1、第三章 习题课(2)一、选择题1若A(1，2,3)，B(2,5,6)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A. (1，2,3)B. (2,5,6)C. (1,7,3)D. (1，7,3)解析：(1,7,3)，又与平行的非零向量都可作为l的方向向量，(1,7,3)可作为l的方向向量答案：C2已知(2,2,1)，(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量为()A. (，)B. (，)C. (，)D. (，)解析：设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则有取x1，则y2，z2.所以n(1，2,2)因为|n|3，所以平面ABC的一个单位法向量可以是(，)答案：B3已知平面内有一个点A(2，1,2
2、)，的一个法向量为n(3,1,2)，则下列点P中，在平面内的是()A(1，1,1)B(1,3，)C(1，3，)D(1,3，)解析：n为的一个法向量，n0，把P点依次代入满足上式即可答案：B4如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若B1MN90，则PMN的大小是()A等于90B小于90C大于90D不确定解析：A1B1平面BCC1B1，A1B1MN，()0，MPMN，即PMN90.答案：A52013辽宁大连一模长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A. B. C.
3、D. 解析：建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.答案：B6如右图所示 ，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA面ABCD，PAADAC，点F为PC中点，则二面角CBFD的正切值为()A.B.C.D.解析：如右图所示，连接BD，ACBDO，连接OF.以O为原点，OB、OC、OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PAADAC1，则BD.所以B，F，C，D.结合图形可知，且为面BOF的一个法向量，由，可求得面BCF的一个法向量n(1，)所以co
4、sn，sinn，所以tann，.答案：D二、填空题7若A(0,2，)，B(1，1，)，C(2,1，)是平面内的三点，设平面的法向量a(x，y，z)，则xyz_.解析：(1，3，)，(2，1，)，由得解得则xyzyy(y)23(4)答案：23(4)8在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是_解析：建立如右图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A1(1,0,1)，D(0,0,0)，(1,0,1)，(1，0，1)，(1，1,0)，设平面A1BD的一个法向量为n(1，x，y)，设平面A1BD与BC1所成的角为，n，n，所以n0，
5、n0，所以解得所以n(1，1，1)，则cos，n，所以sin，所以cos.答案：9平面的法向量为(1,0，1)，平面的法向量为(0，1，1)，则平面与平面所成二面角的大小为_解析：设n1(1,0，1)，n2(0，1，1)，则cosn1，n2，n1，n2.因平面与平面所成的角与n1，n2相等或互补，所以与所成的角为或.答案：或三、解答题10在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是正方形，棱PD垂直于底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，EFPB于点F.(1)证明：PA平面EDB；(2)证明：PB平面EFD.证明：如右图所示建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设DCa.(1)连接AC，AC交BD于G
6、，连接EG，依题意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E(0，)因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为(，0)，所以(，0，)，又(a,0，a)，所以2，这表明PAEG.而EG平面EDB，且PA平面EDB，所以PA平面EDB.(2)依题意得B(a，a,0)，(a，a，a)，(0，)，所以00，所以PBDE.由已知EFPB，且EFDEE，所以PB平面EFD.11在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，FC平面ABCD，AEBD，CBCDCF.(1)求证：BD平面AED；(2)求二面角FBDC的余弦值解：(1)因为四边形
7、ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，所以ADCBCD120.又CBCD，所以CDB30，因此ADB90，ADBD，又AEBD，且AEADA，AE，AD平面AED.所以BD平面AED.(2)连接AC，由(1)知ADBD，所以ACBC.又FC平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设CB1，则C(0,0,0)，B(0,1,0)，D(，0)，F(0,0,1)，因此(，0)，(0，1,1)设平面BDF的一个法向量为m(x，y，z)，则m0，m0，所以xyz，取z1，则m(，1,1)由于(0,
8、0,1)是平面BDC的一个法向量，则cosm，所以二面角FBDC的余弦值为.12.2013浙江高考如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2.M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC.(1)证明：PQ平面BCD；(2)若二面角CBMD的大小为60，求BDC的大小解：(1)如下图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知A(0，2)，B(0，0)，D(0，0)设点C的坐标为(x0，y0,0)，因为3，所以Q(x0，y0，)因为M为AD的中点，故M(0，1)又P为BM的中点，故P(0,0，)，所以(x0，y0,0)又平面BCD的一个法向量为u(0,0,1)，故u0.又PQ平面BCD，所以PQ平面BCD.(2)设m(x，y，z)为平面BMC的一个法向量由(x0，y0,1)，(0,2，1)，知取y1，得m(，1,2)又平面BDM的一个法向量为n(1,0,0)，于是|cosm，n|，即23.又BCCD，所以0，故(x0，y0,0)(x0，y0,0)0，即xy2.联立，解得(舍去)或所以tanBDC.又BDC是锐角，所以BDC60.