1、第一节函数及其表示学习要求:1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用.1.函数与映射的概念函数映射两集合A、B设A、B是两个非空数集设A、B是两个非空集合对应关系f:AB按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应按某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f:AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射
2、记法y=f(x),xA对应f:AB提醒判断一个对应关系是不是函数关系,就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点.2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域:在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(3)相等函数:若两个函数的定义域相同,且对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示方法:解析法、图象法、列表法.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的
3、不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.提醒一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的定义域不可以相交.知识拓展1.常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y=ax(a0且a1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.(5)y=tan x的定义域为xxR且xk+2,kZ.(6)函数f(x)=x0的定义域为x|xR且x0.(7)y=logax(a0,且a1)的定义域为x|x0.2.基本初等函数的值域(1)y=kx+
4、b(k0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a0)的值域:当a0时,值域为4ac-b24a,+;当a0且a1)的值域是(0,+).(5)y=logax(a0且a1)的值域是R.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)函数y=1与y=x0是同一个函数.()(2)f(x)=x-3+2-x是一个函数.()(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.()(4)函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个.()答案(1)(2)(3)(4)2.若函数y=f(x)的定义域为M=x|-2x2,值域为N=y|0y2,则函数y=f(x)的图象可能是()答案B3.(新教材人教A版必修
5、第一册P65例2改编)函数f(x)=12x-1的定义域为()A.(0,+)B.0,+)C.(1,+)D.1,+)答案A要使f(x)=12x-1有意义,需满足2x-10,解得x0,函数f(x)=12x-1的定义域为(0,+),故选A.4.(2020山东威海一中期中)已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x-2)的定义域为()A.(-1,1)B.-1,-12C.(-1,0)D.12,1答案Df(x)的定义域为(-1,0),-12x-20,解得12x0,即-1x0,即|x|4,(x-3)(x-2)x-30,解得2x3或3x4,故f(x)的定义域为(2,3)(3,4.角度二已知函数定义域
6、,求参数的取值范围典例3(1)(2019河北衡水联考)若函数y=mx-1mx2+4mx+3的定义域为R,则实数m的取值范围是()A.0,34B.0,34C.0,34D.0,34(2)若函数f(x)=ax2+abx+b的定义域为x|1x2,则a+b的值为.答案(1)D(2)-92解析(1)要使函数的定义域为R,则mx2+4mx+30恒成立,当m=0时,显然满足条件;当m0时,由=(4m)2-4m30,得0m34.综上可知,0m34.(2)函数f(x)=ax2+abx+b的定义域是不等式ax2+abx+b0的解集.由题意知不等式ax2+abx+b0的解集为x|1x2,所以a0,1+2=-b,12=
7、ba,解得a=-32,b=-3,所以a+b=-32-3=-92.角度三抽象函数的定义域典例4已知函数f(x)的定义域是0,2,则函数g(x)=f x+12+f x-12的定义域是.答案12,32解析因为函数f(x)的定义域是0,2,所以函数g(x)=fx+12+fx-12中的自变量x需要满足0x+122,0x-122,解得12x32,所以函数g(x)的定义域是12,32.变式探究若函数y=f(x)的定义域是0,2,则函数g(x)=f(2x)x-1的定义域是.答案0,1)解析由题意得02x2,x-10,解得0x0恒成立,则a=0或a0,=(-4a)2-4a20,解得0a1,若f(x)的最小值为f
8、(1),则实数a的取值范围是.答案2,+)解析当x1时, f(x)=x+4x+a4+a,当且仅当x=2时,等号成立.当x1时, f(x)=x2-2ax+9为二次函数,要想在x=1处取最小值,则函数图象的对称轴要满足x=a1,并且f(1)4+a,即1-2a+9a+4,解得a2.角度二已知函数值,求参数的值(或取值范围)典例7设函数f(x)=x2+2x,xf(a-1),则实数a的取值范围是.答案-1;-12,+名师点评分段函数问题的求解策略(1)根据分段函数的解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时,应根据每
9、一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.1.(2020辽宁盘锦一中模拟)已知函数f(x)=2ex-1,x1,x3+x,x1,则f(f(x)2的解集为()A.(1-ln 2,+)B.(-,1-ln 2)C.(1-ln 2,1)D.(1,1+ln 2)答案B因为当x1时, f(x)=x3+x2,当x1时, f(x)=2ex-12,所以f(f(x)2等价于f(x)1,即2ex-11,解得x1-ln 2,所以f(f(x)0,则满足f(x+1)0的图象如图所示:由f(x+1)f(2x)得2x0,2xx+1,得x0,x1.x0,若f(a-1)=12,则实数a
10、=.答案log23解析由题意知当a-10,即a1时,log2(3-a+1)=12,解得a=4-21,舍去.当a-10,即a1时,2a-1-1=12,解得a=log231,成立.故a=log23.微专题新定义函数的有关计算新定义函数问题是近几年高考中函数的热点题型,解答这类问题的关键在于阅读理解时准确把握新定义、新信息,并把它纳入已有的知识体系之中,用原来的知识和方法来解决新情境下的问题,一般有两方面的考查:(1)利用新函数进行计算;(2)讨论新函数的性质.典例(2020浙江镇海中学高三模拟)定义符号函数sgn x=1,x0,0,x=0,-1,x1),则()A.sgng(x)=sgn xB.sg
11、ng(x)=-sgn xC.sgng(x)=sgnf(x)D.sgng(x)=-sgnf(x)答案A解析由题意知g(x)=f(x)-f(ax),且f(x)是R上的减函数,当x0时,xf(ax),则g(x)=f(x)-f(ax)0,此时sgng(x)=1;当x=0时,x=ax,则有f(x)=f(ax),则g(x)=f(x)-f(ax)=0,此时sgng(x)=0;当xax,则有f(x)f(ax),则g(x)=f(x)-f(ax)0,此时sgng(x)=-1.综上所述,sgng(x)=sgn x.故选A.根据新定义得到f(x)的表达式,判断函数f(x)在定义域的单调性,可得结果.1.(2020辽宁
12、大连高三月考)在实数的原有运算法则中,我们定义新运算 “” 如下:当ab时,ab=a;当ab时,ab=b2,则函数f(x)=(1x)x-(2x)(x-2,2)的最大值等于(“”和“-”仍为通常的乘法和减法)()A.-1B.1C.12D.6答案D因为ab=a,ab,b2,ab,所以f(x)=(1x)x-(2x)=x-2,-2x1,x3-2,10,0,x=0,-1,x(2x-1)sgn x的解集为.答案x|-3-334x0时,不等式可转化为
13、x+22x-1,解得0x1,不等式成立;当x12x-1,因为2x-10,所以等价于(x+2)(2x-1)1,即2x2+3x-30,解得-3-334x0.综上所述,不等式的解集为x|-3-334x0,4-2x0,解得x1,x2,即x(-,0)(1,2,故选B.3.已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为()A.(-1,1)B.-1,-12C.(-1,0)D.12,1答案B4.已知函数f(x+1)=3x+2,则f(x)=()A.3x+2B.3x+1C.3x-1D.3x+4答案C5.已知f(10x)=x,则f(5)=()A.105B.510C.log510D.lg 5答
14、案D6.(2020湖南湘潭一中模拟)已知函数f(x)=x+1x-2,x2,x2+2,x2,则f(f(1)=()A.-12B.2C.4D.11答案C函数f(x)=x+1x-2,x2,x2+2,x2,f(1)=12+2=3,f(f(1)=f(3)=3+13-2=4.故选C.7.已知函数f(x)=3-x+1(x0),xa+2(x0),若f(f(-1)=18,则实数a的值是()A.0B.1C.2D.3答案C8.设函数f:RR满足f(0)=1,且对任意的x,yR都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则f(2 017)=()A.0B.1C.2 017D.2 018答案D令x=y=0,则f
15、(1)=f(0)f(0)-f(0)-0+2=11-1-0+2=2,令y=0,则f(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2,将f(0)=1, f(1)=2代入得f(x)=1+x,所以f(2 017)=2 018,故选D.9.(2020湖南郴州二中模拟)设xR,用x表示不超过x的最大整数,则y=x称为高斯函数.例如:-2.1=-3,3.1=3,已知函数f(x)=2x+32x+1,则函数y=f(x)的值域为()A.0,1,2,3B.0,1,2C.1,2,3 D.1,2答案Df(x)=2x+32x+1=2x+1+22x+1=1+22x+1,2x0,1+2x1,022x+12,11+22x+13,即1
16、f(x)3.当1f(x)2时,f(x)=1;当2f(x)3时,f(x)=2.综上,函数y=f(x)的值域为1,2,故选D.B组能力拔高10.已知函数f(x)=(a-1)x+4-2a,x1,1+log2x,x1,若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是()A.(1,2B.(-,2C.(0,2D.2,+)答案A当x1时, f(x)=1+log2x1;当x0,a-1+4-2a1,解得11,且f(x0)=1,则x0=()A.0B.4C.0或4D.1或3答案C当x01时,由f(x0)=2x0=1得x0=0(满足x01);当x01时,由f(x0)=log3(x0-1)=1得x0-1=3,得x0=4(满足
17、x01),故选C.12.(2020北京,11,5分)函数f(x)=1x+1+ln x的定义域是.答案(0,+)解析要使函数f(x)有意义,则x+10,x0,故x0,因此函数f(x)的定义域为(0,+).13.(2019湖南衡阳模拟)已知函数f(x)=axx-1,若f(x)+f 1x=3,则f(x)+f(2-x)=.答案6解析f(x)=axx-1, f(x)+f 1x=3,f(x)+f1x=axx-1+ax1x-1=axx-1-ax-1=a(x-1)x-1=3,解得a=3,f(x)=3xx-1,f(x)+f(2-x)=3xx-1+6-3x2-x-1=6(x-1)x-1=6.C组思维拓展14.(2020广东珠海一中模拟)已知x为实数,用x表示不超过x的最大整数,例如1.2=1,-1.2=-2,1=1.对于函数f(x),若存在mR且mZ,使得f(m)=f(m),则称函数f(x)是函数.(1)判断函数f(x)=x2-13x,g(x)=sin x是不是函数(只需写出结论);(2)已知f(x)=x+ax,请写出a的一个值,使得f(x)为函数,并给出证明.解析(1)f(x)=x2-13x是函数,g(x)=sin x不是函数.(2)a=32.证明:设kN*,取a(k2,k2+k),令m=k,m=ak,则一定有m-m=ak-k=a-k2k(0,1),且f(m)=f(m),所以f(x)是函数.
