1、匀变速直线运动的几个重要推论一、 两个重要速度1位移中点速度：在匀变速直线运动中，某段位移内中间位置的瞬时速度v与这段位移的初、末速度v0和vt的关系为v 理论推导：2时间中点速度：做匀变速直线运动的物体在一段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内地的平均速度，还等于这段时间初末速度矢量和的一半。即v。公式推导过程：3 中间时刻的瞬时速度(v)与位移中点的瞬时速度(v)的比较1）在匀速直线运动中：速度时刻不变，vv。2）在匀变速直线运动中：当物体做匀加速直线运动时，由图甲可知vv；当物体做匀减速直线运动时，由图乙可知vv。（在v t图象中，速度图线与时间轴围成的面积表示位移）二、逐差相等：在任
2、意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即xxxIaT2推导：时间T内的位移 x1v0TaT2在时间2T内的位移 x2v02Ta(2T)2则xx1，xx2x1由得xxxaT2此推论常有两方面的应用：一是用以判断物体是否做匀变速直线运动，二是用以求加速度。三、初速度为零的匀加速直线运动的比例关系(1)由vat可得出：在1 s时、2 s时、3 s时、n s时的速度之比为123n。(2)由xat2可得出：在 1 s、2 s、3 s、n s内的位移之比为122232n2。(3)在第1 s内、第2 s内、第3 s内、第n s内的位移之比为12(2212)(3222)n2(n1)2135(2n1
3、)。(4)由xat2得t ，故通过位移1 m、2 m、3 m、n m 所用时间之比为1。(5)通过位移第1 m、第2 m、第3 m、第n m所用时间之比为1(1)()()。例1光滑斜面的长度为L，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为t，则下列说法不正确的是()A物体运动全过程中的平均速度是B物体在时的瞬时速度为是C物体运动到斜面中点时瞬时速度为是D物体从顶点运动到斜面中点所需的时间是思路探究(1)匀变速直线运动中，中间时刻速度与初、末速度的关系是？提示：v(2)匀变速直线运动中，中间位置的速度与初、末速度的关系式是？提示：v 解析全程的平均速度v，A正确；时，物体的速度等于全
4、程的平均速度，B错误；若末速度为v，则，v，中间位置的速度v，C正确；设物体加速度为a，到达中间位置用时t，则Lat2，at2，所以tt，D正确，B错误。答案B例2滑雪者以某一初速度冲上斜面做匀减速直线运动，到达斜面顶端时的速度为零。已知滑雪者通过斜面中点时的速度为v，则滑雪者在斜面上的平均速度大小为()A.v B(1)v C.v D.v解析：选D利用中间位置速度v 这一推论得v ，v0v，滑雪者在斜面上的平均速度v，D正确。例3物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第4 s内与第2 s 内的位移之差是4 m，则可知()A第1 s内的位移为2 mB第2 s末的速度为4 m/sC物体运动的加速度为
5、1 m/s2D物体在第5 s内的平均速度为9 m/s解析：选BD设物体的加速度为a，第4 s内的位移x4a42a32a，第2 s内位移x2a22a12a，由题意可得4 x4x22a，所以a2 m/s2，C错误；第1 s内的位移x1212 m1 m，A错误；第2 s末的速度v222 m/s4 m/s，B正确；第5 s内的位移x5252 m242 m9 m，所以平均速度为9 m/s，D正确。例4汽车刹车后做匀减速直线运动，经过3 s停止运动，那么汽车在先后连续相等的三个1 s内通过的位移之比x1x2x3为()A123B531C149 D321解析：选B刹车过程的逆过程是初速度为零的匀加速直线运动。
6、根据初速度为零的匀加速直线运动的特点，该逆过程在三个连续1 s内的位移之比为135，所以刹车过程在连续相等的三个1 s内的位移之比为531。例5如图所示，光滑斜面AE被分为四个相等的部分，一物体从A点由静止释放，它沿斜面向下做匀加速运动，依次通过B、C、D点，最后到达底端E点。下列说法正确的是()A物体通过各点的瞬时速度之比为vBvCvDvE12B物体通过每一部分时，其速度增量vBvAvCvBvDvCvEvDC物体由A点到各点所经历的时间之比为tBtCtDtE12D下滑全程的平均速度vB解析：选ACD物体做初速度为零的匀加速直线运动。由v22ax得v，A正确；同时vBvAvB，vCvB(1)v
7、B，vDvC()vB，vEvD(2)vB，B错误；又由vat知tBtCtDtEvBvCvDvE，C正确；因tBtE12，即tABtBE，vB为AE段的中间时刻的速度，故vB，D正确。例6一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度和末速度及其加速度。思路探究(1)试分析并画出物体运动的草图？提示：画出该物体的运动过程如图所示，物体由A经B到C，其中B是中间时刻。(2)两段位移在时间上有什么特点？提示：两段位移在时间上相等且在先后连续。解析方法一：基本公式法由位移公式得：x1vATaT2x2vA2Ta(2T)2vCv
8、Aa2T将x124 m，x264 m，T4 s代入，解得a2.5 m/s2，vA1 m/s，vC21 m/s方法二：用平均速度公式法连续两段时间T内的平均速度分别为：1 m/s6 m/s2 m/s16 m/s由于B是A、C的中间时刻，则1，2又vB m/s11 m/s解得vA1 m/s，vC21 m/s其加速度a m/s22.5 m/s2方法三：用逐差法由xaT2可得a m/s22.5 m/s2又x1vATaT2vCvAa2T由解得vA1 m/s，vC21 m/s答案1 m/s21 m/s2.5 m/s2总结提能1物体做直线运动，在t时间内通过的位移为x，在中间位置处的速度为v1，在中间时刻处
9、的速度为v2，则v1和v2的关系错误的是()A当物体做匀加速直线运动，v1v2B当物体做匀减速直线运动时，v1v2C当物体做匀速直线运动时，v1v2D当物体做匀减速直线运动时，v1v22一个做匀加速直线运动的物体先后经过A、B两点时的速度分别为v1和v2，则下列结论中正确的有()A物体经过AB位移中点的速度大小为B物体经过AB位移中点的速度大小为 C物体通过AB这段位移的平均速度为D物体通过AB这段位移所用时间的中间时刻的速度为3从静止开始做匀加速直线运动的物体，010 s的位移是10 m，那么在1020 s的位移是()A20 m B30 m C40 m D60 m解析：当t10 s时，xa(
10、2t)2at2at2at23103 m30 m.答案：B4有一列火车正在做匀加速直线运动从某时刻开始计时，第1 min内发现火车前进了180 m，第6 min内发现火车前进了360 m火车的加速度为()A0.01 m/s2 B0.05 m/s2 C36 m/s2 D180 m/s2解析：对于匀变速直线运动在连续相等时间内，位移之差为恒量，即xaT2，在本题中时间T为60 s，x1180 m，x6360 m，则由x6x15aT2，解得a0.01 m/s2. 答案：A5竖直升空的火箭，其速度时间图象如图所示，由图可知以下说法正确的是()A火箭在40 s时速度方向发生变化B火箭上升的最大高度为48
11、000 mC火箭经过120 s落回地面D火箭经过40 s到达最高点解析：火箭在40 s时速度方向没有发生变化，一直沿正方向向上运动，故选项A错误；火箭上升的最大高度h120 s800 m/s48 000 m，故选项B正确；火箭经过120 s上升到最大高度，故选项C、D错误答案：B6完全相同的3块木块并排固定在水平面上，一颗子弹以速度v水平射入，若子弹在木块中做匀减速直线运动，且穿过第3块木块后子弹的速度恰好为零，则子弹依次射入每块木块时的速度之比和穿过每块木块所用的时间之比分别是()Av1v2v3321Bv1v2v31Ct1t2t31Dt1t2t3()(1)1解析：采用逆向转换，将子弹的匀减速
12、直线运动看作反向的初速度为零的匀加速直线运动，可得v1v2v31，选项A错误，B正确；t1t2t3()(1)1，选项C错误，D正确答案：BD7一个做匀加速直线运动的物体，先后经过相距为x的A、B两点时的速度分别为v和7v，从A到B的运动时间为t，则下列说法不正确的是()A经过AB中点的速度为4vB经过AB中间时刻的速度为4vC通过前位移所需时间是通过后位移所需时间的2倍D前时间通过的位移比后时间通过的位移少1.5vt解析：由匀变速直线运动的规律得，物体经过AB中点的速度为v5v，A错误；物体经过AB中间时刻的速度为v4v，B正确；通过前位移所需时间t1，通过后位移所需时间t2，C正确；前时间通
13、过的位移x1vt，后时间通过的位移x2vt，xx2x11.5vt，D正确答案：A8物体自O点由静止开始作匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB2 m，BC3 m，CD4 m且物体通过AB、BC、CD所用时间相等，则OA之间的距离为()A1 m B0.5 m C. m D1.2 m解析：设物体的加速度为a，物体从O到A的时间为t1，从A到B的时间为T，由xaT2得xxBCxAB，则有aT21，由运动学公式有xOAat，xOBat1TaT2xOA2，联立以上各式at1T，则有xOAata2aT2 m故选项C正确答案：C9汽车刹车后做匀减速直线运动，经3s后停止运动，那么，汽车
14、在这连续的三个1s初的速度之比和连续的三个1s内汽车通过的位移之比分别为()Av1v2v3321Bv1v2v3Cx1x2x3321Dx1x2x3531答案：AD解析：将汽车的运动逆向分析，看成初速度为零的匀加速运动，可求得连续三个1s初的速度之比为321，连续三个1s内位移之比为531。10滑雪者以某一初速度冲上斜面做匀减速直线运动(如图)，到达斜面顶端时的速度为零。已知滑块通过斜面中点时的速度为v，则滑块在前一半路程中的平均速度大小为()A.v B(1)v C.v D.v答案：A解析：由题意知：v2aLv22a由解得v，所以A项正确。11一个物体沿着斜面从静止滑下做匀变速直线运动已知它前2
15、s内的位移为3 m，则它在第四个2 s内的位移是()A14 m B21 m C24 m D48 m【解析】前2 s内的位移x1与第四个2 s内的位移x2之比x1x21(241)17，因为x13 m，所以x221 m，B对【答案】B12从静止开始做匀加速直线运动的物体,在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为()A.135B.149 C.123D.1解析:由于第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比x1x2x3=135,而平均速度v=,且三段时间都是1 s,故三段时间内的平均速度之比为135,故选项A正确。答案:A13.(多选)一个物体从静止开始做匀加速直线运动,它走完第1 m所
16、用时间为t1,走完第2 m所用时间为t2,走完第1 m时的速度和走完第2 m时的速度分别为v1和v2,则下列关系正确的是()A.t1t2=1 B.t1t2=1(-1) C.v1v2=12 D.v1v2=1解析:由x=at2可得t1t2=()=1(-1),选项B对,选项A错;由v2-=2ax,可得v1v2=1,选项D对,选项C错。答案:BD14如图所示,在水平面上固定着三个完全相同的木块,一子弹以水平速度v射入木块,若子弹在木块中做匀减速直线运动,当穿透第三个木块时速度恰好为零,则子弹依次射入每个木块时的速度比和穿过每个木块所用时间比正确的是()A.v1v2v3=321 B.v1v2v3=1C.
17、t1t2t3=1 D.t1t2t3=()(-1)1解析:子弹依次射入每块木块做匀减速直线运动直至速度为0,采用逆向思维,子弹向左做匀加速直线运动,初速度为零,设每个木块长为L,则=2aL,=2a2L,=2a3L,v3、v2、v1分别为子弹向左穿透第3个木块后、穿透第2个木块后、穿透第1个木块后的速度,则v1v2v3=1。子弹依次向右射入每个木块时速度比v1v2v3=1,因此选项A、B错误;由v3=at3,v2=a(t2+t3),v1=a(t1+t2+t3),三式联立,得t1t2t3=()(-1)1,因此选项D正确。答案:D15如图所示，物体以4 m/s的速度自斜面底端A点滑上光滑斜面，途经斜面
18、中点C，到达斜面最高点B.已知vAvC43，从C点到B点历时(3) s，试求：(1)物体到达斜面最高点的速度；(2)斜面的长度解析：(1)由已知可知，vAvC43，所以vc3 m/s.又因为C点为AB中点，故vC.即vv2v，可得42v232，所以vB m/s.(2)由xBCt(3) m m得斜面长度x2xBC7 m.答案：(1) m/s(2)7 m1一名观察者站在站台边,火车进站从他身边经过,火车共10节车厢,当第10节车厢完全经过他身边时,火车刚好停下。设火车做匀减速直线运动且每节车厢长度相同,则第8节和第9节车厢从他身边经过所用时间的比值为()A.B. C.(-1)() D.()(-1)
19、解析:运用逆向转化法,将火车的运动看成反向的初速度为零的匀加速直线运动,根据初速度为零的做匀加速直线运动的物体通过连续相等位移所用时间之比,可知选项D正确。答案:D2一个物体从静止开始做匀加速直线运动,它在第1 s 内与在第2 s内位移之比为x1x2,在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1v2,以下说法正确的是()A.x1x2=13,v1v2=12 B.x1x2=13,v1v2=1C.x1x2=14,v1v2=12 D.x1x2=14,v1v2=1解析:从静止开始的匀加速直线运动第1 s内、第2 s内、第3 s内位移之比为135。根据v2=2ax,走完第1 m时与走完第2 m时的速度
20、之比v1v2=1,选项B正确。答案:B3(多选)对于初速度为零的匀加速直线运动，以下说法正确的是()A物体在1 s、3 s、5 s时的速度之比为135B物体在1 s、3 s、5 s内的位移之比为135C物体经过1 m、3 m、5 m时的速度之比为D物体经过1 m、3 m、5 m所用时间之比为【解析】由vat得v t，故物体在1 s、3 s、5 s时的速度之比为135，A对；由xat 2得xt 2，故物体在1 s、3 s、5 s内的位移之比为123252，B错；由v22ax得v ，故物体经过1 m,3 m、5 m时的速度之比为，C对；由xat 2得t ，物体经过1 m、3 m、5 m所用时间之比
21、为，D对【答案】ACD4做匀加速运动的列车出站时，车头经过站台某点O时的速度是1 m/s，车尾经过O点时的速度是7 m/s，则这列列车的中点经过O点时的速度为()A5 m/sB5.5 m/sC4 m/sD3.5 m/s【解析】以火车为参考系，设O点通过列车中点时的速度为v，有v2v2a，vv22a，联立两式得v m/s5 m/s，所以列车中点经过O点的速度为5 m/s.故A正确，B、C、D错误【答案】A5如图241所示，一冰壶以速度v垂直进入两个矩形区域做匀减速运动，且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是(设冰壶可看
22、成质点)()图241Av1v221Bv1v21 Ct1t21Dt1t2(1)1【解析】初速度为零的匀加速直线运动中连续两段相等位移的时间之比为1(1)，故所求时间之比为(1)1，所以C错误，D正确；由vat可得初速度为零的匀加速直线运动中的速度之比为1(1)，则所求的速度之比为(1)1，故A、B错误；故选D.【答案】D6一物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑，设斜面足够长，最初3秒的位移为x1，第2个3秒内的位移为x2，且x2x11.8 m试求：(1)x1、x2分别为多大；(2)物体下滑的加速度；(3)6 s末的速度【解析】由x2x1at2知a m/s20.2 m/s2由x1at0.29 m0.9 m及x2x11.8 m知x2x11.82.7 m.6 s末的速度vat0.26 m/s1.2 m/s【答案】(1)0.9 m2.7 m(2)0.2 m/s2(3)1.2 m/s