1、例谈用直接解一元二次方程来解高考题 高考题1 (2015年高考上海卷理科第21题)已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点、和、，记得到的平行四边形的面积为.(1)设，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；(2)设与的斜率之积为，求面积的值. 解 (1)略. (2)设，得.又设. 由同理，可得再由(1)的结论，得=高考题2 (2015年高考湖北卷理科第21题)一种作图工具如图1所示O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DNON1，MN3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖
2、画出的曲线记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系 图1 图2(1)求曲线C的方程(2)设动直线l与两定直线l1：x2y0和l2：x2y0分别交于P，Q两点若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由解 (1)如图3所示，设点D(t，0)(|t|2)，N(x0，y0)，M(x，y).图3依题意，得2，且|1，所以(tx，y)2(x0t，y0)，且即且t(t2x0)0.由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，于是t2x0，故x0，y0，代入xy1，可得1，即所求的曲线C的方程为1.(2)(
3、i)当直线l的斜率不存在时，直线l为x4或x4，都有SOPQ448.(ii)当直线l的斜率存在时，设直线l：ykxm.由消去y，可得(14k2)x28kmx4m2160.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以64k2m24(14k2)(4m216)0，即m216k24 又由可得P；同理可得Q.由原点O到直线PQ的距离d和|PQ|xPxQ|，可得SOPQ|PQ|d|m|xPxQ|m|将代入此式，得.当k2时，SOPQ888；当0k2时，SOPQ88.由0k2，得0b0，y0)和部分抛物线C2：yx21(y0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2
4、)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若APAQ，求直线l的方程图4解 (1)(过程略)a2，b1.(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为x21(y0)易知直线l与x轴不重合也不垂直，所以可设其方程为yk(x1)(k0).把它代入C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240 设点P的坐标为(xP，yP)，因为直线l过点B，所以x1是方程的一个根由韦达定理，可得xP，从而yP，所以点P的坐标为.同理，由得点Q的坐标为(k1，k22k)得(k，4)，k(1，k2)因为APAQ，即0，也即k4(k2)0.因为k0，所以k.经检验，k符合题意，所以直线l的方程为y(x1)
5、高考题4 (2012年高考四川卷理科第21题)如图5，动点与两定点构成，且.设动点的轨迹为.图5(1)求轨迹的方程；(2)设直线与轴相交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围.解 (1)(过程略).(2)由，得因为该方程的两根均大于1，所以解得且.设，由可得所以 由且，可求得的取值范围是.高考题5 (2012年高考四川卷文科第21题)如图6，动点与两定点构成，且直线的斜率之积为4.设动点的轨迹为.图6(1)求轨迹的方程；(2)设直线与轴相交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围.解 (1)(过程略).(2)由，得再结合，得的取值范围是且.设，由可得，所以所以 由且，可求得的取值范围是.高考题6
6、 (2012年高考浙江卷理科第17题)设R，若时均有，则 .解 .当充分大时，所以，得.所以题设即：当时均有.又恒成立，所以题设即：当时均有. 因为，所以(否则，当取与之间的数时，)，得是方程的根.再由，得.还可验证当时，.所以所求.高考题7 (2010年高考辽宁卷理科第20题)设椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，.(1)求椭圆的离心率；(2)如果，求椭圆的方程.解 (1)得，直线的方程是.由方程组得还可设，由，得，所以，即(2)(请读者自己画图)作轴于，轴于，由，得 再由第(1)问中求得的及可得，把它代入后，可得，所以椭圆的方程是.高考题8 (2010年高考辽宁卷文
7、科第20题) 设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆 相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.(1)求椭圆的焦距；(2)如果,求椭圆的方程.解 (1)设焦距为，由已知可得到直线l的距离所以椭圆的焦距为4.(2)设直线的方程为联立解得因为即得得椭圆的方程为高考题9 (2010年高考全国卷II理科第12题)已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点.若，则( )A.1 B. C. D.2解 B.设.由，得；由“离心率为”可得，.所以椭圆，直线.由方程组得由，得高考题10 (2006年高考全国卷II文科第21题)已知函数，若的解集为A，且，求实数的取值范围.解 由为二次函数知.
8、可解得方程的两根为，还得.(1)当时，得的充要条件是，即(2)当时，得的充要条件是，即所以，所求实数的取值范围是由高考题(2010福建理19)改编 某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西是锐角)且与该港口相距n mile的处，并正以n mile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以n mile/h的航行速度匀速行驶，经过h与轮船相遇. KS*5U.C#O假设小艇的最高航行速度只能达到n mile/h，求小艇与轮船相遇的最短时间及此时的航向、航速.解 如图7所示，有.在中，还有(单位：n mile)，由余弦定理，得 图7(1)当时
9、，得.(2)当时，得关于的一元二次方程有实数解，所以其判别式非负，可得且，还得.又当时，因为欲求的最小值，所以应选.又当时，因为，所以也得.总之，此时均有，即.所以恒有.易知是的减函数(即小艇的速度越快，追上轮船的时间越少).当小艇与与轮船相遇的时间最短时，最短时间是.此时，在中有(单位：n mile)，由余弦定理还可求得.所以该题的答案是：当时，小艇与轮船不会相遇(小艇追不上轮船)；当时，小艇与轮船相遇的最短时间是，此时的航向是(边在边的右侧)，航速是.练习 1.(2010年高考重庆卷理科第14题)已知以为焦点的抛物线上的两点满足，则弦的中点到准线的距离为 .2.(2009年高考年高考全国卷II理科第11题)已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点，若，则的离心率为( )A. B. C. D.3.(2008年高考全国卷II理科第15题)已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点设，则与的比值等于 .4.(2007年高考重庆卷理科第16题)过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为_.参考答案：1.；2.A；3.；4.