1、高考大题规范解答系列(六)概率与统计考点一离散型随机变量的分布列与期望例1 (2021山西联考)已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅装有三个白球，球除颜色外完全相同现从甲盒中任取三个球放入乙盒中(1)求乙盒中红球个数X的分布列与期望；(2)求从乙盒中任取一球是红球的概率【标准答案】规范答题步步得分(1)由题意知X的可能取值为0,1,2,3.P(X0)，P(X1)，2分P(X2)，P(X3)，4分所以X的分布列为X0123P5分所以E(X)0123.6分(2)当乙盒中红球个数为0时，P10，7分当乙盒中红球个数为1时，P2，8分当乙盒中红球个数为2，P3，9分当乙盒中红球个数为3时，P4，1
2、0分所以从乙盒中任取一球是红球的概率为P1P2P3P4.12分【评分细则】(1)第一问中，正确算出P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)各得1分，列出分布列得1分，求出期望得1分(2)第二问中，分类讨论，每种情况各占1分(3)其他方法按步骤酌情给分例2 (2019课标，21)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述
3、问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈，则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0,1，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2，7)，其中aP(X1)，bP(X0)，cP(X1)假设0.5，0.8.证明：pi1pi(i0,1,2，7)为等比数列；求p4，并根据p4的
4、值解释这种试验方案的合理性【标准答案】规范答题步步得分(1)X的所有可能取值为1,0,1.P(X1)(1)，P(X0)(1)(1)，P(X1)(1)所以X的分布列为X101P(1)(1)(1)(1)4分(2)由(1)得a0.4，b0.5，c0.1.5分因此pi0.4Pi10.5pi0.1pi1，故0.1(pi1pi)0.4(pipi1)，即pi1pi4(pipi1).6分又因为p1p0p10，所以pi1pi(i0,1,2，7)是公比为4，首项为p1的等比数列.7分由可得p8p8p7p7p6p1p0p0(p8p7)(p7p6)(p1p0)p1.由于p81，故p1，所以p4(p4p3)(p3p2)
5、(p2p1)(p1p0)p1.10分p4表示最终认为甲药更有效的概率由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p40.003 9，11分此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.12分【评分细则】每个式子1分，表格1分；给出X的可能取值给1分；得出a、b、c的值(有正确的)得1分；得到Pi1Pi4(PiPi1)得1分；给出结论得1分；得出P8，P4，P1的表达式各得1分；说明P4非常小得1分；说明实验方案合理得1分【名师点评】1核心素养：本题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的期望、方差的应用、二项分布、决策问题等，考查数据处理能力、运算
6、求解能力，考查或然与必然思想，考查的核心素养的逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析2解题技巧：破解此类题的关键：一是认真读题，读懂题意；二是会利用导数求最值；三是会利用公式求服从特殊分布的离散型随机变量的期望值；四是会利用期望值，解决决策型问题变式训练1(2021湖南五市十校教研教改共同体联考)某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒预防知识竞答竞答分为必答题(共5题)和选答题(共2题)两部分每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响已知甲同学答对每道必答题的概率为，答对每道选答题的概率为.(1)求甲恰好答对4道必答题的概率；(2)在选答阶段，
7、若选择回答且答对奖励5分，答错扣2分，选择放弃回答得0分已知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为，试求甲同学在选答题阶段，得分X的分布列解析(1)甲恰好答对4道必答题的概率为PC4.(2)依题意，每道题选择回答并答对的概率为，选择回答且答错的概率为，选择放弃回答的概率为.甲得分的可能性为4分，2分，0分，3分，5分和10分所以P(X4)，P(X2)C，P(X0)，P(X3)C，P(X5)C，P(X10)2.所以X的分布列为X4203510P考点二线性回归分析例3 (2018全国2)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资y(单位：亿元)的折线图为了预测该地区2018年
8、的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，17)建立模型；30.413.5t，根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，7)建立模型：9917.5t.(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由【分析】(1)模型中取t19，模型中取t9，求出对应的函数值即可；(2)利用所给折线图中数据的增长趋势，加以分析即可【标准答案】规范答题步步得分(1)利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为30.413.51
9、9226.1(亿元).3分利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为9917.59256.5(亿元).6分(2)利用模型得到的预测值更可靠8分理由如下：(i)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y30.413.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型9917.
10、5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠(ii)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠(以上给出了2种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)12分【评分细则】根据模型求出预测值给3分；根据模型求出预测值给3分；判断模型得到的预测值更可靠给2分；作出正确的判断，写出合理理由，给4分；【名师点评】1核心素养：本题主要考查线性回归方程的实际应用，考查考生的应用意识，分析问题与解决问题的能力以及运算求解
11、能力，考查数学的核心素养是数据分析、数学建模、数学运算2解题技巧：统计中涉及的图形较多、常见的有条形统计图、折线图、茎叶图、频率分布直方图、应熟练地掌握这些图形的特点，提高识图与用图的能力变式训练2(2021安徽蚌埠质检)经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x(0x10，xN)与每辆的销售价格y(单位：万元)进行整理，得到如表的对应数据：使用年数246810售价16139.574.5(1)试求y关于x的回归直线方程；(2)已知每辆该型号汽车的收购价格(单位：万元)与使用年数x(0x10，xN)的函数关系为0.05x21.75x17.2，根据(1)中所求的回归方程，预测x为何值时，小
12、王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， .解析(1)由表中数据，得(246810)6，(16139.574.5)10，由最小二乘法得 1.45，10(1.45)618.7，所以y关于x的回归直线方程为y1.45x18.7.(2)由题意，zy1.45x18.7(0.05x21.75x17.2)0.05x20.3x1.5，其中06.635，11分所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异12分【评分细则】答案给出了4种理由，考生答出任意一种或其他合理理由，均给4分；由茎叶图求出中位数，给2分；按要求完成22列联表，给2分；根据公式正确求出K2的
13、值，给3分；借助于临界值表作出判断，给1分【名师点评】1核心素养：茎叶图及独立性检验是高考命题的重点，在每年的高考试题都以不同的命题背景进行命制此类问题主要考查学生的分析问题和解决实际问题的能力，同时考查“数据分析”的数学核心素养2解题技巧：(1)审清题意：弄清题意，理顺条件和结论；(2)找数量关系：把图形语言转化为数字，找关键数量关系；(3)建立解决方案：找准公式，将22列联表中的数值代入公式计算；(4)作出结论：依据数据，借助临界值表作出正确判断变式训练3(2021湖南百校联考)2020年3月受新冠肺炎疫情的影响，我市全体学生只能网上在线学习为了了解学生在线学习的情况，市教研院数学教研室随
14、机从市区各高中学校抽取60名学生对线上教学情况进行调查(其中男生与女生的人数之比为2：1)，结果发现男生中有10名对线上教学满意，女生中有12名对线上教学不满意(1)请完成如下22列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；满意不满意合计男生女生合计60(2)以这60名学生对线上教学的态度的频率作为1名学生对线上教学的态度的概率，若从全市学生中随机抽取3人，设这3人中对线上教学满意的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望附：参考公式及临界值表K2，其中nabcd.P(K2k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635解析(1)
15、由题意可知抽取60名学生中男生有40人，女生有20人，则列联表如下：满意不满意合计男生103040女生81220合计184260因为K21.4292.706，所以没有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”(2)X的可能取值为0,1,2,3，由题意可知，XB，P(Xk)Ck3k，k0,1,2,3，随机变量X的分布列为X0123PE(X)3.考点四正态分布例5 国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高(单位：cm)在区间165,175内现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数
16、据分为165,167)，167,169)，169,171)，171,173)，173,175五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.(1)请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X(cm)近似服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2.()求P(167.86X174.28)；()若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28 cm以上的概率参考数据：若XN(，2)，则P(X)0.682 6，P(2X2)0.
17、954 4，10.7，0.954 4100.63,0.977 290.81,0.977 2100.79.解析(1)由题知五组频率依次为0.1,0.2,0.375，0.25，0.075，1分故0.11660.21680.3751700.251720.075174170，2分s2(170166)20.1(170168)20.2(170172)20.25(170174)20.0754.6；4分(2)由题知170，2.14，5分()P(167.86X174.28)P(X174.28)0.022 8，故10人中至少有1人的身高在174.28 cm以上的概率P1(10.022 8)1010.977 210
18、10.790.21.12分变式训练4(2021贵州遵义模拟)3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间，某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如图所示(单位：m).(1)计算平均值与标准差；(2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径Z服从正态分布N(，2)，该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度
19、量其内径分别为：86,95,103,109,118(单位：m)，试问：此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：P(2Z2)0.954 4，P(3Z3)0.997 4，0954 430.87, 0.997 440.99，0045 620.002.解析(1)105 m，236，所6m.(2)结论：需要进一步调试理由如下：如果机器正常工作，则Z服从正态分布N(105,62)，P(3Z3)P(87Z0，所以z在(0,4.06)上单调递增，当x(4.06，)时，z0，所以z在(4.06，)上单调递减，所以当x4.06时，即季销量y10.20千本时，季利润总额预报值最大变式训练5(2021河北省部
20、分重点高中期末联考)11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮)在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响(1)经过1轮投球，记甲的得分为X，求X的分布列；(2)若经过n轮投球，用pi表示经过第i轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率求p1，p2，p3；规定p00，经过计算机计算可估计得piapi1bpicpi1(b1)，请根据中p1
21、，p2，p3的值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列pn的通项公式解析(1)X的可能取值为1,0,1.P(X1)，P(X0)，P(X1).X的分布列为X101P(2)由(1)知，P1，经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是两轮甲各得1分；二是两轮有一轮甲得0分，有一轮甲得1分，P2C.经过三轮投球，甲的累计得分高有四种情况：一是三轮甲各得1分；二是三轮有两轮各得1分，一轮得0分；三是1轮得1分，两轮各得0分；四是两轮各得1分，1轮得1分，P33C2C2C2.由piapi1bpicpi1，知pipi1pi1，将p00，p1，p2，p3代入，求得，a(1b)，c(1b)，pipi1pi1，pi1pipi1.pi1pi(pipi1)，p1p0，pnpn1是等比数列，首项和公比都是，pnpn1，pnp0(p1p0)(p2p1)(pnpn1).
