1、空间向量与空间距离时间：45分钟分值：100分A学习达标一、选择题(每小题6分，共36分)1若O为坐标原点，(1,1，2)，(3,2,8)，(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为()A.B2C. D.解析：()(4,3,6)(2，3)，而(0,1,0)，(2，3)，|.答案：D2已知ABC的顶点A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，则AC边长的高BD的长等于()A3 B4C5 D6解析：(4，5,0)，(0,4，3)，则在上的投影d4.而|，AC边上的高BD5.答案：C3已知平面的一个法向量n(2，2,1)，点A(1,3,0)在内，则P(2,1,4)到的距离为()A1
2、0 B3C. D.解析：d.答案：D图14点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB3，BC4，PA2.则P到平面BQD的距离为()A. B.C. D.图2解析：如图2，以AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(3,0,0)，D(0,4,0)，P(0,0,2)，Q(0,0,1)，(3,0，1)，(3,4,0)，(0,0,1)，设平面BQD的法向量n(x，y，z)，由得令x4，则z12，y3，n(4,3,12)P到平面BQD的距离d.答案：B5(2011全国高考)已知直二面角l，点A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为重足若AB2
3、，ACBD1，则D到平面ABC的距离等于()A. B.C. D1解析：，|2|AC|2|2|2，|22.在RtBDC中，BC.面ABC面BCD，过D作DHBC于H，则DH面ABC，DH的长即为D到平面ABC的距离，DH.故选C.答案：C6已知二面角l为60，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为，Q到的距离为2，则P、Q两点之间距离的最小值为()A. B2C2 D4图3解析：作PM，QN，垂足分别为M、N.分别在面、内作PEl，QFl，垂足分别为E、F，如图3所示，连接ME、NF，则MEl，PEM为二面角l的平面角PEM60.在RtPME中，|2，同理|4.又，|24|21622220|2224
4、cos12012|2.当|2取最小值0时，|2最小，此时|2.答案：C二、填空题(每小题8分，共24分)7如图4，已知在60的二面角l中，A，B，ACl于C，BDl于D，并且AC1，BD2，AB5，则CD_.图4解析：ACl，BDl，l为60的二面角，60.，222.521242|cos，20212cos12022.|CD|.答案：图58在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，侧棱PA底面ABCD，BCAD，ABC90，PAABBC2，AD1，则点D到平面PBC的距离是_解析：分别以AD、AB、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图5，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(0,
5、2,0)，C(2,2,0)，D(1,0,0)，(2,2，2)，(2,0,0)设n(x，y，z)为平面PBC的法向量，则即取y1，则n(0,1,1)又(1，2,0)，点D到平面PBC的距离为.答案：9正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，E、F分别是BB1、CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为_解析：建立空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，D1(0,0，a)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，B1(a，a，a)，E(a，a，)，F(0，0)，如图6所示，图6设平面A1D1E的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0，即ax0，ayz0.令z2，得n(0,1,2)又(0，a)，所求距离
6、da.答案：a三、解答题(共40分)图710(10分)在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDDA2，F、E分别为AD、PC的中点(1)证明DE平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离解：(1)证明：以D为原点，建立如图8所示的坐标系，图8则P(0,0,2)、F(1,0,0)、B(2,2,0)、E(0,1,1)(1,0,2)，(1,2,0)，(0,1,1).平面PFB.又D平面PFB，DE平面PFB.(2)平面PFB的法向量为n(x，y，z)，则令x2，则法向量n(2，1,1)又(0,1，1)，d.点E到面PFB的距离为.图911(15分)如图9，边长为1的正方体
7、ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BB1、C1C的中点，DGDD1，过E、F、G的平面交AA1于点H，求A1D1到面EFGH的距离图10解：如图10所示，以点D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则E(1,1，)，F(0,1，)，G(0,0，)，D1(0,0,1)，(1,0,0)，(0，1，)设面EFGH的法向量n(x，y，z)，则n0且n0，即令z6，可得n(0，1,6)又(0,1，)，d.B创新探索图1112(15分)如图11，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD
8、2AB2BC2，O为AD中点，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由图12解：在PAD中，PAPD，O为AD中点，POAD.又侧面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面ABCD.建立如图12所示空间直角坐标系，易得A(0，1,0)，B(1，1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，(1,0,1)，(1,1,0)假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为，设Q(0，y,0)(1y1)，(1，y,0)设平面PCD的法向量为n(x0，y0，z0)，则即x0y0z0，取x01，则平面PCD的一个法向量为n(1,1,1)点Q到平面PCD的距离为d，y或y(舍去)此时|AQ|，|QD|.存在点Q满足题意，此时.