1、 数 学 B单元 函数与导数 B1函数及其表示14B1、B4 若函数f(x)(xR)是周期为4的奇函数，且在上的解析式为f(x)则ff_14. 由题易知ffffffsin.2B1、B3 下列函数中，定义域是R且为增函数的是()Ayex Byx3Cyln x Dy|x|2B 由定义域为R，排除选项C，由函数单调递增，排除选项A，D.21K2、B1、B12 将连续正整数1，2，n(nN*)从小到大排列构成一个数123n，F(n)为这个数的位数(如n12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F(12)15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率(1)求p(100
2、)；(2)当n2014时，求F(n)的表达式；(3)令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n)f(n)g(n)，Sn|h(n)1，n100，nN*，求当nS时p(n)的最大值21解：(1)当n100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p(100).(2)F(n)(3)当nb(1b9，bN*)，g(n)0；当n10kb(1k9，0b9，kN*，bN)时，g(n)k；当n100时，g(n)11，即g(n)1k9，0b9，kN*，bN，同理有f(n)由h(n)f(n)g(n)1，可知n9，19，29，39，49，59，69，7
3、9，89，90，所以当n100时，S9，19，29，39，49，59，69，79，89，90当n9时，p(9)0.当n90时，p(90).当n10k9(1k8，kN*)时，p(n)，由y关于k单调递增，故当n10k9(1k8，kN*)时，p(n)的最大值为p(89).又1，所以yR，所以函数yln(1)(x1)的反函数是y(ex1)3(xR)B3 函数的单调性与最值2B1、B3 下列函数中，定义域是R且为增函数的是()Ayex Byx3Cyln x Dy|x|2B 由定义域为R，排除选项C，由函数单调递增，排除选项A，D.4B3、B4 下列函数中，既是偶函数又在区间(，0)上单调递增的是()A
4、f(x) Bf(x)x21Cf(x)x3 Df(x)2x4A 由偶函数的定义，可以排除C，D，又根据单调性，可得B不对19B3、B4、B14、E8 已知函数f(x)exex，其中e是自然对数的底数(1)证明：f(x)是R上的偶函数(2)若关于x的不等式mf(x)ex m1在(0，)上恒成立，求实数m的取值范围(3)已知正数a满足：存在x0 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数(x)组成的集合：对于函数(x)，存在一个正数M，使得函数(x)的值域包含于区间例如，当1(x)x3，2(x)sin x时，1(x)A，2(x)B.现有如下命题：设函数f(x)的定义域为D，则“f(x
5、)A”的充要条件是“bR，aD，f(a)b”；若函数f(x)B，则f(x)有最大值和最小值；若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)A，g(x)B，则f(x)g(x)/B；若函数f(x)aln(x2)(x2，aR)有最大值，则f(x)B.其中的真命题有_(写出所有真命题的序号)15 若f(x)A，则函数f(x)的值域为R，于是，对任意的bR，一定存在aD，使得f(a)b，故正确取函数f(x)x(1x1)，其值域为(1，1)，于是，存在M1，使得函数f(x)的值域包含于，但此时函数f(x)没有最大值和最小值，故错误当f(x)A时，由可知，对任意的bR，存在aD，使得f(a)b，所以，当g
6、(x)B时，对于函数f(x)g(x)，如果存在一个正数M，使得f(x)g(x)的值域包含于，那么对于该区间外的某一个b0R，一定存在一个a0D，使得f(x)f(a0)b0g(a0)，即f(a0)g(a0)b0，故正确对于f(x)aln(x2)(x2)，当a0或a0时，函数f(x)都没有最大值要使得函数f(x)有最大值，只有a0，此时f(x)(x2)易知f(x)，所以存在正数M，使得f(x)，故正确21B3、B12 已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间上的最小值；(2)若f(1)0，函数f(
7、x)在区间(0，1)内有零点，证明：e2a1.21解：(1)由f(x)exax2bx1，得g(x)f(x)ex2axb，所以g(x)ex2a.当x时，g(x)当a时，g(x)0，所以g(x)在上单调递增，因此g(x)在上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)0，所以g(x)在上单调递减，因此g(x)在上的最小值是g(1)e2ab；当a时，令g(x)0，得xln(2a)(0，1)，所以函数g(x)在区间上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增，于是，g(x)在上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b.综上所述，当a时，g(x)在上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)在上的最
8、小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b；当a时，g(x)在上的最小值是g(1)e2ab.(2)证明：设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)f(x0)0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点由(1)知，当a时，g(x)在上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；当a时，g(x)在上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意所以a.此时g(x)在区间
9、上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增因此x1(0，ln(2a)，x2(ln(2a)，1)，必有g(0)1b0，g(1)e2ab0.由f(1)0有abe10，g(1)1a0.解得e2a1.所以，函数f(x)在区间(0，1)内有零点时，e2a1.B4 函数的奇偶性与周期性4B4 下列函数为偶函数的是()Af(x)x1 Bf(x)x2xCf(x)2x2x Df(x)2x2x4D A中，f(x)x1，f(x)为非奇非偶函数；B中，f(x)(x)2xx2x，f(x)为非奇非偶函数；C中，f(x)2x2x(2x2x)f(x)，f(x)为奇函数；D中，f(x)2x2xf(x)，f(x)为偶函数故选
10、D.14B1、B4 若函数f(x)(xR)是周期为4的奇函数，且在上的解析式为f(x)则ff_14. 由题易知ffffffsin.5B4 下列函数为奇函数的是()A2x Bx3sin x C2cos x1 Dx22x5A 对于A选项，令f(x)2x2x2x，其定义域是R，f(x)2x2xf(x)，所以A正确；对于B选项，根据奇函数乘奇函数是偶函数，所以x3sin x是偶函数；C显然也是偶函数；对于D选项，根据奇偶性的定义，该函数显然是非奇非偶函数9B4、B9 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()A1，3 B3，1，1，3C2
11、，1，3 D2，1，39D 设x0，所以f(x)f(x)x23x .求函数g(x)f(x)x3的零点等价于求方程f(x)3x的解当x0时，x23x3x，解得x13，x21；当x0时，x23x3x，解得x32.故选D.4B3、B4 下列函数中，既是偶函数又在区间(，0)上单调递增的是()Af(x) Bf(x)x21Cf(x)x3 Df(x)2x4A 由偶函数的定义，可以排除C，D，又根据单调性，可得B不对15B4 若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a_15 由偶函数的定义可得f(x)f(x)，即ln(e3x1)axln(e3x1)ax，2axln e3x3x，a.19B3、B4、B14、
12、E8 已知函数f(x)exex，其中e是自然对数的底数(1)证明：f(x)是R上的偶函数(2)若关于x的不等式mf(x)ex m1在(0，)上恒成立，求实数m的取值范围(3)已知正数a满足：存在x0 奇函数f(x)的定义域为R.若f(x2)为偶函数，且f(1)1，则f(8)f(9)()A2 B1C0 D112D 因为f(x2)为偶函数，所以其对称轴为直线x0，所以函数f(x)的图像的对称轴为直线x2.又因为函数f(x)是奇函数，其定义域为R，所以f(0)0，所以f(8)f(4)f(4)f(0)0，故f(8)f(9)0f(5)f(5)f(1)f(1)1.15B4 偶函数yf(x)的图像关于直线x
13、2对称，f(3)3，则f(1)_153 因为函数图像关于直线x2对称，所以f(3)f(1)，又函数为偶函数，所以f(1)f(1)，故f(1)3.5B4 设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数5C 因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以有f(x)f(x)，g(x)g(x)，于是f(x)g(x)f(x)g(x)，即f(x)g(x)为奇函数，A错；|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，即|f(x)|g(x)为偶函
14、数，B错；f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，即f(x)|g(x)|为奇函数，C正确；|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，即f(x)g(x)为偶函数，所以D也错13B4 设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x 由题意可知，fff421.B5 二次函数10B5 已知函数f(x)x2mx1，若对于任意x，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_10. 因为f(x)x2mx1是开口向上的二次函数，所以函数的最大值只能在区间端点处取到，所以对于任意x，都有f(x)0，只需解得即m.14B5、C6 函数ycos 2x2sin x的最大值为_14. 因为ycos 2x2sin x12si
15、nx22sin x2，所以当sin x时函数ycos 2x2sin x取得最大值，最大值为.B6 指数与指数函数 5B6 设alog37，b21.1，c0.83.1，则()Abac Bcab Ccba Dacalog371，b21.12，c0.83.11，所以ca0，且a1)的图像如图12所示，则下列函数图像正确的是()图12ABCD图138B 由函数ylogax的图像过点(3，1)，得a3.选项A中的函数为y，其函数图像不正确；选项B中的函数为yx3，其函数图像正确；选项C中的函数为y(x)3，其函数图像不正确；选项D中的函数为ylog3(x)，其函数图像不正确，故选B.3B6、B7 已知a
16、2，blog2，clog，则()Aabc BacbCcba Dcab3D 因为0a21，blog2log1，所以cab.15B6、B8 设函数f(x)则使得f(x)2成立的x的取值范围是_15(，8 当x1时，由ex12，得x1；当x1时，由x2，解得1x8，综合可知x的取值范围为x8.5B6，E1 已知实数x，y满足axay(0ay3 Bsin xsin yCln(x21)ln(y21) D.5A 因为axay(0a1)，所以xy，所以x3y3恒成立故选A.7B6 下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是()Af(x)x3 Bf(x)3xCf(x)x Df(x)7B 由
17、于f(xy)f(x)f(y)，故排除选项A，C.又f(x)为单调递减函数，所以排除选项D.12B6 已知4a2，lg xa，则x_12. 4a2，即22a2，可得a，所以lg x，所以x10.7B6、B7 已知b0，log5ba，lg bc，5d10，则下列等式一定成立的是()Adac BacdCcad Ddac7B 因为5d10，所以dlog510，所以cdlg blog510log5ba，故选B.9B6、H4 设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的取值范围是()A，2 B，2 C，4 D9B 由题意可知，定点A(0，0)，B(1
18、，3)，且两条直线互相垂直，则其交点P(x，y)落在以AB为直径的圆周上，所以|PA|2|PB|2|AB|210，即|PA|PB|AB|.又|PA|PB|2 ，所以|PA|PB|，2 ，故选B.4B6 设alog2，blog，c2，则()Aabc BbacCacb Dcba4C alog21，blog0，c1，bc0且yx2单调递减，故x(，0)11B7 log3log3_.11. 原式 log3.8B7、B8 在同一直角坐标系中，函数f(x)xa(x0)，g(x)logax的图像可能是() AB CD图128D 只有选项D符合，此时0a0，且a1)的图像如图12所示，则下列函数图像正确的是(
19、)图12ABCD图138B 由函数ylogax的图像过点(3，1)，得a3.选项A中的函数为y，其函数图像不正确；选项B中的函数为yx3，其函数图像正确；选项C中的函数为y(x)3，其函数图像不正确；选项D中的函数为ylog3(x)，其函数图像不正确，故选B.13D3、B7 等比数列an的各项均为正数，且a1a54，则log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5_135 在等比数列中，a1a5a2a4a4.因为an0，所以a32，所以a1a2a3a4a5(a1a5)(a2a4)a3a25，所以log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5log2(a1a2a3a4
20、a5)log2255.3B6、B7 已知a2，blog2，clog，则()Aabc BacbCcba Dcab3D 因为0a21，blog2log1，所以cab.6B7，B8 已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图像如图11所示，则下列结论成立的是()图11Aa1，x1 Ba1，0c1C0a1 D0a1，0c16D 由该函数的图像通过第一、二、四象限，得该函数是减函数，0a1.图像与x轴的交点在区间(0，1)之间，该函数的图像是由函数ylogax的图像向左平移不到1个单位后得到的，0c1.7B6、B7 已知b0，log5ba，lg bc，5d10，则下列等式一定成立的是
21、()Adac BacdCcad Ddac7B 因为5d10，所以dlog510，所以cdlg blog510log5ba，故选B.9B7、E6 若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是()A62 B72C64 D749D 由log4(3a4b)log2，得3a4bab，则1，所以ab(ab)77274，当且仅当，即a42，b23时等号成立，故其最小值是74.B8 幂函数与函数的图像8B7、B8 在同一直角坐标系中，函数f(x)xa(x0)，g(x)logax的图像可能是() AB CD图128D 只有选项D符合，此时0a0，且a1)的图像如图12所示，则下列函数图像正确的是()图12
22、ABCD图138B 由函数ylogax的图像过点(3，1)，得a3.选项A中的函数为y，其函数图像不正确；选项B中的函数为yx3，其函数图像正确；选项C中的函数为y(x)3，其函数图像不正确；选项D中的函数为ylog3(x)，其函数图像不正确，故选B.15B8 如图14所示，函数yf(x)的图像由两条射线和三条线段组成若xR，f(x)f(x1)，则正实数a的取值范围为_图1415. “xR，f(x)f(x1)”等价于“函数yf(x)的图像恒在函数yf(x1)的图像的上方”，函数yf(x1)的图像是由函数yf(x)的图像向右平移一个单位得到的，如图所示因为a0，由图知6a1，所以a的取值范围为.
23、13B8、B9 已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是_13. 先画出yx22x在区间上的图像，再将x轴下方的图像对称到x轴上方，利用周期为3，将图像平移至区间内，即得f(x)在区间上的图像如下图所示，其中f(3)f(0)f(3)0.5，f(2)f(1)f(4)0.5.函数yf(x)a在区间上有10个零点(互不相同)等价于yf(x)的图像与直线ya有10个不同的交点，由图像可得a. 15B6、B8 设函数f(x)则使得f(x)2成立的x的取值范围是_15(，8 当x1时，由ex12，得x0，a1)的图像如图11所示，则下列结论成立的是()
24、图11Aa1，x1 Ba1，0c1C0a1 D0a1，0c0，f(4)0.50，根据零点的存在性定理知选C.方法二：在同一坐标系中作出函数h(x)与g(x)log2x的大致图像，如图所示，可得f(x)的零点所在的区间为(2，4)7B9 已知函数f(x)x3ax2bxc，且0f(1)f(2)f(3)3，则()Ac3 B3c6C6c9 Dc97C 由f(1)f(2)f(3)得则f(x)x36x211xc，而0f(1)3，故06c3，60时，f(x)2x6ln x，令2x6ln x0，得ln x62x.作出函数yln x与y62x在区间(0，)上的图像，则两函数图像只有一个交点，即函数f(x)2x6
25、ln x(x0)只有一个零点综上可知，函数f(x)的零点的个数是2.9B4、B9 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()A1，3 B3，1，1，3C2，1，3 D2，1，39D 设x0，所以f(x)f(x)x23x .求函数g(x)f(x)x3的零点等价于求方程f(x)3x的解当x0时，x23x3x，解得x13，x21；当x0时，x23x3x，解得x32.故选D.13B8、B9 已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是_13. 先画出yx22x在区间上的图像，再将x轴下方的
26、图像对称到x轴上方，利用周期为3，将图像平移至区间内，即得f(x)在区间上的图像如下图所示，其中f(3)f(0)f(3)0.5，f(2)f(1)f(4)0.5.函数yf(x)a在区间上有10个零点(互不相同)等价于yf(x)的图像与直线ya有10个不同的交点，由图像可得a. 4B9 已知函数f(x)(aR)若f1，则a()A. B. C1 D24A 因为f(1)212，f(2)a224a1，所以a.15B9 设函数f(x)若f(f(a)2，则a_.15. 令tf(a)，若f(t)2，则t22t22 满足条件，此时t0或t2，所以f(a)0或f(a)2，只有a22满足条件，故a.21B9 函数f
27、(x)ax33x23x(a0)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1，2)是增函数，求a的取值范围21解：(1)f(x)3ax26x3，f(x)0的判别式36(1a)(i)若a1，则f(x)0，且f(x)0当且仅当a1，x1时成立故此时f(x)在R上是增函数(ii)由于a0，故当a1时，f(x)0有两个根；x1，x2.若0a1，则当x(，x2)或x(x1，)时，f(x)0，故f(x)分别在(，x2)，(x1，)是增函数；当x(x2，x1)时，f(x)0，故f(x)在(x2，x1)是减函数若a0，则当x(，x1)或(x2，)时，f(x)0，故f(x)分别在(，x1)，(x2，)是
28、减函数；当x(x1，x2)时f(x)0，故f(x)在(x1，x2)是增函数(2)当a0，x0时，f(x)3ax26x30，故当a0时，f(x)在区间(1，2)是增函数当a0时，f(x)在区间(1，2)是增函数当且仅当f(1)0且f(2)0，解得a0.综上，a的取值范围是(0，)14B9 已知函数f(x)若函数yf(x)a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为_14(1，2) 在同一坐标系内分别作出yf(x)与ya|x|的图像，如图所示，当ya|x|与yf(x)的图像相切时，联立整理得x2(5a)x40，则(5a)24140，解得a1或a9(舍去)，当ya|x|与yf(x)的图像有四个交点时，
29、有1a2.B10 函数模型及其应用 8B10 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a，b，c是常数)，图12记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()图12A3.50分钟 B3.75分钟C4.00分钟 D4.25分钟8B 由题意得解之得p0.2t21.5t20.2(t3.75)20.8125，即当t3.75时，p有最大值10B10 如图12所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解
30、析式为()图12Ayx3x2xByx3x23xCyx3xDyx3x22x10A 由题意可知，该三次函数的图像过原点，则其常数项为0，不妨设其解析式为yf(x)ax3bx2cx，则f(x)3ax22bxc，f(0)1，f(2)3，可得c1，3ab1.又yax3bx2cx过点(2，0)，4a2b1，a，b，c1，yf(x)x3x2x.B11 导数及其运算21B11、B12、E8 设函数f(x)ln x，mR.(1)当me(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)f(x)零点的个数；(3)若对任意ba0，1恒成立，求m的取值范围21解：(1)由题设，当me时，f(x)ln
31、x，则f(x)，当x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增xe时，f(x)取得极小值f(e)ln e2，f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)f(x)(x0)，令g(x)0，得mx3x(x0)，设(x)x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)，当x(0，1)时，(x)0，(x)在(0，1)上单调递增；当x(1，)时，(x)时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0ma0，1恒成立，等价于f(b)b0)，(*)等价于h(x)在(0，)上单调递减由h(x)10在(0，)上恒成
32、立，得mx2x(x0)恒成立，m，m的取值范围是.20B11、B12 设函数f(x)1(1a)xx2x3，其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值20解： (1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2.令f(x)0，得x1，x2，且x1x2，所以f(x)3(xx1)(xx2)当xx2时，f(x)0；当x1x0.故f(x)在和 内单调递减，在内单调递增(2)因为a0，所以x10，当a4时，x21，由(1)知，f(x)在上单调递增，所以f(x)在x0和x1处分别取得最小值和最大值当0a4时，x21，由(1)知，f(x)在上单调
33、递增，在上单调递减，因此f(x)在xx2处取得最大值又f(0)1，f(1)a，所以当0a1时，f(x)在x1处取得最小值；当a1时，f(x)在x0和x1处同时取得最小值；当1a4时，f(x)在x0处取得最小值20B11、B12 已知函数f(x)2x33x.(1)求f(x)在区间上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点A(1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线yf(x)相切？(只需写出结论)20解：(1)由f(x)2x33x得f(x)6x23.令f(x)0，得x或x.因为f(2)10，f，f，f(1)1，所以f(x)
34、在区间上的最大值为f.(2)设过点P(1，t)的直线与曲线yf(x)相切于点(x0，y0)，则y02x3x0，且切线斜率为k6x3，所以切线方程为yy0(6x3)(xx0)，因此ty0(6x3)(1x0)，整理得4x6xt30，设g(x)4x36x2t3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”g(x)12x212x12x(x1)当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下：x(，0)0(0，1)1(1，)g(x)00g(x)t3t1所以，g(0)t3是g(x)的极大值，g(1)t1是g(x)的极小值结合图像知，当g(x)有3个不同零点时，有解得3
35、t1.故当过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切时，t的取值范围是(3，1)(3)过点A(1，2)存在3条直线与曲线yf(x)相切；过点B(2，10)存在2条直线与曲线yf(x)相切；过点C(0，2)存在1条直线与曲线yf(x)相切22B11、B12 已知函数f(x)exax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线yf(x)在点A处的切线斜率为1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x0时，x2ex；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x(x0，)时，恒有xcex.22解：方法一：(1)由f(x)exax，得f(x)exa.又f(0)1a1，得a2.所以f(
36、x)ex2x，f(x)ex2.令f(x)0，得xln 2.当xln 2时，f(x)0，f(x)单调递减；当xln 2时，f(x)0，f(x)单调递增所以当xln 2时，f(x)有极小值，且极小值为f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)无极大值(2)证明：令g(x)exx2，则g(x)ex2x.由(1)得，g(x)f(x)f(ln 2)2ln 40，即g(x)0.所以g(x)在R上单调递增，又g(0)10，所以当x0时，g(x)g(0)0，即x2ex.(3)证明：对任意给定的正数c，取x0，由(2)知，当x0时，x2ex.所以当xx0时，exx2x，即xln(kx)，即xln x
37、ln k成立若0k1，则ln k0，易知当x0时，xln xln xln k成立即对任意c 曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程为_115xy20 y5ex，所求切线斜是k5e05，切线方程是y(2)5(x0)，即5xy20.11B11 在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_113 易知y2ax.根据题意有解得故ab3.23B11、M3 已知函数f0(x)(x0)，设fn(x)为fn1(x)的导数，nN*.(1)求2f1f2的值；(2)证明：对任意的nN*，等式都成立23解： (1)由已知，得f
38、1(x)f0(x)，于是f2(x)f1(x)，所以f1，f2.故2f1f21.(2)证明：由已知得，xf0(x)sin x，等式两边分别对x求导，得f0(x)xf0(x)cos x，即f0(x)xf1(x)cos xsin.类似可得2f1(x)xf2(x)sin xsin(x)，3f2(x)xf3(x)cos xsin，4f3(x)xf4(x)sin xsin(x2)下面用数学归纳法证明等式nfn1(x)xfn(x)sin对所有的nN*都成立(i)当n1时，由上可知等式成立(ii)假设当nk时等式成立，即kfk1(x)xfk(x)sin.因为kfk1(x)fk(x)xfk(x)(k1)fk(x
39、)xfk1(x)，cossin，所以(k1)fk(x)xfk1(x)sin，因此当nk1时，等式也成立综合(i)(ii)可知，等式nfn1(x)xfn(x)sin对所有的nN*都成立令x，可得nfn1fnsin(nN*)，所以 (nN*)21B11、B12 设函数f(x)aln xx2bx(a1)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x01，使得f(x0)，求a的取值范围21解：(1)f(x)(1a)xb.由题设知f(1)0，解得b1，(2)f(x)的定义域为(0，)，由(1)知，f(x)aln xx2x，f(x)(1a)x1(x1)(i)若a，则1，故当
40、x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)上单调递增所以，存在x01，使得f(x0)的充要条件为f(1)，即1，解得1a1.(ii)若a1，故当x时，f(x)0.f(x)在上单调递减，在上单调递增所以，存在x01，使得f(x0)的充要条件为f，所以不合题意(iii)若a1, 则f(1)1，符合题意综上，a的取值范围是(1，1)(1，)20B11，B12 设函数f(x)aln x，其中a为常数(1)若a0，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性20解：(1)由题意知，当a0时，f(x)，x(0，)此时f(x)，所以f(1).又f(1)0，所以曲线yf(x
41、)在(1，f(1)处的切线方程为x2y10.(2)函数f(x)的定义域为(0，)f(x).当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当a时，0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a0时，0.设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零点，则x1，x2.因为x10，所以，x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减，x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增，x(x2，)时，g(x)0，
42、f(x)0，函数f(x)单调递减综上可得，当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当a0)令f(x)0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)0所以，f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是(，0)，.当x0时，f(x)有极小值，且极小值f(0)0；当x时，f(x)有极大值，且极大值f.(2)由f(0)f0及(1)知，当x时，f(x)0；当x时，f(x)2，即0a时，由f0可知，0A，而0B，所以A不是B的子集(ii)当12，即a时，有f(2)0，且此时f(x)在(2，)上单调递减，故A(，f
43、(2)，因而A(，0)由f(1)0，有f(x)在(1，)上的取值范围包含(，0)，则(，0)B，所以AB.(iii)当时，有f(1)0，且此时f(x)在(1，)上单调递减，故B，A(，f(2)，所以A不是B的子集综上，a的取值范围是.B12 导数的应用21B3、B12 已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间上的最小值；(2)若f(1)0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e2a1.21解：(1)由f(x)exax2bx1，得g(x)f(x)ex2axb，所以g(x)ex2a.当x时
44、，g(x)当a时，g(x)0，所以g(x)在上单调递增，因此g(x)在上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)0，所以g(x)在上单调递减，因此g(x)在上的最小值是g(1)e2ab；当a时，令g(x)0，得xln(2a)(0，1)，所以函数g(x)在区间上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增，于是，g(x)在上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b.综上所述，当a时，g(x)在上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)在上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b；当a时，g(x)在上的最小值是g(1)e2ab.(2)证明：设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零
45、点，则由f(0)f(x0)0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点由(1)知，当a时，g(x)在上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；当a时，g(x)在上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意所以a.此时g(x)在区间上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增因此x1(0，ln(2a)，x2(ln(2a)，1)，必有g(0)1b0，g(1)e2ab0.由f(1
46、)0有abe10，g(1)1a0.解得e2a1.所以，函数f(x)在区间(0，1)内有零点时，e2a1.15B12 若直线l与曲线C满足下列两个条件：(i)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(ii)曲线C在点P附近位于直线l的两侧则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)直线l：y0在点P(0，0)处“切过”曲线C：yx3；直线l：x1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y(x1)2；直线l：yx在点P(0，0)处“切过”曲线C：ysin x；直线l：yx在点P(0，0)处“切过”曲线C：ytan x；直线l：yx1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y
47、ln x.15 对于，因为y3x2，yx00，所以l：y0是曲线C：yx3在点P(0，0)处的切线，画图可知曲线C在点P附近位于直线l的两侧，正确；对于，因为y2(x1)，yx10，所以l：x1不是曲线C：y(x1)2在点P(1，0)处的切线，错误；对于，ycos x，yx01，所以曲线C在点P(0，0)处的切线为l：yx，画图可知曲线C在点P附近位于直线l的两侧，正确；对于，y，yx01，所以曲线C在点P(0，0)处的切线为l：yx，画图可知曲线C在点P附近位于直线l的两侧，正确；对于，y，yx11，所以曲线C在点P(1，0)处切线为l：yx1，又由h(x)x1ln x(x0)可得h(x)1
48、，所以hmin(x)h(1)0，故x1ln x，所以曲线C在点P附近位于直线l的下侧，错误20B11、B12 设函数f(x)1(1a)xx2x3，其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值20解： (1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2.令f(x)0，得x1，x2，且x1x2，所以f(x)3(xx1)(xx2)当xx2时，f(x)0；当x1x0.故f(x)在和 内单调递减，在内单调递增(2)因为a0，所以x10，当a4时，x21，由(1)知，f(x)在上单调递增，所以f(x)在x0和x1处分别取得最小值和最大值当0a4
49、时，x21，由(1)知，f(x)在上单调递增，在上单调递减，因此f(x)在xx2处取得最大值又f(0)1，f(1)a，所以当0a1时，f(x)在x1处取得最小值；当a1时，f(x)在x0和x1处同时取得最小值；当1a4时，f(x)在x0处取得最小值20B11、B12 已知函数f(x)2x33x.(1)求f(x)在区间上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点A(1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线yf(x)相切？(只需写出结论)20解：(1)由f(x)2x33x得f(x)6x23.令f(x)0，得x或x.因为f(2
50、)10，f，f，f(1)1，所以f(x)在区间上的最大值为f.(2)设过点P(1，t)的直线与曲线yf(x)相切于点(x0，y0)，则y02x3x0，且切线斜率为k6x3，所以切线方程为yy0(6x3)(xx0)，因此ty0(6x3)(1x0)，整理得4x6xt30，设g(x)4x36x2t3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”g(x)12x212x12x(x1)当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下：x(，0)0(0，1)1(1，)g(x)00g(x)t3t1所以，g(0)t3是g(x)的极大值，g(1)t1是g(x)的极小值结合图像
51、知，当g(x)有3个不同零点时，有解得3t1.故当过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切时，t的取值范围是(3，1)(3)过点A(1，2)存在3条直线与曲线yf(x)相切；过点B(2，10)存在2条直线与曲线yf(x)相切；过点C(0，2)存在1条直线与曲线yf(x)相切22B11、B12 已知函数f(x)exax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线yf(x)在点A处的切线斜率为1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x0时，x2ex；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x(x0，)时，恒有xcex.22解：方法一：(1)由f(x)exax，得f(x)e
52、xa.又f(0)1a1，得a2.所以f(x)ex2x，f(x)ex2.令f(x)0，得xln 2.当xln 2时，f(x)0，f(x)单调递减；当xln 2时，f(x)0，f(x)单调递增所以当xln 2时，f(x)有极小值，且极小值为f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)无极大值(2)证明：令g(x)exx2，则g(x)ex2x.由(1)得，g(x)f(x)f(ln 2)2ln 40，即g(x)0.所以g(x)在R上单调递增，又g(0)10，所以当x0时，g(x)g(0)0，即x2ex.(3)证明：对任意给定的正数c，取x0，由(2)知，当x0时，x2ex.所以当xx0时，e
53、xx2x，即xln(kx)，即xln xln k成立若0k1，则ln k0，易知当x0时，xln xln xln k成立即对任意c 已知函数f(x)x3x2ax1(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0，即0xe时，函数f(x)单调递增；当f(x)e时，函数f(x)单调递减故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，)(2)因为e3，所以eln 3eln ，ln eln 3，即ln 3eln e，ln eln 3.于是根据函数yln x，yex，yx在定义域上单调递增可得，3ee3，e3e3.故这6个数中的最大数在3与3之中，最小数在3e与e3之中由e3及(1)的
54、结论，得f()f(3)f(e)，即.由， 得ln 33.由，得ln 3eln e3，所以3e0，此时f(x)0; 当x(2k1)，(2k2)(kN)时，sin x0.故f(x)的单调递减区间为(2k，(2k1)(kN)，单调递增区间为(2k1)，(2k2)(kN)(2)由(1)知，f(x)在区间(0，)上单调递减又f0，故x1.当nN*时，因为f(n)f0，且函数f(x)的图像是连续不断的，所以f(x)在区间(n，(n1)内至少存在一个零点又f(x)在区间(n，(n1)上是单调的，故nxn1(n1).因此，当n1时，；当n2时，(41)；当n3时，.综上所述，对一切nN*，.11B12 若曲线
55、yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_11(e，e) 由题意知，yln x1，直线斜率为2.由导数的几何意义知，令ln x12，得xe，所以yeln ee，所以P(e，e)21K2、B1、B12 将连续正整数1，2，n(nN*)从小到大排列构成一个数123n，F(n)为这个数的位数(如n12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F(12)15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率(1)求p(100)；(2)当n2014时，求F(n)的表达式；(3)令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n)f(n)
56、g(n)，Sn|h(n)1，n100，nN*，求当nS时p(n)的最大值21解：(1)当n100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p(100).(2)F(n)(3)当nb(1b9，bN*)，g(n)0；当n10kb(1k9，0b9，kN*，bN)时，g(n)k；当n100时，g(n)11，即g(n)1k9，0b9，kN*，bN，同理有f(n)由h(n)f(n)g(n)1，可知n9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，所以当n100时，S9，19，29，39，49，59，69，79，89，90当n9时，p(9)0.当n90时，p(90
57、).当n10k9(1k8，kN*)时，p(n)，由y关于k单调递增，故当n10k9(1k8，kN*)时，p(n)的最大值为p(89).又，所以当nS时，p(n)的最大值为.12E8、B12 当x时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是()A B.C D12C 当2x0时，不等式可转化为a，令f(x)(2x0)，则f(x)，故函数f(x)在上单调递减，在(1，0)上单调递增，此时有afmin(x)f(1)2.当x0时，不等式恒成立当0x1时，a，令g(x)(00，由题可知f(x)0，即得kx10，得x(k0.当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10时，
58、令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以g(x)h(x)h(2)0，所以g(x)0在(0，)上没有实根综上，g(x)0在R有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点12B12 已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是()A(2，) B(1，)C(，2) D(，1)12C 显然a0时，函数有两个不同的零点，不符合当a0时，由f(x)3ax26x0，得x10，x2.当a0时，函数f(x)在(，0)，上单调递增，在上单调递减，又f(
59、0)1，所以函数f(x)存在小于0的零点，不符合题意；当a0，解得a0，f(x)在(1，)上单调递增所以，存在x01，使得f(x0)的充要条件为f(1)，即1，解得1a1.(ii)若a1，故当x时，f(x)0.f(x)在上单调递减，在上单调递增所以，存在x01，使得f(x0)的充要条件为f，所以不合题意(iii)若a1, 则f(1)1，符合题意综上，a的取值范围是(1，1)(1，)20B11，B12 设函数f(x)aln x，其中a为常数(1)若a0，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性20解：(1)由题意知，当a0时，f(x)，x(0，)此时f(x)
60、，所以f(1).又f(1)0，所以曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为x2y10.(2)函数f(x)的定义域为(0，)f(x).当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当a时，0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当a0时，0.设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零点，则x1，x2.因为x10，所以，x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减，x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数
61、f(x)单调递增，x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减综上可得，当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当a0时，f(x)在，上单调递减，在上单调递增21B11、B12、E8 设函数f(x)ln x，mR.(1)当me(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)f(x)零点的个数；(3)若对任意ba0，1恒成立，求m的取值范围21解：(1)由题设，当me时，f(x)ln x，则f(x)，当x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增xe时，f(x)取得极小值f(e)ln e2，f(x)的极
62、小值为2.(2)由题设g(x)f(x)(x0)，令g(x)0，得mx3x(x0)，设(x)x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)，当x(0，1)时，(x)0，(x)在(0，1)上单调递增；当x(1，)时，(x)时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0ma0，1恒成立，等价于f(b)b0)，(*)等价于h(x)在(0，)上单调递减由h(x)10在(0，)上恒成立，得mx2x(x0)恒成立，m，m的取值范围是.19B11、B12 已知函数f(x)x2ax3(a0)，xR.(1)求f(x)的单
63、调区间和极值；(2)若对于任意的x1(2，)，都存在x2(1，)，使得f(x1)f(x2)1，求a的取值范围19解：(1)由已知，有f(x)2x2ax2(a0)令f(x)0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)0所以，f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是(，0)，.当x0时，f(x)有极小值，且极小值f(0)0；当x时，f(x)有极大值，且极大值f.(2)由f(0)f0及(1)知，当x时，f(x)0；当x时，f(x)2，即0a时，由f0可知，0A，而0B，所以A不是B的子集(ii)当12，即a时，有f(2)0，且此时f(x)在(2，
64、)上单调递减，故A(，f(2)，因而A(，0)由f(1)0，有f(x)在(1，)上的取值范围包含(，0)，则(，0)B，所以AB.(iii)当时，有f(1)0，1x1，所以，(i)当0a1时，若x，则f(x)x33x3a，f(x)3x230，故f(x)在(a，1)上是增函数所以g(a)f(a)a3.(ii)当a1时，有xa，则f(x)x33x3a，f(x)3x230，故f(x)在(1，1)上是减函数，所以g(a)f(1)23a.综上，g(a)(2)证明：令h(x)f(x)g(a)(i)当0a0，则h(x)在(a，1)上是增函数，所以h(x)在上的最大值是h(1)43aa3，而0a1，所以h(1
65、)0，知t(a)在(0，1)上是增函数，所以t(a)t(1)4，即h(1)0时，f(x)x2x，则f(1)()A2 B0C2 D13A 因为f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)2.6 设函数f(x)是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为()A(，2)B.C(0，2)D.6B 依题意可得解得a.2 已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且当x(0，1)时，f(x).(1)求f(x)在区间上的解析式；(2)若存在x(0，1)，满足f(x)m，求实数m的取值范围2解：(1)当x(1，0)时，x(0，1)由f(x)为R上的奇函数，得f(x)f(x)，f(x)，x(1，0)又由f
66、(x)为奇函数，得f(0)0，f(1)f(1)，且f(1)f(1)，f(1)0，f(1)0，故f(x)在区间上的解析式为f(x)(2)x(0，1)，f(x)1.又2x(1，2)，10，.若存在x(0，1)，满足f(x)m，则m，故实数m的取值范围为，.7 设函数f(x)x1(Q)的定义域为，其中0ab，且f(x)在区间上的最大值为6，最小值为3，则f(x)在区间上的最大值与最小值的和是()A5 B9C5或9 D以上都不对7C 设h(x)f(x)1x，则由题意可知，h(x)为奇函数或偶函数当h(x)为奇函数时，由f(x)在区间上的最大值为6，最小值为3，得h(x)在区间上的最大值与最小值分别是2
67、和5，从而f(x)在区间上的最大值与最小值分别是1和4，其和为5；当h(x)为偶函数时，由f(x)在区间上的最大值为6，最小值为3，得h(x)在区间上的最大值与最小值分别是5和2，从而f(x)在区间上的最大值与最小值分别是6和3，其和为9.故选C.4 若f(x)x3x24x1，其中0，则导数f(1)的取值范围是()A BC D4A 因为f(x)sin x2cos x4，所以f(1)sin cos 42sin4.又0，所以2sin，故f(1)2 已知函数f(x)x3x2cxd有极值，则实数c的取值范围为()Ac2A 由题意知，f(x)x2xc.函数f(x)有极值，14c0，解得cf(x)若x1e
68、x2f(x1) Bex1f(x2)f(x)，所以f(x)f(x)0.故可构造函数F(x)，则F(x)0，即函数F(x)在R上单调递增又因为x1x2，所以F(x1)F(x2)，即，故ex2f(x1)ex1f(x2)2 已知函数f(x)x3ax2bx.(1)若函数f(x)在区间内各有一个极值点，当a2b取最大值时，求函数f(x)的解析式(2)若a1，在曲线yf(x)上是否存在唯一的点P，使曲线在点P处的切线l与曲线只有一个公共点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由2解：(1)因为函数f(x)x3ax2bx在区间内各有一个极值点，所以x22axb0在区间内各有一个实数根设两个实根分别为x1，x2(x1x2)，则x1x2a，x1x2b，所以x2x12 ，且0x2x14，所以02 4，即01时，g(x)0；当x1时，g(x)0.故函数g(x)有唯一的零点x01，且在x01两边附近的函数值异号故在曲线yf(x)上存在唯一的点P(1，f(1)，使曲线yf(x)在点P处的切线l与曲线yf(x)只有一个公共点
