1、2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U=z，A=x|x2x20，xZ，B=1，0，1，2，则图中阴影部分所表示的集合等于（）A1，2B1，0C0，1D1，22复数z满足，则z对应的点位于复平面的（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知f（x）满足对xR，f（x）+f（x）=0，且x0时，f（x）=ex+m（m为常数），则f（ln5）的值为（）A4B4C6D64如图，在空间四边形ABCD（A，B，C，D不共面）中，一个平面与边AB，BC，CD，DA
2、分别交于E，F，G，H（不含端点），则下列结论错误的是（）A若AE：BE=CF：BF，则AC平面EFGHB若E，F，G，H分别为各边中点，则四边形EFGH为平行四边形C若E，F，G，H分别为各边中点且AC=BD，则四边形EFGH为矩形D若E，F，G，H分别为各边中点且ACBD，则四边形EFGH为矩形5等差数列an中，Sn是其前n项和，a1=9， =2，则S10=（）A0B9C10D106设a，bR，则“（ab）a20”是“ab”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是（）ABCD8已知实数x，y满足，记z=m
3、x+y，若z的最大值为f（m），则当m2，4时，f（m）最大值和最小值之和为（）A4B10C13D149在边长为1的正ABC中，D，E是边BC的两个三等分点（D靠近于点B），则等于（）ABCD10已知函数f（x）=sin（x+）（0）的图象关于直线对称且，如果存在实数x0，使得对任意的x都有，则的最小值是（）A4B6C8D1211已知边长为的菱形ABCD中，A=60，现沿对角线BD折起，使得二面角ABDC为120，此时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为（）A20B24C28D3212已知方程|lnx|=kx+1在（0，e3）上有三个不等实根，则实数k的取值范围是（）ABCD二、填
4、空题：本大题共4小题，每小题5分13命题“x0R，asinx0+cosx02”为假命题，则实数a的取值范围是14已知，则=15已知正实数a，b满足a+b=4，则的最小值为16已知函数f（x）=f（0）ex+2x，点P为曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线l上的一点，点Q在曲线y=ex上，则|PQ|的最小值为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知数列an的前n项和为Sn，且对任意正整数n，都有an=+2成立（1）记bn=log2an，求数列bn的通项公式；（2）设cn=，求数列cn的前n项和Tn18已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且=1（1）求角A；
5、（2）若a=4，求b+c的取值范围19在如图所示的三棱锥ABCA1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点（1）求证：DE平面ACC1A1；（2）若ABC为正三角形，且AB=AA1，M为AB上的一点，求直线DE与直线A1M所成角的正切值20已知函数f（x）=exax，a0（1）记f（x）的极小值为g（a），求g（a）的最大值；（2）若对任意实数x恒有f（x）0，求f（a）的取值范围21如图，在四棱锥PABCD中，ABC为正三角形，ABAD，ACCD，PA=AC，PA平面ABCD（1）若E为棱PC的中点，求证PD平面ABE；（2）若AB=3，求点B到平面PCD的距离22已知f（x）=sinx
6、cosxax（1）若f（x）在上单调，求实数a的取值范围；（2）证明：当时，f（x）1在x0，上恒成立2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U=z，A=x|x2x20，xZ，B=1，0，1，2，则图中阴影部分所表示的集合等于（）A1，2B1，0C0，1D1，2【考点】Venn图表达集合的关系及运算【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为B（UA），然后根据集合的基本运算即可【解答】解：A=x|x2x20，xZ=0，1，B=1，0，1，2，全集
7、U=z，由图象可知阴影部分对应的集合为B（UA）=1，2故选：A2复数z满足，则z对应的点位于复平面的（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：复数z满足=，则z对应的点位于复平面第一象限故选：A3已知f（x）满足对xR，f（x）+f（x）=0，且x0时，f（x）=ex+m（m为常数），则f（ln5）的值为（）A4B4C6D6【考点】抽象函数及其应用；函数的值【分析】根据已知可得f（0）=0，进而求出m值，得到x0时，f（x）的解析式，先求出f（ln5），进而可得答案【解答】解：f（x）满足对xR，f（x）
8、+f（x）=0，故f（x）=f（x），故f（0）=0x0时，f（x）=ex+m，f（0）=1+m=0，m=1，即x0时，f（x）=ex1，则f（ln5）=4f（ln5）=f（ln5）=4，故选：B4如图，在空间四边形ABCD（A，B，C，D不共面）中，一个平面与边AB，BC，CD，DA分别交于E，F，G，H（不含端点），则下列结论错误的是（）A若AE：BE=CF：BF，则AC平面EFGHB若E，F，G，H分别为各边中点，则四边形EFGH为平行四边形C若E，F，G，H分别为各边中点且AC=BD，则四边形EFGH为矩形D若E，F，G，H分别为各边中点且ACBD，则四边形EFGH为矩形【考点】平面的
9、基本性质及推论【分析】作出如图的空间四边形，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到一个四边形，可证明其是一个菱形【解答】解：作出如图的空间四边形，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到一个四边形EFGH，由中位线的性质知，EHFG，EFHG故四边形EFGH是平行四边形，又AC=BD，故有HG=AC=BD=EH，故四边形EFGH是菱形故选：C5等差数列an中，Sn是其前n项和，a1=9， =2，则S10=（）A0B9C10D10【考点】等差数列的前n项和【分析】利用=2，求出公差，再利用等差数列前n项和公式，即可得出结论【解答】解：设公差为d，=2，dd=2，d=2，a1
10、=9，S10=10（9）+=0，故选：A6设a，bR，则“（ab）a20”是“ab”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义结合不等式问题求出答案即可【解答】解：由（ab）a20，解得：ab，故“（ab）a20”是“ab”的充要条件，故选：C7如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】由已知可得该几何体是一个圆柱与圆锥的组合体，其表面积相当于圆锥的表面积与圆柱侧面积的和，进而得到答案【解答】解：由已知可得该几何
11、体是一个圆柱与圆锥的组合体，其表面积相当于圆锥的表面积与圆柱侧面积的和，圆柱的底面直径为2，半径r=1，高h=2，故侧面积为：2rh=4；圆锥的底面直径为4，半径r=2，高h=1，母线长为：，故表面积为：r（r+l）=（4+2）；故组合体的表面积S=（8+2）；故选：A8已知实数x，y满足，记z=mx+y，若z的最大值为f（m），则当m2，4时，f（m）最大值和最小值之和为（）A4B10C13D14【考点】简单线性规划【分析】由题意作平面区域，化目标函数z=y+mx为y=mx+z，从而结合图象可得目标函数z=y+mx的最大值始终可在一个点上取得，从而解得【解答】解：由题意作平面区域如下，化目标
12、函数z=y+mx为y=mx+z，结合图象可知，当2m4时，目标函数z=y+mx的最大值始终可在点A上取得，由解得，x=2，y=1；即A（2，1）；故z=2m+1，2m4，52m+19，即f（m）最大值和最小值之和为5+9=14，故选：D9在边长为1的正ABC中，D，E是边BC的两个三等分点（D靠近于点B），则等于（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意画出图形，把分别用表示，展开后得答案【解答】解：如图，=60，D，E是边BC的两个三等分点，=故选：C10已知函数f（x）=sin（x+）（0）的图象关于直线对称且，如果存在实数x0，使得对任意的x都有，则的最小值是（）A4B6C8
13、D12【考点】正弦函数的图象【分析】由题意直线是对称轴，对称中心为（，0），不在同一增区间，根据三角函数的性质可求的最小值【解答】解：函数f（x）=sin（x+）（0）的图象关于直线对称且，+=k，+=k，x0+（x0+）+2k由解得=8，=k+，（kZ）由解得：8（1+2k）当k=0时，=8，=，成立，满足题意故得的最小值为8故选C11已知边长为的菱形ABCD中，A=60，现沿对角线BD折起，使得二面角ABDC为120，此时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为（）A20B24C28D32【考点】球的体积和表面积【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，
14、即可求出四面体的外接球的表面积【解答】解：如图所示，AFC=120，AFE=60，AF=3，AE=，EF=设OO=x，则OB=2，OF=1，由勾股定理可得R2=x2+4=（+1）2+（x）2，R2=7，四面体的外接球的表面积为4R2=28，故选：C12已知方程|lnx|=kx+1在（0，e3）上有三个不等实根，则实数k的取值范围是（）ABCD【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】y=kx+1与y=|lnx|的图象在（0，1）一定有一个交点，依题意只需f（x）=kx+1，g（x）=lnx在（1，e3）上有2个交点即可作f（x）=kx+1与g（x）=lnx的图象，利用数形结合的思想求解即可【解答
15、】解：令f（x）=kx+1，g（x）=lnx，y=kx+1与y=|lnx|的图象在（0，1）一定有一个交点，依题意只需f（x）=kx+1，g（x）=lnx在（1，e3）上有2个交点即可作f（x）=kx+1与g（x）=lnx的图象如下 设直线f（x）=kx+1与g（x）=lnx相切于点（a，b）；则k=e2且对数函数g（x）=lnx的增长速度越来越慢，直线f（x）=kx+1过定点（0，1）方程|lnx|=kx+1中取x=e3得k=2e3，则实数k的取值范围是2e3ke2故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13命题“x0R，asinx0+cosx02”为假命题，则实数a的取值范围是（，）
16、【考点】特称命题【分析】原命题为假命题，则原命题的否定为真命题，命题否定为：x0R，asinx0+cosx02；求出原命题否定的a取值范围即可【解答】解：原命题“x0R，asinx0+cosx02”为假命题，则原命题的否定为真命题，命题否定为：x0R，asinx0+cosx02；asinx0+cosx0= sin（x0+）2；则：2a；也即：原命题否定为真命题时，a（，）；故原命题为假时，a的取值范围为（，）故答案为：（，）14已知，则=【考点】三角函数的化简求值【分析】利用同角三角函数关系、诱导公式进行计算【解答】解：，sin（）=，=sin（）=，故答案是：15已知正实数a，b满足a+b=
17、4，则的最小值为【考点】基本不等式【分析】由已知得=（）（a+1）+（b+3）=（+2），由此利用均值不等式能求出结果【解答】解：正实数a，b满足a+b=4，a+11，b+33，a+1+b+3=8，=（）（a+1）+（b+3）=（+2）（2+2）=当且仅当时，取等号，的最小值为故答案为：16已知函数f（x）=f（0）ex+2x，点P为曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线l上的一点，点Q在曲线y=ex上，则|PQ|的最小值为【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出f（x）的导数，令x=0，可得切线l的斜率和切点，切线方程l，再求y=ex导数，由过Q的切线与切线l平行时，距离最短求
18、得切点Q的坐标，运用点到直线的距离公式，即可得到最小值【解答】解：f（x）=f（0）ex+2x，可得f（x）=f（0）ex+2，即有f（0）=f（0）e0+2，解得f（0）=1，则f（x）=ex+2x，f（0）=e0+0=1，则切线l：y=x1，y=ex的导数为y=ex，过Q的切线与切线l平行时，距离最短由ex=1，可得x=0，即切点Q（0，1），则Q到切线l的距离为=故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知数列an的前n项和为Sn，且对任意正整数n，都有an=+2成立（1）记bn=log2an，求数列bn的通项公式；（2）设cn=，求数列cn的前n项和Tn【考点
19、】数列的求和；数列递推式【分析】（1）根据数列的递推公式即可求出数列an为等比数列，根据对数的运算性质可得bn=2n+1，（2）根据裂项求和即可得到答案【解答】解：（1）在中令n=1得a1=8，因为对任意正整数n，都有成立，所以，两式相减得an+1an=an+1，所以an+1=4an，又a10，所以数列an为等比数列，所以an=84n1=22n+1，所以bn=log2an=2n+1，（2）cn=（）所以18已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且=1（1）求角A；（2）若a=4，求b+c的取值范围【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）由正弦定理化简已知，整理可得：b2+c2a2=
20、bc，由余弦定理可得cosA=，结合范围A（0，），即可得解A的值（2）由余弦定理，基本不等式可得：bc48，可得：b+c8，结合三角形两边之和大于第三边，即可得解b+c的取值范围【解答】解：（1）=1由正弦定理可得： =1，整理可得：b2+c2a2=bc，由余弦定理可得：cosA=，A（0，），A=（2）A=，a=4，由余弦定理a2=b2+c22bc，可得：48=b2+c2bc2bcbc=bc，解得：bc48，当且仅当b=c=4时等号成立，又48=b2+c2bc=（b+c）23bc，可得：（b+c）2=48+3bc192，可得：b+c8，又b+ca=4，b+c（4，819在如图所示的三棱锥A
21、BCA1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点（1）求证：DE平面ACC1A1；（2）若ABC为正三角形，且AB=AA1，M为AB上的一点，求直线DE与直线A1M所成角的正切值【考点】异面直线及其所成的角【分析】（1）取AB的中点F，连接DF，EF，推导出DFAC，从而DF平面ACC1A1；再推导出EFAA1，从而EF平面ACC1A1，进而平面DEF平面ACC1A1，由此能证明DE平面ACC1A1（2）推导出平面ABC平面ABB1A1，连接CF，推导出CF平面ABB1A1，取BF的中点G，连接DG，EG，从而DG平面ABB1A1，进而DEG即为直线DE与直线A1M所成角，由此能求出直线D
22、E与直线A1M所成角的正切值【解答】证明：（1）取AB的中点F，连接DF，EF在ABC中，因为D，F分别为BC，AB的中点，所以DFAC，DF平面ACC1A1，AC平面ACC1A1，所以DF平面ACC1A1在矩形ABB1A1中，因为E，F分别为A1B1，AB的中点，所以EFAA1，EF平面 ACC1A1，AA1平面ACC1A1，所以EF平面ACC1A1因为DFEF=F，所以平面DEF平面ACC1A1因为DE平面DEF，所以DE平面ACC1A1解：（2）因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以平面ABC平面ABB1A1，连接CF，因为ABC为正三角形，F为AB中点，所以CFAB，所以CF平面
23、ABB1A1，取BF的中点G，连接DG，EG，可得DGCF，故DG平面ABB1A1，又因为，所以EGA1M，所以DEG即为直线DE与直线A1M所成角设AB=4，在RtDEG中，所以，故直线DE与直线A1M所成角的正切值为20已知函数f（x）=exax，a0（1）记f（x）的极小值为g（a），求g（a）的最大值；（2）若对任意实数x恒有f（x）0，求f（a）的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值g（a）的表达式，根据函数的单调性求出g（a）的最大值即可；（2）通过讨论x的范
24、围，问题转化为，根据函数的单调性求出f（a）的范围即可【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（，+），f（x）=exa，令f（x）0，得xlna，所以f（x）的单调递增区间是（lna，+）；令f（x）0，得xlna，所以f（x）的单调递减区间是（，lna），函数f（x）在x=lna处取极小值，g（a）=1（1+lna）=lna，当0a1时，g（a）0，g（a）在（0，1）上单调递增；当a1时，g（a）0，g（a）在（1，+）上单调递减，所以a=1是函数g（a）在（0，+）上唯一的极大值点，也是最大值点，所以g（a）max=g（1）=1（2）当x0时，a0，exax0恒成立，当x0时，f（x）
25、0，即exax0，即令，当0x1时，h（x）0，当x1时，h（x）0，故h（x）的最小值为h（1）=e，所以ae，故实数a的取值范围是（0，ef（a）=eae2，a（0，e，f（a）=ea2a，由上面可知ea2a0恒成立，故f（a）在（0，e上单调递增，所以f（0）=1f（a）f（e）=eee2，即f（a）的取值范围是（1，eee221如图，在四棱锥PABCD中，ABC为正三角形，ABAD，ACCD，PA=AC，PA平面ABCD（1）若E为棱PC的中点，求证PD平面ABE；（2）若AB=3，求点B到平面PCD的距离【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定【分析】（1）利用线面垂直的
26、判定与性质定理可得CD平面PAC，CDAE利用等腰三角形的性质与线面垂直的判定定理可得：AE平面PCD，可得AEPD利用面面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理可得ABPD，进而证明结论（2）解法一：设点B的平面PCD的距离为d，利用VBPCD=VPBCD即可得出解法二：由（1）可知：建立如图所示的空间直角坐标系，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴过点C作CMAD，垂足为M，设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，利用点B到平面PCD的距离d=即可得出【解答】（1）证明：PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，ACCD，PAAC=A，CD平面PAC，而AE平面PAC，CDAEAC=PA
27、，E是PC的中点，AEPC，又PCCD=C，AE平面PCD，而PD平面PCD，AEPDPA底面ABCD，平面PAD平面ABCD，又ABAD，由面面垂直的性质定理可得BA平面PAD，ABPD，又ABAE=A，PD平面ABE（2）解法一：PA平面ABCD，PAAC，由（1）的证明知，CD平面PAC，CDPC，ABAD，ABC为正三角形，CAD=30，ACCD，设点B的平面PCD的距离为d，则在BCD中，BCD=150，VBPCD=VPBCD，解得，即点B到平面PCD的距离为解法二：由（1）可知：建立如图所示的空间直角坐标系，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴过点C作CMAD，垂足为M，则A（0，0
28、，0），B（3，0，0），C（，0），D（0，2，0），P（0，0，3），=（，0），=（0，2，3），=设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，即，取=（1，2）点B到平面PCD的距离d=22已知f（x）=sinxcosxax（1）若f（x）在上单调，求实数a的取值范围；（2）证明：当时，f（x）1在x0，上恒成立【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论x 范围，求出函数的单调区间，从而求出f（x）的最小值，证出结论即可【解答】解：（1）若f（x）在上单调递增，则当，f（x）0恒成立，当时，此时a1；若f（x）在上单调递减，同理可得所以a的取值范围是（2）时，当x0，时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，存在，使得在0，x0）上f（x）0，在（x0，上f（x）0，所以函数f（x）在0，x0）上单调递增，在（x0，上单调递减故在0，上，f（x）min=minf（0），f（）=1，所以f（x）1在x0，上恒成立2016年12月24日