1、第一节任意角、弧度制与任意角的三角函数考试要求：1了解任意角的概念和弧度制2能进行弧度与角度的互化3理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义一、教材概念结论性质重现1任意角定义角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形分类按旋转方向不同正角、负角和零角按终边的位置不同象限角和轴线角终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是S|k360，kZ2弧度制(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0(2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1 rad,1
2、 rad 在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不能混用3扇形的弧长公式：l|r，扇形的面积公式：Slr|r2扇形的弧长公式、面积公式中角的单位要用弧度4任意角的三角函数(1)概念：任意角的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin y，cos x，tan (x0)(2)概念推广：三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角终边上异于顶点的任一点，设点P到原点O的距离为r，则sin ，cos ，tan (x0)(3)符号法则：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦已知三角函数值的符号确定角的终边位置，不要遗漏终边在坐标轴上的情况二、基本技能思想活动经验1判断下列说法的正误
3、，对的打“”，错的打“”(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角()(2)角的三角函数值与其终边上点P的位置无关()(3)不相等的角终边一定不相同()(4)若为第一象限角，则sin cos 1()2已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A2Bsin 2C D2sin 1C解析：设圆的半径为r，则sin 1，所以r，所以2弧度的圆心角所对弧长为2r3集合，kZ中的角所表示的范围(阴影部分)是()ABCDC解析：当k2n(nZ)时，2n2n，此时终边位于第一象限；当k2n1 (nZ)时，2n2n，此时表示的终边位于第三象限4如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角的
4、终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos _解析：因为点A纵坐标yA，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以点A横坐标xA由三角函数的定义可得cos 5点P(tan 2 022，cos 2 022)位于第_象限四解析：因为2 0225360222，所以2 022的终边与220的终边相同又222是第三象限角，所以tan 2 0220，cos 2 0220，即点P位于第四象限考点1象限角及终边相同的角基础性1在平面直角坐标系中，下列结论正确的是()A小于90的角一定是锐角B第二象限的角一定是钝角C始边相同且相等的角的终边一定重合D始边相同且终边重合的角一定相等C解析：对于A，小于90的角
5、一定是锐角，首先必须强调为正角且小于90，故错误对于B，例如的终边在第二象限，但不是钝角，故错误对于C，始边相同且相等的角的终边一定相同，故正确对于D,30与390角的始边终边均相同，但不相等，故错误2(2021松山区模拟)在平面直角坐标系中，若角的终边与240角的终边相同，则的终边所在象限是()A第二或第四象限 B第二或第三象限C第一或第四象限 D第三或第四象限A解析：因为角为第三象限角，满足的集合为|k360240，kZ，所以，所以的终边落在第二象限或第四象限3(2021辽宁模拟)写出两个与的终边相同的角：_，(答案不唯一)解析：与终边相同的角2kkZ，当k1时，当k2时，a1解答第1题要
6、紧扣概念，尤其分清小于90的角与锐角的区别；第3题是开放题，是近年来高考的新题型，要予以重视2利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(kZ)赋值来求得所需的角3确定k，(kN*)的终边位置的方法(1)先写出k或的范围，然后根据k的可能取值确定k或的终边所在位置(2)数形结合，等分象限，确定角所在的象限考点2扇形的弧长、面积公式综合性(1)(2022烟台一模)某校数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线l上取长度为2的线段AB，并作等边三角形ABC第一次画线：以点B为圆心、BA为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延
7、长线于点D；第二次画线：以点C为圆心、CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E；以此类推，得到的螺线如图所示，则()A第二次画线的圆弧长度为B前三次画线的圆弧总长度为4C在螺线与直线l恰有4个交点(不含点A)时停止画线，此时螺线的总长度为30D在螺线与直线l恰有6个交点(不含点A)时停止画线，此时螺线的总长度为60D解析：第一次画线：以点B为圆心，r2，旋转，划过的圆弧长为2；第二次画线：以点C为圆心，r4，旋转，划过的圆弧长为4，故选项A错误，交l累计1次；第三次画线：以点A为圆心，r6，旋转，划过的圆弧长为64，故选项B错误，交l累计2次；第四次画线：以点B为圆心，r8，旋转，划过
8、的圆弧长为8；第五次画线：以点C为圆心，r10，旋转，划过的圆弧长为10，交l累计3次；前五次累计画线20，第六次画线：以点A为圆心，r12，旋转，划过的圆弧长为128，交l累计4次，累计画线20828，故选项C错误第七次画线：以点B为圆心，r14，旋转，划过的圆弧长为14；第八次画线：以点C为圆心，r16，旋转，划过的圆弧长为16，交l累计5次；第九次画线：以点A为圆心，r18，旋转，划过的圆弧长为1812，交l累计6次，累计画线281260，故选项D正确(2)九章算术中方田章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积(弦矢矢矢)弧田是由圆
9、弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差如图，弧田是由圆弧和其所对弦AB围成的图形若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为4，则利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为_82解析：如图所示，由题意可得AOB，OA4在RtAOD中，可得AOD，DAO，ODAO42，可得矢422由ADAOsin42，可得弦2AD4，所以，弧田面积为(弦矢矢矢)(4222)42实际面积为4424所以42482本例若改为：弧田弦AB等于6 m，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田
10、的面积为 m2，则sinAOB_解析：如图，由题意可得AB6，弧田的面积S1,2)(弦矢矢矢)，解得矢1或矢7(舍)设半径为r，圆心到弧田弦的距离为d，则有解得d4，r5所以cosAOD所以cosAOB2cos2AOD11所以sinAOB应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理利用圆心角所在的三角形1半径为2，圆心角为的扇形的面积等于()A B C DC解析：因为扇形的半径是2，圆心角的弧度数是，故扇形的弧长为，所以扇形的面积为S22(2022太原
11、模拟)斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋线”，它的画法是：以斐波那契数列(即a1a21，an2an1an(nN*)的各项为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90的圆弧，将这些圆弧依次连起来的弧线就是斐波那契螺旋线自然界中存在很多斐波那契螺旋线的图案，如向日葵、鹦鹉螺等如图为该螺旋线的一部分，则第七项所对应的扇形的弧长为()A B C D4C解析：由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和根据题意，接下来的一段圆弧所在圆的半径r5813，对应的弧长l213考点3三角函数的定义基础性考向1三角函数的定义(1)已知角的顶点在坐标原点，始边在x轴的正
12、半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为，则sin()A B C DD解析：因为角的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为，所以P根据三角函数的定义，得cos 所以sincos (2)已知角的终边过点P(8m，6sin 30)，且cos ，则m的值为()A BC DC解析：由题意得点P(8m，3)，r，所以cos ，解得m又cos 0，所以8m0，所以m本例(1)若改为：角终边上一点P，把角按逆时针方向旋转90得到角，则sin _解析：由题意得，sin ，cos ，90，所以sin sin(90)cos 利用三角函数的定义，已知角
13、终边上一点P的坐标可求的三角函数值；已知角的三角函数值，也可以求出点P的坐标考向2三角函数值的符号(1)下列三角函数值为负数的是()Asin 2 Bcos 3Ctan 4 Dcos(5)B解析：因为23452，所以sin 20，cos 30，tan 40，且cos(5)cos 50(2)已知sin cos 0，且|cos |cos ，则角是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角D解析：因为sin cos 0，所以sin ，cos 一正一负又|cos |cos ，所以cos 0，综上有sin 0，即为第四象限角要判定三角函数值的符号，关键是搞清三角函数中的角是第几象限角，正弦函
14、数值的符号取决于纵坐标y的符号，余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号，正切函数值的符号由x，y共同决定，如果不能确定角所在的象限，就要分类讨论1(2021日照模拟)若为第二象限角，则()Asin cos 0 Btan 0Csin0 Dcos(2)0B解析：因为为第二象限角，所以sin 0，cos 0，tan 0，故sin cos 0，故选项A错误；tan 0，故选项B正确；sincos 2sin2cos2，故其符号不能确定，故选项C错误；cos(2)cos 2，同选项C，符号不能确定，故选项D错误2若角的终边落在直线yx上，角的终边与单位圆交于点，且sin cos 0，则cos sin _解析：由角的终边与单位圆交于点 ，得cos 又由sin cos 0知，sin 0因为角的终边落在直线yx上，所以角只能是第三象限角记P为角的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x0，y0)，则|OP|1(O为坐标原点)，即x2y21又由yx，得x，y，所以cos x因为点在单位圆上，所以m21，解得m，所以sin ，所以cos sin