1、第二节等差数列考试要求：1理解等差数列的概念和通项公式的意义2探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系一、教材概念结论性质重现1等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示递推公式为：an1and(nN*)注意定义中“从第2项起”“同一个常数”的意义2等差数列的通项公式(1)首项为a1，公差为d的等差数列an的通项公式为ana1(n1)d(2)若已知ak，公差是d，则这个等差数列的通项公式是anak(nk)d当d0时，等差数列通项公式可以看成关于n的一
2、次函数andn(a1d)3等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列这时，A叫做a与b的等差中项根据等差数列的定义可以知道，2Aab4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广公式：anam(nm)d(n，mN*)d(nm)(2)若an为等差数列，且mnpq2w，则amanapaq2aw(m，n，p，q，wN*)(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列5等差数列的前n项和公式及其性质(1)设等差数列an的公差为d，其前n项和Snna1d(2)数列Sm，S2mSm，
3、S3mS2m，也是等差数列(3)为等差数列(4)n为奇数时，Snna中(a中a)，S奇a中，S偶a中，所以S奇S偶a中n为偶数时，S偶S奇数列an是等差数列数列的前n项和公式Snn2nSnAn2Bn(A，B为常数)，所以当d0时，等差数列前n项和公式可以看成关于n的二次函数，且常数项为0二、基本技能思想活动经验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()(4)若an是等差数列，公差为d，则数列a3n也是等差数列(
4、)2已知等差数列an的前n项和为Sn，若a12，a8a1028，则S9()A36 B72 C144 D288B解析：因为a8a102a116d28，a12，所以d，所以S992723已知等差数列an满足：a313，a1333，则数列an的公差为()A1 B2 C3 D4B解析：公差d24一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是()Ad BdCd DdD解析：由题意可得即解得d5已知等差数列5,4，3，则前n项和Sn_(75n5n2)解析：由题知公差d，所以Snna1d(75n5n2)考点1等差数列的基本量运算基础性1(多选题)记Sn为等差数列an的前n项
5、和已知S40，a55，则下列选项正确的是()Aa2a30 Ban2n5CSnn(n4) Dd2ABC解析：由题意可知，解得故an2n5，Snn24n故选ABC2记Sn为等差数列an的前n项和，若3S3S2S4，a12，则a5()A12 B10 C10 D12B解析：设等差数列an的公差为d，由3S3S2S4，得32a1d4a1d，将a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24(3)103记Sn为等差数列an的前n项和若a12，a2a62，则S10_25解析：设等差数列an的公差为d，则a22d，a625d因为a2a62，所以2d(25d)2，解得d1，所以S1010(2)1204525将
6、条件用a1，d表示出来后，往往需要解二元一次方程组，如果出现消元等计算错误，会致使结果不对考点2等差数列的判断与证明综合性(2022日照模拟)已知数列an，bn满足a11，an11，bn，其中nN*求证：数列bn是等差数列，并求出数列an的通项公式证明：因为bn1bn2，所以数列bn是公差为2的等差数列又b12，所以bn2(n1)22n，所以2n，解得an本例的条件变为：an是等差数列且满足an0，bn是an和an1的等比中项，设cnbb，nN，求证：数列cn是等差数列证明：由题意得banan1，则cnbban1an2anan12dan1，因此cn1cn2d(an2an1)2d2，所以cn是等
7、差数列等差数列的4个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2(3)通项公式法：得出anpnq后，再根据定义判定数列an为等差数列(4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，再使用定义法证明数列an为等差数列(2021南京模拟)已知数列an的前n项和为Sn且满足an2SnSn10(n2)，a1(1)求证：是等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明：因为an2SnSn10(n2)，所以an2SnSn1又anSnSn1(n2)，所以Sn1Sn2SnSn1(n2)又Sn0，因此2(n2)故由等差数列的定义知是以
8、2为首项，2为公差的等差数列(2)解：由(1)知(n1)d2(n1)22n，即Sn由于当n2时，有an2SnSn1又因为a1不适合上式，所以an考点3等差数列性质的应用应用性考向1等差数列的项的性质(1)在等差数列an中，已知a3a86，则3a2a16的值为()A24B18C16D12D解析：由题意知a3a82a19d,3a2a164a118d2(a3a8)12故选D(2)设Sn是等差数列an的前n项和，若，则()A1 B1 C2 DA解析：方法一：，因为，所以1故选A方法二：因为2a113d，所以1等差数列中最常用的性质(1)d(2)若mnpq，则amanapaq考向2等差数列前n项和的性质
9、一个正项等差数列an的前n项和为3，前3n项和为21，则前2n项和为()A18 B12 C10 D6C解析：因为an是等差数列，所以Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列，即2(S2nSn)Sn(S3nS2n)因为Sn3，S3n21，所以2(S2n3)321S2n，解得S2n10在等差数列an中，Sn为其前n项和，则(1)Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列(2)S2nn(a1a2n)n(anan1)(3)S2n1(2n1)an1已知等差数列an的前n项和为Sn，若2a11a97，则S25()A B145 C D175D解析：因为2a11a9a13a97，所以a137，所以S2525a1
10、3175故选D2已知等差数列an的前n项和为Sn，若S101，S305，则S40()A7 B8 C9 D10B解析：方法一：设等差数列an的公差为d，则解得所以S40408故选B方法二：设等差数列前n项和为SnAn2Bn，由题意知解得所以Sn，所以S408故选B方法三：由等差数列的性质知S10，S20S10，S30S20，S40S30成等差数列，所以2(S20S10)S10(S30S20)，所以S20S101所以d(S20S10)S10，所以S405133，所以S408故选B方法四：由等差数列的性质知是等差数列，所以，即，成等差数列，所以，所以S408故选B,考点4等差数列前n项和的最值综合性
11、记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315(1)求数列an的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值解：(1)设数列an的公差为d，由题意得3a13d15由a17得d2，所以数列an的通项公式为ana1(n1)d2n9(2)由(1)得Snnn28n(n4)216，所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为161等差数列an的前n项和Sn存在最值的情况：如果a10，d0时，数列的前n项和Sn有最大值；如果a10，d0时，数列的前n项和Sn有最小值2借用通项的邻项变号法：a10，d0，满足Sn取得最大值Sm；a10，满足Sn取得最小值Sm在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当
12、且仅当n8时，Sn取得最大值，则d的取值范围为_解析：由题意，当且仅当n8时Sn有最大值，可得即解得1d在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值四字程序读想算思n取何值时，Sn取得最大值1Sn的表达式2求最值的方法1求通项公式an2求前n项和Sn转化与化归等差数列，a120，S10S151利用等差数列的项的符号2利用二次函数的性质1ann2Snn2n1数列的单调性2二次函数的性质思路参考：先求出公差d，再由an确定Sn取得最大值时n的值解：因为a120，S10S15，所以1020d1520d，所以d由an20(n1)n因为a
13、1200，d0，所以数列an是递减数列由ann0，得n13，即a130当n12时，an0；当n14时，an0所以当n12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12S131220130思路参考：先求出公差d，再由Sn的表达式确定其最大值解：因为a120，S10S15，所以1020d1520d，所以dSn20nn2n因为nN*，所以当n12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130思路参考：利用等差数列的性质求解解：由S10S15得S15 S10a11a12a13a14a150，所以5a130，即a130又d，所以当n12或13时，Sn有最大值所以S121220130思路参考：结合二次函
14、数知识解答解：因为等差数列an的前n项和Sn是关于n的二次函数，且S10S15，所以1020d1520d，所以d又12.5，所以n12或13时，Sn取得最大值所以S1212201301基于课程标准，解答本题一般需要具备良好的数学阅读技能、运算求解能力、推理能力和表达能力本题的解答体现了逻辑推理、数学运算的核心素养，试题的解答过程展现了数学文化的魅力2基于高考数学评价体系，本题创设了数学探索创新情景，通过知识之间的联系和转化，将最值转化为熟悉的数学模型本题的切入点十分开放，可以从不同的角度解答题目，体现了基础性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性等差数列an中，设Sn为其前n项和，且a10，S3S11，则当n为多少时，Sn最大？解：(方法一)由S3S11，得3a1d11a1d，则da1从而Snn2n(n7)2a1又a10，所以0故当n7时，Sn最大(方法二)由于Snan2bn是关于n的二次函数，由S3S11，可知Snan2bn的图象关于n7对称由方法一可知a0，故当n7时，Sn最大(方法三)由方法一可知，da1要使Sn最大，则有即解得6.5n7.5，故当n7时，Sn最大方法四：由S3S11，可得2a113d0，即(a16d)(a17d)0，故a7a80又由a10，S3S11可知d0，所以a70，a80，所以当n7时，Sn最大
