1、C单元三角函数 C1角的概念及任意的三角函数14C1，C2，C6 设sin 2sin ，则tan 2的值是_14. 方法一：由已知sin 2sin ，即2sin cos sin ，又，故sin 0，于是cos ，进而sin ，于是tan ，所以tan 2.方法二：同上得cos ，又，可得，所以tan 2tan .C2同角三角函数的基本关系式与诱导公式2C2 已知是第二象限角，sin ，则cos ()A B C. D.2A cos .16C2，C5 已知函数f(x)cos，xR.(1)求f的值；(2)若cos ，求f.16解：14C1，C2，C6 设sin 2sin ，则tan 2的值是_14.
2、 方法一：由已知sin 2sin ，即2sin cos sin ，又，故sin 0，于是cos ，进而sin ，于是tan ，所以tan 2.方法二：同上得cos ，又，可得，所以tan 2tan .C3三角函数的图像与性质1C3 函数y3sin的最小正周期为_1 周期为T.17C3 设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x0，.(1)若|a|b|，求x的值；(2)设函数f(x)ab，求f(x)的最大值17解：(1)由|a|2(sin x)2(sin x)24sin2 x，|b|2(cos x)2(sin x)21.及|a|b|，得4sin2 x1.又x0，从而si
3、n x，所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin2x，当x0，时，sin2x取最大值1.所以f(x)的最大值为.9C3 函数yxcos xsin x的图像大致为()图139D f(x)xcos(x)sin(x)(xcos xsin x)f(x)，yxcos xsin x为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B，当x，y10，x，y0)的部分图像如图11所示，则()图11A5 B4C3 D29B 根据对称性可得为已知函数的半个周期，所以2，解得4.9C4 将函数f(x)sin(2x)的图像向右平移(0)个单位长度后得到函数g(x)的图像若f(x)，g(
4、x)的图像都经过点P，则的值可以是()A. B.C. D.9B g(x)f(x)sin，由sin ，0)，且yf(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求的值；(2)求f(x)在区间，上的最大值和最小值18解：(1)f(x)sin2xsin xcos xsin 2xcos 2xsin 2xsin.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又0，所以4.因此1.(2)由(1)知f(x)sin.当x时，2x.所以sin1.因此1f(x).故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，1.6C4 函数f(x)sin2x在区间0，上的最小值为()A1 BC. D06B x，2x，当2x时
5、，f(x)有最小值.图136C4 函数f(x)2sin(x)0，的部分图像如图13所示，则，的值分别是()A2， B2，C4， D4，6A 由半周期，可知周期T，从而2，于是f(x)2sin(2x)当x时，f2，即sin1，于是2k(kZ)，因为，取k0，得.16F3，C4 已知向量a，b(sin x，cos 2x)，xR，设函数f(x)ab.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值16解： f(x)(sin x，cos 2x)cos xsin xcos 2xsin 2xcos 2xcos sin 2xsin cos 2xsin .(1)f(x)的最小正周期为T，即函
6、数f(x)的最小正周期为.(2)0x，2x.由正弦函数的性质，当2x，即x时，f(x)取得最大值1.当2x，即x0时，f(0)，当2x，即x时，f，f(x)的最小值为.因此，f(x)在0，上最大值是1，最小值是.6C4 函数f(x)sin xcos xcos 2x的最小正周期和振幅分别是()A，1 B，2C2，1 D2，26A f(x)sin 2xcos 2xsin2x，则最小正周期为；振幅为1，所以选择A.C5两角和与差的正弦、余弦、正切15C4，C5，C6，C7 已知函数f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若，且f()，求的值15
7、解：(1)因为f(x)(2cos2 x1)sin 2xcos 4xcos 2xsin 2xcos 4x(sin 4xcos 4x)sin，所以f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)因为f()，所以sin1.因为，所以4.所以4.故.16C2，C5 已知函数f(x)cos，xR.(1)求f的值；(2)若cos ，求f.16解：3C5 若sin，则cos ()A BC. D.3C cos 12sin2 ，故选C.17C5，C8，F1 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(AB)cos Bsin(AB)sin(AC).(1)求sin A的值；(2)若a4 ，b5，求向量在方向上
8、的投影17解：(1)由cos(AB)cos Bsin(AB)sin(AC)，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B.则cos(ABB)，即cos A.又0Ab，则AB，故B.根据余弦定理，有(4 )252c225c，解得c1或c7(负值舍去)故向量在方向上的投影为|cos B.16C3、C5、C9 设当x时，函数f(x)sin x2cos x取得最大值，则cos _16 f(x)sin x2cos x，令cos ，sin ，则f(x)sin(x)当2k，即2k(上述k为整数)时，f(x)取得最大值，此时 cos sin .18C5和C8 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b
9、，c，且a2b2c2bc.(1)求A；(2)设a，S为ABC的面积，求S3cos Bcos C的最大值，并指出此时B的值18解：(1)由余弦定理得cos A.又因为0A0)，且yf(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求的值；(2)求f(x)在区间，上的最大值和最小值18解：(1)f(x)sin2xsin xcos xsin 2xcos 2xsin 2xsin.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又0，所以4.因此1.(2)由(1)知f(x)sin.当x时，2x.所以sin1.因此1f(x).故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，1.16C7，C8 在ABC中，内
10、角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsin A3csin B，a3，cos B.(1)求b的值；(2)求sin2B的值16解：(1)在ABC中，由，可得bsin Aasin B，又由bsin A3csin B，可得a3c，又a3，故c1.由b2a2c22accos B，cos B，可得b.(2)由cos B，得sin B，进而得cos 2B2cos2 B1，sin 2B2sin Bcos B.所以sin2Bsin 2Bcoscos 2Bsin.C8解三角形9C8 设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若bc2a，3sin A5sin B，则角C()A. B.C. D.9B
11、 根据正弦定理，3sin A5sin B可化为3a5b，又bc2a，解得b，c.令a5t(t0)，则b3t，c7t，在ABC中，由余弦定理得cos C，所以C.5C8 在ABC中，a3，b5，sin A，则sin B()A. B.C. D15B 由正弦定理得，即，解得sin B.18C7、C8 设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(abc)(abc)ac.(1)求B；(2)若sin Asin C，求C.18解：(1)因为(abc)(abc)ac，所以a2c2b2ac.由余弦定理得cos B，因此B120.(2)由(1)知AC60，所以cos (AC)cos Acos Csin As
12、in Ccos Acos Csin Asin C2sin Asin Ccos(AC)2sinAsin C2，故AC30或AC30，因此C15或C45.21C8，C9 如图16，在等腰直角OPQ中，POQ90，OP2 ，点M在线段PQ上(1)若OM，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且MON30，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值图1621解：(1)在OMP中，OPM45，OM，OP2 ，由余弦定理得，OM2OP2MP22OPMPcos 45，得MP24MP30，解得MP1或MP3.(2)设POM，060，在OMP中，由正弦定理，得，所以OM，同理ON.故SOMNOM
13、ONsinMON.因为060，30230150，所以当30时，sin(230)的最大值为1，此时OMN的面积取到最小值即POM30时，OMN的面积的最小值为84 .18C8 在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A3cos(BC)1.(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积S5 ，b5，求sinB sin C的值18解：(1)由cos 2A3cos(BC)1，得2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0，解得cos A或cos A2(舍去)因为0A，所以A.(2)由Sbc sin Abcbc5 ，得bc20，又b5，知c4.由余弦定理得a2b
14、2c22bccos A25162021，故a.又由正弦定理得sin Bsin Csin Asin Asin2A.5C8 在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin Bb，则角A等于()A. B.C. D.5A 由正弦定理可得2sin Asin Bsin B又sin B0，所以sin A.因为A为锐角，故A，选A.17C8 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin Bsin Bsin Ccos 2B1.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若C，求的值17解：(1)证明：由题意得sin Asin Bsin Bsin C2sin2 B，因为sin B
15、0，所以sin Asin C2sin B，由正弦定理，有ac2b，即a，b，c成等差数列(2)由C，c2ba及余弦定理得(2ba)2a2b2ab，即有5ab3b20，所以.6C8 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab，且ab，则B()A. B.C. D.6A 由正弦定理可以得到sin Asin Bcos Csin Csin Bcos Asin B，所以可以得到sin Acos Csin Ccos A，即sin(AC)sin B，则B，故选A.4C8 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为()
16、A2 2 B.1C2 2 D.14B c2 .又ABC，A，ABC的面积为22 sin21.7C8 ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B2A，a1，b，则c()A2 B2 C. D17B 由正弦定理，即，解之得cosA，A，B，C，c2.9C8 设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D不确定9A 结合已知bcos Cccos Basin A，所以由正弦定理可知sin Bcos Csin Ccos Bsin Asin A，即sin (BC)sin 2Asin Asin
17、2Asin A1，故A90，故三角形为直角三角形16C7，C8 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsin A3csin B，a3，cos B.(1)求b的值；(2)求sin2B的值16解：(1)在ABC中，由，可得bsin Aasin B，又由bsin A3csin B，可得a3c，又a3，故c1.由b2a2c22accos B，cos B，可得b.(2)由cos B，得sin B，进而得cos 2B2cos2 B1，sin 2B2sin Bcos B.所以sin2Bsin 2Bcoscos 2Bsin.17C5，C8，F1 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，
18、c，且cos(AB)cos Bsin(AB)sin(AC).(1)求sin A的值；(2)若a4 ，b5，求向量在方向上的投影17解：(1)由cos(AB)cos Bsin(AB)sin(AC)，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B.则cos(ABB)，即cos A.又0Ab，则AB，故B.根据余弦定理，有(4 )252c225c，解得c1或c7(负值舍去)故向量在方向上的投影为|cos B.15H1，C8，E8 在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_15(2，4) 在以A，B，C，D为顶点构成的四边形中，由平面
19、几何知识：三角形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线AC，BD交点上时，到四个顶点的距离之和最小AC所在直线方程为y2x，BD所在直线方程为yx6，交点坐标为(2，4)，即为所求10C8 已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2 Acos 2A0，a7，c6，则b()A10 B9 C8 D510D 由23cos 2Acos 2A0，得25cos 2A1.因为ABC为锐角三角形，所以cos A.在ABC中，根据余弦定理，得49b23612b，即b2b130，解得b5或(舍去)18C8 在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asin B
20、b.(1)求角A的大小；(2)若a6，bc8，求ABC的面积18解：(1)由2asin B b及正弦定理，得sin A.因为A是锐角，所以A.(2)由余弦定理a2b2c22bc cos A 得b2c2bc36.又bc8，所以bc.由三角形面积公式Sbcsin A，得ABC的面积为.18C5和C8 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2b2c2bc.(1)求A；(2)设a，S为ABC的面积，求S3cos Bcos C的最大值，并指出此时B的值18解：(1)由余弦定理得cos A.又因为0A，所以A.(2)由(1)得sin A，又由正弦定理及a得Sbcsin Aasin C3si
21、n Bsin C，因此，S3cos Bcos C3(sin Bsin Ccos Bcos C)3cos(BC)所以，当BC，即B时，S3cos Bcos C取最大值3.C9单元综合21C8，C9 如图16，在等腰直角OPQ中，POQ90，OP2 ，点M在线段PQ上(1)若OM，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且MON30，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值图1621解：(1)在OMP中，OPM45，OM，OP2 ，由余弦定理得，OM2OP2MP22OPMPcos 45，得MP24MP30，解得MP1或MP3.(2)设POM，060，在OMP中，由正弦定理，得，所以
22、OM，同理ON.故SOMNOMONsinMON.因为060，30230150，所以当30时，sin(230)的最大值为1，此时OMN的面积取到最小值即POM30时，OMN的面积的最小值为84 .18C9 如图14，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos
23、 C.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？图1418解：(1)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C，从而sin Bsinsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(3
24、7t270t50)因为0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得BCsin A500(m)乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内15C9 已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0，1)，若abc，求，的值15解：(1)由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因为a2b2|a|2|b|21，所以22
25、ab2，即ab0，故ab.(2)因为ab(cos cos ，sin sin )(0，1)，所以由此得，cos cos()，由0，得0，又0，所以，.16C3、C5、C9 设当x时，函数f(x)sin x2cos x取得最大值，则cos _16 f(x)sin x2cos x，令cos ，sin ，则f(x)sin(x)当2k，即2k(上述k为整数)时，f(x)取得最大值，此时 cos sin .9C9 函数f(x)(1cos x)sin x在的图像大致为()图129C 函数f(x)是奇函数，排除选项B.当x时f(x)0，排除选项A.对函数f(x)求导，得f(x)sin xsin x(1cos x)cos x2cos2 xcos x1(cos x1)(2cos x1)，当0x时，若0x0，若x，则f(x)0，即函数在(0，)上的极大值点是x，故只能是选项C中的图像