1、第二节等差数列及其前n项和考点高考试题考查内容核心素养等差数列的定义2017全国卷T1712分等差数列的判定数学运算等差数列的前n项和 2015全国卷T712分已知等差数列的前n项和求基本量数学运算命题分析本节内容主要考查的是等差数列的通项公式，前n项和及性质，难度中低档，分值约5分.1等差数列的有关概念(1)定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为anan1d(常数)(nN，n2)或an1and(常数)(nN)(2)等差中项如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那
2、么A叫作a与b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式：Snna1d.3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN)(2)若an为等差数列，且mnpq(p，q，m，nN)，则amanapaq.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN)是公差为md的等差数列提醒：辨明三个易误点(1)要注意等差数列概念中的“从第2项起”如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项
3、与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列(2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别(3)求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN，都有2an1anan2.()(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()答案：(1)(2)(3)(4)2(教材习题改编)在等差数列an中，若a24，a42，则a6()A1B0
4、C1D6解析：选Ban为等差数列，2a4a2a6，a62a4a2，即a62240.3已知等差数列an满足：a313，a1333，则数列an的公差为()A1B2C3D4解析：选B设等差数列an的公差为d，则d2，故选B4(2018临沂模拟)已知数列an是首项为1，公差为d(dN)的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差不可能是()A2B3C4D5解析：选B数列an是首项为1，公差为d(dN)的等差数列，an1(n1)d，81是该数列中的一项，811(n1)d，n1，d，nN，d是80的因数，故d不可能是3.故选B等差数列的基本运算明技法等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n
5、项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法提能力【典例】 (1)(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1B2C4D8解析：选C设an的公差为d，则由得解得d4.故选C(2)已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S84S4，则a10()ABC10D12解析：选B公差为1，S88a118a128，S44a16.S84S4，8a1284(4a1
6、6)，解得a1，a10a19d9.故选B刷好题1(金榜原创)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足1，则数列an的公差是()AB1C2D3解析：选CSn，又1，得1，即a3a22，数列an的公差为2.2设Sn为等差数列an的前n项和，a128，S99，则S16_.解析：设等差数列an的公差为d，由已知，得解得所以S16163(1)72.答案：72等差数列的性质及应用明技法等差数列和的性质在等差数列an中，Sn为其前n项和，则S2nn(a1a2n)n(anan1)S2n1(2n1)an.当项数为偶数2n时，S偶S奇nd；项数为奇数2n1时，S奇S偶a中，S奇S偶n(n1)提能力【典例】 (1)
7、等差数列an中，a1a726，a3a918，则数列an的前9项和为()A66B99C144D297解析：选B由a1a72a426，得a413.由a3a92a618，得a69.所以S999.故选B(2)已知an为等差数列，若a1a2a35，a7a8a910，则a19a20a21_.解析：方法一设数列的公差为d，则a7a8a9a16da26da36d518d10，所以18d5，故a19a20a21a712da812da912d1036d20.方法二由等差数列的性质，可知S3，S6S3，S9S6，S21S18成等差数列，设此数列公差为d.所以52d10，所以d.所以a19a20a21S21S1856
8、d51520.答案：20刷好题1(2015全国卷)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5()A5B7C9D11解析：选A方法一a1a52a3，a1a3a53a33，a31，S55a35，故选A方法二a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3.a12d1.S55a1d5(a12d)5，故选A2一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227，则该数列的公差d_.解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得解得又S偶S奇6d，所以d5.答案：5等差数列的判断与证明明技法等差数列的判定
9、与证明方法方法解读适合题型定义法对于数列an，anan1(n2，nN)为同一常数an是等差数列解答题中的证明问题等差中项法2an1anan2(n3，nN)成立an是等差数列通项公式法anpnq(p，q为常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法验证SnAn2Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列提能力【典例】 已知数列an的前n项和为Sn，且满足：an2SnSn10(n2，nN)，a1，判断an是否为等差数列，并说明你的理由解：因为anSnSn1(n2)，an2SnSn10，所以SnSn12SnSn10(n2)所以2(n2)又S1a1，所
10、以是以2为首项，2为公差的等差数列所以2(n1)22n，故Sn.所以当n2时，anSnSn1， 所以an1，而an1an.所以当n2时，an1an的值不是一个与n无关的常数，故数列an不是等差数列刷好题1若an是公差为1的等差数列，则a2n12a2n是() A公差为3的等差数列B公差为4的等差数列C公差为6的等差数列D公差为9的等差数列解析：选Ca2n12a2n(a2n32a2n2)(a2n1a2n3)2(a2na2n2)2226，a2n12a2n是公差为6的等差数列2已知数列an中，a12，an2(n2，nN)，设bn(nN)求证：数列bn是等差数列证明：an2，an12.bn1bn1，bn
11、是首项为b11，公差为1的等差数列等差数列前n项和的最值明技法求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn，通过配方结合图像借助求二次函数最值的方法求解(2)邻项变号法：当a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.提能力【典例】 在等差数列an中，已知a110，前n项和为Sn，若S9S12，则Sn取得最大值时，n_，Sn的最大值为_解析：方法一因为a110，S9S12，所以910d1210d，所以d1.所以ann11.所以a110，即当n10时，an0，当n12时，an0，所
12、以当n10或11时，Sn取得最大值，且最大值为S10S111010 (1)55.方法二同法一求得d1.所以Sn10n(1)n2n2.因为nN，所以当n10或11时，Sn有最大值，且最大值为S10S1155.方法三同法一求得d1.又由S9S12得a10a11a120.所以3a110，即a110.所以当n10或11时，Sn有最大值且最大值为S10S1155.答案：10或1155刷好题设Sn为等差数列an的前n项和，(n1)SnnSn1(nN)若1，则()ASn的最大值是S8BSn的最小值是S8CSn的最大值是S7DSn的最小值是S7解析：选D由(n1)SnnSn1得(n1)n，整理得anan1，所以等差数列an是递增数列，又1，所以a80，a70，所以数列an的前7项为负值，即Sn的最小值是S7.