1、圆的标准方程【教学目标】1.使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.2.会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生分析、概括的思维能力.3.理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线,从圆外一点引切线,已知切线斜率求切线等.把握运动变化原则,培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点,欣赏和体验圆的对称性,感受数学美.【重点难点
2、】教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程.【课时安排】1课时【教学过程】导入新课课前准备：(用淀粉在一张白纸上画上海和山)说明:在白纸上要表演的是一个小魔术,名称是日出,所以还缺少一个太阳,请学生帮助在白纸上画出太阳.要求其他学生在自己的脑海里也构画出自己的太阳.课堂估计：一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性)；一种作出后有同学觉得不够美(点评:其实每个人心中都有一个自己的太阳,每个人都有自己的审美观点).然后上升到数学层次：不同的圆心和半径对应着不同的圆,进而对应着不同的圆的方程.从用圆规作图复习初中所学圆的定
3、义：到定点的距离等于定长的点的轨迹.那么在给定圆心和半径的基础上,结合我们前面所学的直线方程的求解,应该如何建立圆的方程？教师板书本节课题:圆的标准方程.推进新课新知探究提出问题已知两点A(2,-5),B(6,9),如何求它们之间的距离?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它们之间的距离?具有什么性质的点的轨迹称为圆？图1中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？图1我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,决定圆的条件是什么?如果已知圆心坐标为C(a,b),圆的半径为r,我们如何写出圆的方程?圆的方程形式有什么特
4、点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？讨论结果：根据两点之间的距离公式,得|AB|=,|CD|=.平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径(教师在黑板上画一个圆).圆心C是定点,圆周上的点M是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了.确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为C(a,b),半径为r(其中a、b、r都是常数,r0).设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P=M|MA|=r,由两点间的距离公式让学生写出点M适
5、合的条件=r.将上式两边平方得(x-a)2+(y-b)2=r2.化简可得(x-a)2+(y-b)2=r2.若点M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点M的坐标满足方程,反之若点M的坐标满足方程,这就说明点M与圆心C的距离为r,即点M在圆心为C的圆上.方程就是圆心为C(a,b),半径长为r的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程.这是二元二次方程,展开后没有xy项,括号内变数x,y的系数都是1.点(a,b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为x2+y2=r2.提出问题根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?确定圆的方程的方法和步骤是什么?坐标平面内的点与圆有什么
6、位置关系?如何判断?讨论结果：圆的标准方程(xa)2(yb)2=r2中,有三个参数a、b、r,只要求出a、b、r且r0,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a、b、r的方程组,求a、b、r或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为：1根据题意,设所求的圆的标准方程(xa)2(yb)2=r2；2根据已知条件,建立关于a、b、r的方程组；3解方程组,求出a、b、r的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系的判断方法
7、：当点M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,点M的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.当点M(x0,y0)不在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,点M的坐标不满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:1点到圆心的距离大于半径,点在圆外(x0-a)2+(y0-b)2r2,点在圆外;2点到圆心的距离等于半径,点在圆上(x0-a)2+(y0-b)2=r2,点在圆上;3点到圆心的距离小于半径,点在圆内(x0-a)2+(y0-b)2r2,点在圆内.应用示例例1 写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点,半径是3；圆心在点C(3,4
8、),半径是;(3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)；(4)圆心在点C(1,3),并且和直线3x-4y-7=0相切.解:(1)由于圆心在原点,半径是3,所以圆的标准方程为(x-0)2+(y-0)2=32,即x2+y2=9.(2)由于圆心在点C(3,4),半径是5,所以圆的标准方程是(x-3)2+(y-4)2=(5)2,即(x-3)2+(y-4)2=5.(3)方法一:圆的半径r=|CP|=5,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.方法二:设圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=r2,因为圆经过点P(5,1),所以(5-8)2+(1+3)2=r2,r2=25,因此所求
9、圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25. 这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种方法都可,要视问题的方便而定.(4)设圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=r2,由圆心到直线的距离等于圆的半径,所以r=.因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=.点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.例2 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M1(5,-7),M2(-,-1)是否在这个圆上.解:圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25,把点M1(5,-7),M2(-,-
10、1)分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25,则M1的坐标满足方程,M1在圆上.M2的坐标不满足方程,M2不在圆上.点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上从代数到几何.例3 ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.活动：教师引导学生从圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2入手,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定a、b、r三个参数.另外可利用直线AB与AC的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可
11、求,师生总结、归纳、提炼方法.解法一:设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上,它们的坐标都满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2,于是解此方程组得所以ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.解法二:线段AB的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,所以线段AB的垂直平分线的方程为y+1=(x-6). 同理线段AC的中点坐标为(3.5,-3.5),斜率为3,所以线段AC的垂直平分线的方程为y+3.5=3(x-3.5). 解由组成的方程组得x=2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径r=5,所以ABC的外
12、接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.点评:ABC外接圆的圆心是ABC的外心,它是ABC三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路.拓展提升1.求圆心在直线y=2x上且与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圆的方程.活动:学生思考交流,教师提示引导,求圆的方程,无非就是确定圆的圆心和半径,师生共同探讨解题方法.解:首先两平行线的距离d=2,所以半径为r=1.方法一：设与两直线3x+4y-7=0和3x+4y+3=0的距离相等的直线方程为3x+4y+k=0,由平行线间的距离公式d=,得,即k=-2,所以直线方程为3x+4y-
13、2=0.解3x+4y-2=0与y=2x组成的方程组得,因此圆心坐标为(,).又半径为r=1,所以所求圆的方程为(x-)2+(y-)2=1.方法二：解方程组因此圆心坐标为(,).又半径r=1,所以所求圆的方程为(x-)2+(y-)2=1.点评:要充分考虑各几何元素间的位置关系,把它转化为代数问题来处理.课堂小结圆的标准方程.点与圆的位置关系的判断方法.根据已知条件求圆的标准方程的方法.利用圆的平面几何的知识构建方程.直径端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.作业1.复习初中有关点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系有关内容.2.预习有关圆的切线方程的求法.3.课本习题4.1 A组第2、3题.
