1、第3课时利用导数证明不等式构造法证明不等式已知函数f(x)exax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为1(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)求证：当x0时，x2ex(1)解：f(x)exa，因为f(0)11a，所以a2，所以f(x)ex2x，f(x)ex2令f(x)0，解得xln 2当xln 2时，f(x)ln 2时，f(x)0，函数f(x)单调递增所以当xln 2时，函数f(x)取得极小值，为f(ln 2)22ln 2，无极大值(2)证明：令g(x)exx2，则g(x)ex2x由(1)可得g(x)f(x)f(ln 2)0，所以g(x)在R上单调递增，因此，
2、当x0时，g(x)g(0)10，所以x20，f(x)单调递增，当x时，f(x)0，f(x)单调递增(2)证明：注意到f(x)sin2(x)sin2(x)sin2xsin 2xf(x)，故函数f(x)是周期为的函数，结合(1)的结论，计算可得：f(0)f()0，F ，F ，据此可得：f(x)max，f(x)min，即|f(x)|(3)证明：结合(2)的结论有：sin2xsin22xsin24xsin22nxsin 3xsin 32xsin 34xsin 32nxsin x(sin2xsin 2x)(sin22xsin 4x)(sin22n1xsin 2nx)sin22nx对于一些不等式，直接构造
3、函数不易求最值，可以利用条件及不等式的性质，适当放缩后，再构造函数进行证明常见放缩不等式如下：(1)ex1x，当且仅当x0时取等号(2)exex，当且仅当x1时取等号(3)当x0时，ex1xx2 ，当且仅当x0时取等号(4)当x0时，exx21, 当且仅当x0时取等号(5)ln xx1x2x，当且仅当x1时取等号(6)当x1时，ln x，当且仅当x1时取等号已知函数f(x)aln(x1)，其中a是正实数证明：当x2时，f(x)0，g(x)是增函数，当x(1，)时，g(x)2时，ln(x1)0，所以aln(x1)a(x2)要证f(x)ex(a1)x2a，只需证aln(x1)ex(a1)x2a，只需证a(x2)0对任意的x2恒成立令h(x)exx，x2，则h(x)ex1因为x2，所以h(x)0恒成立，所以h(x)在(2，)上单调递增，所以h(x)h(2)e240，所以当x2时，f(x)0)，即证(x2)ex2(x0)令g(x)(x2)ex2，g(x)(x1)ex2，于是g(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数，所以g(x)g(1)(x1时取等号)再令h(x)，则h(x)，于是h(x)在(0，e)上是增函数，在(e，)上是减函数，所以h(x)h(e)(xe时取等号)又g(x)与h(x)等于时x的取值不同，所以g(x)h(x)，即f(x)0
