无法确定（摆动数列）。若，当时，等比数列为递减数列；当时，等比数列为递增数列；当时，等比数列的增减性无法确定（摆动数列）。5. 如果在数和中间插入一个数，使得、三数成等比
15、数列，那么我们就称数为数和的等比中项，且。6.等比数列的前项和公式设数列是公比为的等比数列，那么该数列的前项和。7.等比数列的主要性质：（1）在等比数列中，若，则；（2）在等比数列中，若，则；（3）对于等比数列，若数列是等差数列，则数列也是等比数列；（4）若数列是等比数列，则对于任意实数，数列、也是等比数列；（5）若数列是等比数列且，则数列也是等比数列；（6）若数列是等比数列且，则数列为等差数列；（7）若数列和都是等比数列，则数列也是等比数列；（8）若是等比数列的前项和，则、成等比数列，其公比为；四、课堂同步训练1.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是( ) 2.已知是等比数列，则 3.
16、若实数、成等比数列，则函数与轴的交点的个数为（ ） 无法确定4. 在数列中，且是公比为（）的等比数列，该数列满足（），则公比的取值范围是（ ） 5.设数列满足（，），且，则_。6.设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则_。7.设是由正数组成的等比数列，公比，且，则_。8.设两个方程、的四个根组成以2为公比的等比数列，则_。9.设数列为等比数列，已知，。（1）求等比数列的首项和公比；（2）求数列的通项公式。10.设数列的前项和为，已知（1）证明：当时，是等比数列；（2）求的通项公式。11.已知数列和满足：，其中为实数，为正整数。（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；（2）试判断数列是否为等比
17、数列，并证明你的结论；（3）设,为数列的前项和。是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。【同步训练参考答案】1. 解析：设数列的公比为，那么，函数（）的值域为，从而求得的取值范围。2. 解析：等比数列的公比，显然数列也是等比数列，其首项为，公比，。3. 解析：、成等比数列，二次函数的判别式，从而函数与轴无交点。4. ，而，即，解得，而，故公比的取值范围为。5. 解析：，即，也即，从而数列是公比为的等比数列。6.解析：的两根分别为和，从而、，。7.解析：，。8.解析：设该等比数列为、， ，从而、，。9.解：（1）对于等式，令得；令得，。（2），则 得 得：。10.解：（1）证明：由题意知，且，两式相减得，即 当时，由知，于是又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。（2）当时，由（1）知，即； 当时，由得故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列。（3）由（2）知，当时，不满足题目要求。，故知，可得，要使对任意正整数成立，即，得 令，则当为正奇数时，；当为正偶数时，。所以的最大值为，最小值为。于是，由式得。当时，由知，不存在实数满足题目要求；当时，存在实数，使得对任意正整数，都有，且的取值范围是。
