1、第二节函数的单调性与最值学习要求:1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.1.函数的单调性(1)单调函数的定义:增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义:若函数f(x)在区间D上是单调增函数或单调减函数,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D
2、叫做y=f(x)的单调区间.提醒(1)求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域.(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“”连接.(3)“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念,显然NM.2.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意的xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M(1)对于任意的xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M结论M为函数y=f(x)的最大值M为函数y=f(x)的最小值知识拓展1.单调性定义的等价形式设任意x1,x2a,b,x1x2.(1)若有(
3、x1-x2)f(x1)-f(x2)0或 f(x1)-f(x2)x1-x20,则f(x)在闭区间a,b上是增函数.(2)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0或 f(x1)-f(x2)x1-x20,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k0)与y=-f(x),y=1f(x)在公共定义域内的单调性相反.(4)函数y=f(x)(f(x)0)与y=f(x)在公共定义域内的单调性相同.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)函数y=1x的单调递减区间是(-,0)(0,+).()(2)函数f(x)在区间a,b上单调递增,则函数f(x)的单调递增区间为a,b.()(3)若f(x)是增函数,g(
4、x)是增函数,则f(x)g(x)也是增函数.()(4)所有的单调函数都有最值.()(5)已知函数y=f(x)在R上是增函数,则函数y=f(-x)在R上是减函数.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(新教材人教A版必修第一册P79例3改编)下列函数中,在区间(0,+)内单调递减的是()A.y=1x-xB.y=x2-xC.y=lnx-xD.y=ex-x答案A选项A,y1=1x在(0,+)内是减函数,y2=x在(0,+)内是增函数,则y=1x-x在(0,+)内是减函数;选项B,C中的函数在(0,+)上均不单调;选项D,y=ex-1,当x(0,+)时,y0,所以函数y=ex-x在(0,+)上是增
5、函数.3.(新教材人教A版必修第一册P86T7改编)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-,-2)B.(-,1)C.(1,+)D.(4,+)答案D由x2-2x-80得x4或x0,0,x=0,-1,x1,0,x=1,-x2,x0)在(0,+)上的单调性.答案(1)D解析(1)|2x+1|0,|2x-1|0xx|x12,xR,函数f(x)的定义域关于原点对称,又f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),f(x)是奇函数,排除A、C;当x-12,12时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),则f(x)=22x
6、+1-21-2x=41-4x20,f(x)在-12,12上单调递增,排除B;当x-,-12时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x),则f(x)=-2-2x-1-21-2x=41-4x20,f(x)在-,-12上单调递减,D正确.(2)设x1,x2是任意两个正数,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1+ax1-x2+ax2=x1-x2x1x2(x1x2-a).当0x1x2a时,0x1x2a,x1-x20,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)在(0,a上是减函数;当ax1a,x1-x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0)在(0,a上是减函数,在a,+)上是增函数.名
7、师点评1.求函数单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性:转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.(2)定义法:先求定义域,再利用单调性的定义求解.(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或f(x)的图象易作出,那么可由图象的直观性写出函数的单调区间.(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.2.求复合函数y=f(g(x)单调区间的步骤(1)确定函数的定义域.(2)将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x).(3)分别确定这两个函数的单调区间.(4)根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调区间.1.函数f(x)=x1-x在()A.(-,1)(1,+)上是增
8、函数B.(-,1)(1,+)上是减函数C.(-,1)和(1,+)上是增函数D.(-,1)和(1,+)上是减函数答案C2.求函数f(x)=-x2+2|x|+1的单调区间.解析易知f(x)=-x2+2x+1,x0,-x2-2x+1,x0f(x)=-(x-1)2+2,x0,-(x+1)2+2,xx11时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)abB.cbaC.acbD.bac答案D解析f(x)的图象关于直线x=1对称,f-12=f52.由当x2x11时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)0恒成立,知f(x)在(1,+)上单调递减.1252f52f(e),即f(2)f-12f(e),bac.角度二解不
9、等式典例3已知函数f(x)为R上的增函数,若f(a2-a)f(a+3),则实数a的取值范围是.答案(-,-1)(3,+)解析函数f(x)为R上的增函数,且f(a2-a)f(a+3),a2-aa+3,即a2-2a-30,解得a3或a-1,即a的取值范围是(-,-1)(3,+).角度三求参数的值或取值范围典例4(1)已知函数f(x)=(3a-1)x+4a,x1,logax,x1,满足对任意的实数x1x2都有 f(x1)-f(x2)x1-x20恒成立,则实数a的取值范围是()A.(0,1)B.0,13C.17,13D.17,1(2)已知函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-,6)上单调递减,则a的
10、取值范围是()A.3,+)B.(-,3C.(-,-3)D.(-,-3答案(1)C(2)D解析(1)由题意知函数f(x)在定义域R上为减函数,则3a-10,0a1,(3a-1)1+4aloga1,解得17a13.故选C.(2)由于二次函数f(x)=x2+4ax+2的二次项系数为正数,其图象的对称轴为直线x=-2a,且其对称轴左侧的图象是下降的,-2a6,故a-3.故选D.规律总结函数单调性的应用问题的3种常见类型及解题策略(1)比较大小:比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解题.(2)解不等式:在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f ”脱
11、掉,使其转化为求解具体的不等式.此时应特别注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数:视参数为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数.提醒(1)若函数在a,b上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;(2)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.1.设函数f(x)=2x,x0,即a1时,由题意知1a3;当a-10,即a0,即a0)在区间2,4上单调递减,则实数a的值是.答案8解析f(x)=x|2x-a|=|2x2-ax|(a0),由f(x)的图象(图略)得该函数的单调减区间是(-,0),a4,a2,所以a42,a24,解得
12、a=8.4.若定义在-2,2上的函数f(x)满足(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,x1x2,且f(a2-a)f(2a-2),则实数a的取值范围为.答案0,1)解析因为函数f(x)满足(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,x1x2,所以函数f(x)在-2,2上单调递增,所以-2a2-a2,-22a-22,2a-2a2-a,解得-1a2,0a2,a2,所以0a1.求函数的最值(值域)典例5(1)函数f(x)=1x,x1,-x2+2,x1的最大值为.(2)函数y=2x-1-13-4x的值域为.(3)当-3x-1时,函数y=5x-14x+2的最小值为.(4)函数y=2x+1-2x的值域为.答案
13、(1)2(2)-,112(3)85(4)-,54解析(1)当x1时,函数f(x)=1x为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=1;当x1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.(2)易知函数的定义域是xx134,易证得函数y=2x-1-13-4x在其定义域上是一个单调增函数,所以当x=134时,函数取得最大值112,故原函数的值域是-,112.(3)由y=5x-14x+2,可得y=54-74(2x+1).-3x-1,720-74(2x+1)74,85y3,所求函数的最小值为85.(4)令t=1-2x(t0),则x=1-t
14、22,y=-t2+t+1=-t-122+54.当t=12,即x=38时,y取得最大值,ymax=54,且y无最小值,函数的值域为-,54.方法技巧求函数最值的五种常用方法(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点求最值.(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求最值.(4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值求最值.(5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.1.函数y=3x+1x-2的值域为.答案y|yR且y3解析y=3x+1x
15、-2=3(x-2)+7x-2=3+7x-2,因为7x-20,所以3+7x-23,所以函数y=3x+1x-2的值域为y|yR且y3.2.已知函数f(x)的值域为38,49,则函数g(x)=f(x)+1-2f(x)的值域为.答案79,78解析38f(x)49,131-2f(x)12.令t=1-2f(x),13t12,则f(x)=12(1-t2)13t12,令y=g(x),则y=12(1-t2)+t,即y=-12(t-1)2+113t12.当t=13时,y有最小值79;当t=12时,y有最大值78.g(x)的值域为79,78.3.函数y=|x+1|+|x-2|的值域为.答案3,+)解析易知函数y=-
16、2x+1,x-1,3,-1x2,2x-1,x2.作出函数的图象如图所示.根据图象可知,函数y=|x+1|+|x-2|的值域为3,+).A组基础达标1.(2020河北廊坊一中期中)若函数f(x)=x2+a|x|+2,xR在区间3,+)和-2,-1上均为增函数,则实数a的取值范围是()A.-113,-3B.-6,-4C.-3,-22D.-4,-3答案B由于f(x)为R上的偶函数,因此只需考虑函数f(x)在(0,+)上的单调性即可.由题意知函数f(x)在3,+)上为增函数,在1,2上为减函数,故-a22,3,即a-6,-4.2. (2020山西晋城一中期末)已知函数f(x)是定义在区间0,+)上的增
17、函数,则满足f(2x-1)f13的x的取值范围是()A.13,23B.13,23C.12,23D.12,23答案D因为函数f(x)是定义在区间0,+)上的增函数,且f(2x-1)f13,所以02x-113,解得12x23.3.(2020河南开封一中期中)已知函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-,1)上有最小值,则函数g(x)=f(x)x在区间(1,+)上一定()A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数答案D因为二次函数y=f(x)在区间(-,1)上有最小值,且其图象的对称轴为直线x=a,所以a1.g(x)=f(x)x=x2-2ax+ax=x+ax-2a.当a0时,因为函数y1=x-
18、2a和函数y2=ax在(1,+)上都为增函数,所以函数g(x)=x+ax-2a在(1,+)上为增函数;当a=0时,函数g(x)=x在(1,+)上为增函数;当0a1时,由对勾函数的单调性知,函数g(x)=x+ax-2a在(a,+)上单调递增,因为(1,+)(a,+),所以函数g(x)=x+ax-2a在(1,+)上为增函数.综上所述,函数g(x)=f(x)x在区间(1,+)上为增函数,故选D.4.(2020山西晋中一中高三模拟)函数f(x)满足f(x+2)=3f(x),xR,若当x0,2时,f(x)=x2-2x+2,则当x-4,-2时,f(x)的最小值为()A.19B.13C.-13D.-19答案
19、A因为f(x+2)=3f(x),所以f(x)=13f(x+2)=19f(x+4).因为当x0,2时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,所以当x-4,-2,即x+40,2时,f(x)=19f(x+4)=19(x+3)2+19,故当x=-3时,f(x)取得最小值19,故选A.5.(2020江苏淮安一中期中)已知定义在R上的函数f(x)是增函数,则满足f(x)f(2x-3)的x的取值范围是.答案(3,+)解析依题意知不等式f(x)f(2x-3)等价于x3,即满足f(x)f(2x-3)的x的取值范围是(3,+).6.(2020浙江慈溪联考)设x表示不超过x的最大整数,已知函数f(x)=x-x
20、,则f(-0.5)=;其值域为.答案0.5;0,1)解析作出函数f(x)=x-x的图象如图所示,由图可知,f(-0.5)=-0.5-(-1)=0.5;其值域为0,1).B组能力拔高7.(2020河南鹤壁一中期末)若f(x)=(3a-1)x+4a,x1,-ax,x1是定义在R上的减函数,则a的取值范围是.答案18,13解析由题意知,3a-10,解得a0,所以18a0),且f(x)在0,1上的最小值为g(a),求g(a)的最大值.解析f(x)=a-1ax+1a,当a1时,a-1a0,此时f(x)在0,1上为增函数,所以g(a)=f(0)=1a;当0a1时,a-1a0,此时f(x)在0,1上为减函数
21、,所以g(a)=f(1)=a;当a=1时,f(x)=1,此时g(a)=1.所以g(a)=a,0a1时,f(x)0,将其代入fx1x2=f(x1)-f(x2)得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.(2)证明:任取x1,x2(0,+),且x1x2,则x1x21,当x1时,f(x)0,fx1x20,即f(x1)-f(x2)0,因此f(x1)0,-f(x),x0,=(a-1)20,a=1,b=2,从而f(x)=x2+2x+1.F(x)=(x+1)2,x0,-(x+1)2,x0.(2)由(1)可知f(x)=x2+2x+1,g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1,g(x)在-2
22、,2上是单调函数,-2-k2-2或-2-k22,得k-2或k6.即实数k的取值范围为(-,-26,+).C组思维拓展11.(2020黑龙江绥化一中高三模拟)已知函数f(x)=x2+a|x-2|-4.(1)当a=2时,求f(x)在0,3上的最大值和最小值;(2)若f(x)在区间-1,+)上单调递增,求实数a的取值范围.解析(1)当a=2时,f(x)=x2+2|x-2|-4=x2+2x-8,x2,x2-2x,x2=(x+1)2-9,x2,(x-1)2-1,x2,当x0,2)时,-1f(x)2,x2-ax+2a-4,x2,且f(x)在区间-1,+)上单调递增,所以当x2时,由f(x)单调递增,得-a
23、22,即a-4;当-10时,f(x)-1.(1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是单调递增函数;(2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)4.解析(1)令x=y=0,得f(0)=-1.在R上任取x1,x2,且x1x2,则x1-x20,f(x1-x2)-1.又f(x1)=f(x1-x2)+x2=f(x1-x2)+f(x2)+1f(x2),所以函数f(x)在R上是单调递增函数.(2)由f(1)=1得f(2)=3,f(3)=5.由f(x2+2x)+f(1-x)4得f(x2+x+1)f(3),又函数f(x)在R上是增函数,所以x2+x+13,解得x1,故原不等式的解集为x|x1.