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2019高考数学(文)二轮培优(全国通用版)讲义:专题二 第2讲 数列求和及综合应用 WORD版含答案.doc

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资源描述

1、第2讲数列求和及综合应用高考定位1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现,通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和,难度中档偏下;2.在考查数列运算的同时,将数列与不等式、函数交汇渗透.真 题 感 悟1.(2017全国卷)设数列an满足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通项公式;(2)求数列的前n项和.解(1)因为a13a2(2n1)an2n,故当n2时,a13a2(2n3)an12(n1),得(2n1)an2,所以an,又n1时,a12适合上式,从而an的通项公式为an.(2)记的前n项和为Sn,由(1)知,则Sn1.2.(2017山东卷)已知an是各项均为正数的等比

2、数列,且a1a26,a1a2a3.(1)求数列an的通项公式;(2)bn为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn,已知S2n1bnbn1,求数列的前n项和Tn.解(1)设an的公比为q,由题意知又an0,解得所以an2n.(2)由题意知:S2n1(2n1)bn1,又S2n1bnbn1,bn10,所以bn2n1.令cn,则cn,因此Tnc1c2cn,又Tn,两式相减得Tn,所以Tn5.考 点 整 合1.(1)数列通项an与前n项和Sn的关系,an(2)应用an与Sn的关系式f(an,Sn)0时,应特别注意n1时的情况,防止产生错误.2.数列求和(1)分组转化求和:一个数列既不是等差数列,也不是等比

3、数列,若将这个数列适当拆开,重新组合,就会变成几个可以求和的部分,分别求和,然后再合并.(2)错位相减法:主要用于求数列anbn的前n项和,其中an,bn分别是等差数列和等比数列.(3)裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式,然后通过累加抵消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如(其中an是各项均不为零的等差数列,c为常数)的数列.温馨提醒裂项求和时,易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误.3.数列与函数、不等式的交汇数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景,给出数列所满足的条件,通常利用点在曲线上给出Sn的表达式,还有以曲线上的切点为背景的问题,解决这类问题的关键在于利用数列

4、与函数的对应关系,将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体,考查最值问题、不等关系或恒成立问题.热点一an与Sn的关系问题【例1】 设数列an的前n项和为Sn,对任意的正整数n,都有an5Sn1成立,bn1log2|an|,数列bn的前n项和为Tn,cn.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列cn的前n项和An,并求出An的最值.解(1)因为an5Sn1,nN*,所以an15Sn11,两式相减,得an1an,又当n1时,a15a11,知a1,所以数列an是公比、首项均为的等比数列.所以数列an的通项公式an.(2)bn1log2|an|2n1,数列bn的前n项和Tnn2,

5、cn,所以An1.因此An是单调递增数列,当n1时,An有最小值A11;An没有最大值.探究提高1.给出Sn与an的递推关系求an,常用思路是:一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.2.形如an1panq(p1,q0),可构造一个新的等比数列.【训练1】 已知数列an的前n项和Sn1an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5,求.(1)证明由题意得a1S11a1,故1,a1,故a10.由Sn1an,Sn11an1,得an1an1an,则an1(1)an,由a10,0得an0,所

6、以.因此an是首项为,公比为的等比数列,于是an.(2)解由(1)得Sn1.由S5得1,即.解得1.热点二数列的求和考法1分组转化求和【例21】 (2018合肥质检)已知等差数列an的前n项和为Sn,且满足S424,S763.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn2an(1)nan,求数列bn的前n项和Tn.解(1)an为等差数列,解得因此an的通项公式an2n1.(2)bn2an(1)nan22n1(1)n(2n1)24n(1)n(2n1),Tn2(41424n)3579(1)n(2n1)Gn.当n为偶数时,Gn2n,Tnn;当n为奇数时,Gn2(2n1)n2,Tnn2,Tn探究提高1.在

7、处理一般数列求和时,一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时,常常根据需要对项数n的奇偶进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式.2.分组求和的策略:(1)根据等差、等比数列分组;(2)根据正号、负号分组.考法2裂项相消法求和【例22】 (2018郑州调研)设Sn为数列an的前n项和,Sn2n25n.(1)求证:数列3an为等比数列;(2)设bn2Sn3n,求数列的前n项和Tn.(1)证明Sn2n25n,当n2时,anSnSn14n3.又当n1时,a1S17也满足an4n3.故an4n3(nN*).由an1an4,得3an1an348

8、1.数列3an是公比为81的等比数列.(2)解bn4n27n,Tn.探究提高1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项,使这些裂开的项出现有规律的相互抵消,要注意消去了哪些项,保留了哪些项.2.消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.【训练2】 (2018日照质检)已知数列an满足a11,an1an2n1(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)设bn,求数列bn的前n项和Sn.解(1)因为anan12n1(n2),又an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1,所以an(2n1)(2n3)31n2(n2).因为a11也满足ann2,所以

9、ann2.(2)因为bn,所以Sn,所以Sn1.考法3错位相减求和【例23】 (2018潍坊一模)公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn,已知S410,且a1,a3,a9成等比数列.(1)求an的通项公式;(2)求数列的前n项和Tn.解(1)设an的公差为d,由题设得解之得a11,且d1.因此ann.(2)令cn,则Tnc1c2cn,Tn,得:Tn,Tn.探究提高1.一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比,然后作差求解.2.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一

10、步准确地写出“SnqSn”的表达式.【训练3】 (2018邯郸调研)已知Sn为等比数列an的前n项和,且S4S33a3,a29.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn(2n1)an,求数列bn的前n项和Tn.解(1)设等比数列an的公比为q,由S4S32a3,可得a4S4S33a3,即q3,又a1q9,可得a13,则数列an的通项公式为ana1qn13n.(2)由(1)知bn(2n1)3n,则数列bn的前n项和Tn13332(2n1)3n,3Tn132333(2n1)3n1,两式相减得2Tn3232333n(2n1)3n132(2n1)3n13n16(12n)3n1(22n)3n16,故Tn

11、(n1)3n13.热点三与数列相关的综合问题【例3】 设f(x)x22x,f(x)是yf(x)的导函数,若数列an满足an1f(an),且首项a11.(1)求数列an的通项公式;(2)数列an的前n项和为Sn,等比数列bn中,b1a1,b2a2,数列bn的前n项和为Tn,请写出适合条件TnSn的所有n的值.解(1)由f(x)x22x,得f(x)x2.an1f(an),且a11.an1an2则an1an2,因此数列an是公差为2,首项为1的等差数列.an12(n1)2n1.(2)数列an的前n项和Snn2,等比数列bn中,b1a11,b2a23,q3.bn3n1.数列bn的前n项和Tn.TnSn

12、可化为n2.又nN*,n1,或n2故适合条件TnSn的所有n的值为1和2.探究提高1.求解数列与函数交汇问题注意两点:(1)数列是一类特殊的函数,其定义域是正整数集(或它的有限子集),在求数列最值或不等关系时要特别重视;(2)解题时准确构造函数,利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明,多与数列的求和相联系,最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.【训练4】 (2018北京燕博园检测)已知数列an满足nan(n1)an12n22n(n2,3,4,),a16.(1)求证为等差数列,并求出an的通项公式;(2)数列的前n项和Sn,求证:Sn.证明(1)因为nan(n1)

13、an12n22n,所以2,所以数列是以3为首项,2为公差的等差数列,所以32(n1)2n1,即an(n1)(2n1).(2)因为,所以Sn1 025的最小n值是()A.9 B.10 C.11 D.12解析因为a11,log2an1log2an1(nN*),所以an12an,an2n1,Sn2n1,则满足Sn1 025的最小n值是11.答案C3.已知Tn为数列的前n项和,若mT101 013恒成立,则整数m的最小值为()A.1 026 B.1 025 C.1 024 D.1 023解析因为1,所以Tnn1,则T101 013111 0131 024,又mT101 013,所以整数m的最小值为1

14、024.答案C4.已知数列an满足an1an2,a15,则|a1|a2|a6|()A.9 B.15 C.18 D.30解析an1an2,a15,数列an是公差为2,首项为5的等差数列.an52(n1)2n7.数列an的前n项和Snn26n.令an2n70,解得n.n3时,|an|an;n4时,|an|an.则|a1|a2|a6|a1a2a3a4a5a6S62S362662(3263)18.答案C5.对于数列an,定义数列an1an为数列an的“差数列”,若a12,数列an的“差数列”的通项公式为an1an2n,则数列an的前n项和Sn()A.2 B.2n C.2n12 D.2n12解析因为an

15、1an2n,所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n,所以Sn2n12.答案C二、填空题6.(2018昆明诊断)数列an满足an,则等于_.解析an,则222.答案7.记Sn为正项数列an的前n项和,且an12,则S2 018_.解析由题意得4Sn(an1)2,当n1时,4a1(a11)2,a11,当n2时,4Sn1(an11)2,得aa2(anan1)0,所以(anan12)(anan1)0,又an0,所以anan12,则an是以1为首项,2为公差的等差数列.所以an2n1,S2 0182 0182.答案2 01828.(2018贵阳质检)已知

16、x表示不超过x的最大整数,例如:2.32,1.52.在数列an中,anlg n,nN,记Sn为数列an的前n项和,则S2 018_.解析当1n9时,anlg n0.当10n99时,anlg n1.当100n999时,anlg n2.当1 000n2 018时,anlg n3.故S2 0189090190021 01934 947.答案4 947三、解答题9.(2018济南模拟)记Sn为数列an的前n项和,已知Sn2n2n,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn,求数列bn的前n项和Tn.解(1)由Sn2n2n,得当n1时,a1S13;当n2时,anSnSn12n2n2(n1)2(n1

17、)4n1.又a13满足上式.所以an4n1(nN*).(2)bn.所以Tn.10.(2018青岛二中检测)已知递增的等比数列an满足a2a312,a1a427.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn(n1)an,求bn的前n项和Sn.解(1)数列an是等比数列,且a2a3a1a427,由得或(舍去).q3,则数列an的通项公式为ana23n23n1.(2)由(1)知bn(n1)3n1,Snb1b2b3bn 230331432(n1)3n13Sn231332433(n1)3n由得,2Sn23132333n1(n1)3n2(n1)3n(2n1)3n,故Sn.11.已知数列an的前n项和为Sn,点(n,Sn)(nN*)均在函数f(x)3x22x的图象上.(1)求数列an的通项公式.(2)设bn,Tn是数列bn的前n项和,求使得2Tn2 018对任意nN*都成立的实数的取值范围.解(1)因为点(n,Sn)均在函数f(x)3x22x的图象上,所以Sn3n22n.当n1时,a1S1321;当n2时,anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5.又a11也满足an6n5,所以an6n5(nN*).(2)因为bn,所以Tn,所以2Tn11.又2Tn2 018对任意nN*都成立,所以12 018,即2 019.故实数的取值范围是2 019,).

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