1、第二节空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求：1借助长方体，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义2了解可以作为推理依据的基本事实和定理3能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题一、教材概念结论性质重现1平面的基本性质基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内三点不一定能确定一个平面当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线基本事实4：平行于同一条直线的两
2、条直线平行2空间中直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类1两条异面直线不能确定一个平面2不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O分别作直线aa，bb，把直线a与b所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：(3)等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况4常用结论(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(2)过直线外一点有且只有一个平面与
3、已知直线垂直(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直二、基本技能思想活动经验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a()(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过点A的任意一条直线()(3)没有公共点的两条直线是异面直线()(4)若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是异面直线()2已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A一定是异面直线B一定是相交直线C不可能是平行直线D不可能是相交直线C解析：由已知得直线c与b可能为异面直线也可能
4、为相交直线，但不可能为平行直线若bc，则ab，与已知a，b为异面直线相矛盾3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A30 B45 C60 D90C解析：连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1EF，故D1B1C为所求角，又B1D1B1CD1C，所以D1B1C604已知互相垂直的平面，交于直线l若直线m，n满足m，n，则()Aml BmnCnl DmnC解析：由已知，l，所以l又因为n，所以nl，C正确5下列关于异面直线的说法正确的是_(填序号)若a，b，则a与b是异面直线；若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；若
5、a，b不同在平面内，则a与b异面；若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面解析：中的两条直线还有可能平行或相交，由异面直线的定义可知中说法正确考点1平面的基本性质综合性(1)在三棱锥ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点如果EFHGP，则点P()A一定在直线BD上B一定在直线AC上C在直线AC或BD上D不在直线AC上，也不在直线BD上B解析：如图所示，因为EF平面ABC，HG平面ACD，EFHGP，所以P平面ABC，P平面ACD又因为平面ABC平面ACDAC，所以PAC(2)如图，若直线l与平面相交于点O，A，Bl，C，D，且ACBD，则O，C，D三点的位置关系是_共线
6、解析：因为ACBD，所以AC与BD确定一个平面，记作平面，则直线CD因为lO，所以O又因为OAB，所以O直线CD，所以O，C，D三点共线共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：一是先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；二是证明两平面重合(2)证明共线的方法：一是先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；二是直接证明这些点都在同一条特定直线上(3)证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()D解析：A、B、C图中四点一定共面，D中四点不共面考点2异面直
7、线所成的角综合性已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()ABC DB解析：如图，设BC的中点为D，连接A1D，AD，A1B，易知A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角(或其补角)设三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长均为1，则AD，A1D，A1B 由余弦定理，得cosA1AB本例的条件改为“在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11”，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_解析：把三棱柱ABCA1B1C1补成四棱柱ABCDA1B1C1D1，如图所示连接C1D，BD，则
8、AB1与BC1所成的角为BC1D(或其补角)由题意可知BC1，BD，C1DAB1可知BCBD2C1D2，所以BC1D为直角三角形，所以cosBC1D用平移法求异面直线所成的角的步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角(3)三求：解三角形，求出所作的角如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角(2021全国乙卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为()A B C DD解析：方法一：如图，连接BC1，A1C1，易知AD1BC1，所以直线PB与AD1所成
9、的角即为直线PB与BC1所成的角，即PBC1不妨设该正方体的棱长为2a，则BC12a，PC1PB1a，PBa，所以BCPCPB2，所以C1PB90，则sinPBC1，所以PBC1故选D方法二：如图，连接A1B，BC1，A1C1，易证四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1BC1，因此PBC1为异面直线PB与AD1所成的角易知A1BC1为等边三角形，所以A1BC1在正方形A1B1C1D1中因为P是B1D1的中点，所以P是A1C1的中点，所以PBC1A1BC1故选D考点3空间两条直线的位置关系综合性考向1异面直线的判断如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD是正三角形，平面ECD平面ABCD，M
10、是线段ED的中点，则() ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线B解析：如图，取CD的中点F，连接EF，EB，BD，FN，MC因为CDE为正三角形，所以EFCD设CD2，则EF，MC因为点N是正方形ABCD的中心，所以BD2，NF1，BCCD因为平面ECD平面ABCD，所以EF平面ABCD，BC平面ECD，所以EFNF，BCCM，所以在RtEFN中，EN2，在RtMCB中，BM，所以BMEN易知BM，EN是相交直线故选B考向2平行或相交直线的判定如图，在正方体ABCDA1B1C1D
11、1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E2ED，CF2FA，则EF与BD1的位置关系是()A相交但不垂直 B相交且垂直C异面 D平行D解析：如图，连接D1E并延长，与AD交于点M，由A1E2ED，可得M为AD的中点连接BF并延长，交AD于点N因为CF2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且，所以，所以EFBD11空间中两直线位置关系的判定方法2异面直线的判定定理平面外一点与平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线1已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则()Am与n异面Bm与n相交Cm与n平行Dm与n异面、相交、平行均有可能D解析：在
12、如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是mn1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误2(多选题)如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列结论正确的是()AGH与EF平行BBD与MN为异面直线CGH与MN成60角 DDE与MN垂直BCD解析：把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN故BCD正确3(多选题)(2022临沂二模)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E, F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中成立的是()AEF与BB1垂直 BEF与BD垂直CEF与CD异面 DEF与A1C1异面ABC解析：如图所示，连接A1B，由几何关系可得点E为A1B的中点，且BFFC1由三角形中位线的性质可得EFA1C1，即EF与A1C1不是异面直线，很明显，EF与CD异面，由几何关系可得A1C1BB1，A1C1BD，则EFBB1，EFBD综上可得，选项D中的结论不成立故选ABC
