1、第3讲数列不等式的证明问题(选用)高考定位1.数列中不等式的证明是浙江高考数学试题的压轴题；2.主要考查数学归纳法、放缩法、反证法等数列不等式的证明方法，以及不等式的性质；3.重点考查学生逻辑推理能力和创新意识.真 题 感 悟 (2017浙江卷)已知数列xn满足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN*).证明：当nN*时，(1)0xn1xn；(2)2xn1xn；(3)xn.证明(1)用数学归纳法证明：xn0.当n1时，x110.假设nk(k1，kN*)时，xk0，那么nk1时，若xk10，则0xkxk1ln(1xk1)0，矛盾，故xk10，因此xn0(nN*).所以xnxn1ln(1xn1
2、)xn1，因此0xn1xn(xN*).(2)由xnxn1ln(1xn1)得，xnxn14xn12xnx2xn1(xn12)ln(1xn1).记函数f(x)x22x(x2)ln(1x)(x0).f(x)ln0(x0)，函数f(x)在0，)上单调递增，所以f(x)f(0)0，因此x2xn1(xn12)ln(1xn1)f(xn1)0，故2xn1xn(nN*).(3)因为xnxn1ln(1xn1)xn1xn12xn1，所以xnxn1xn2x1.故xn.由2xn1xn得20，所以22n12n2，故xn.综上，xn(nN*).考 点 整 合1.数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1
3、)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.2.反证法一般地，由证明pq转向证明：綈qrt，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法.3.放缩法放缩法是利用不等式的传递性，证明不等式的方法，要证AB，可先将A放大到C，然后只需证明C0且a1，nN*).(1)证明：当n2时，anan1b.证明(1)由an1知，an与a1的符号相同，而a1a0，所以an0，所以an11，当且仅当an1时，an1
4、1，下面用数学归纳法证明：因为a0且a1，所以a21，即有a2a31；假设当nk(k2，kN*)时，有akak11，则ak21，即ak1ak21.综上，对任意n2，均有anan1ak1akb；若akb，因为0x1及二项式定理知(1x)n1CxCxn1nx，而a1b21b1，且a2a3akba2 a2 a2a2.因为k1，所以(k1)11，所以 ak1b.探究提高数学归纳法是解决和正整数有关命题的证明方法，可以借助递推公式，证明由特殊到一般的结论成立问题.因此，可以在数列不等式的证明中大显身手.在本例中，(1)首先根据条件等式的结构特征推出an0，然后用数学归纳法证明即可；(2)首先由(1)知当
5、k2时，1ak1akb，然后利用数列的递推公式证明即可.热点二反证法证明数列不等式【例2】 (2018温州调考)已知数列an满足：an0，an12(nN*).(1)求证：an2an11(nN*).证明(1)由an0，an12，得an12an22(由题知an1an2)，所以an2an1N时，anaN11.根据an1110，而an1，于是1，1.累加可得n1.(*)由假设可得aNn11时，显然有n10，因此有1(nN*).法二假设存在aN1(N1，NN*)，由(1)可得当nN时，0anaN11.根据an1110，而an1，所以1.于是1an(1an1)，1an1(1an2)，1aN2(1aN1).
6、累乘可得1an(1aN1)，(*)由(1)可得1anlogN1时，则有(1aN1)1，这显然与(*)矛盾.所以an1(nN*).探究提高数列不等式需要对数列的范围及变化趋势进行探究，而条件又少，因此，反证法就成为解决这类问题的利器.在本例中，(1)首先根据已知不等式由an122证明不等式的右边，再根据已知不等式利用基本不等式，可证明不等式的左边；(2)考虑反证法，即假设存在aN1，利用条件和(1)，并结合放缩法逐步推出矛盾.进而证明不等式成立.热点三放缩法证明数列不等式考法1放缩为等比数列【例31】 (2018宁波调研)已知数列an满足a1，an1，nN*.(1)求a2；(2)求的通项公式；(
7、3)设an的前n项的和为Sn，求证：Sn.(1)解由条件可知a2.(2)解由an1得，即1，所以是等比数列，又1，则1，所以1.(3)证明由(2)可得an.所以Sn，故Sn成立.另一方面an，所以Sna1a2a3an，n3，又S1，S2，因此Sn.所以Snan；(2)证明：an2；(3)设数列的前n项和为Sn，求证：1Sn0，an1an.(2)2an14a2anan(an2)，an2(an12)(an22)(a12)，an2.(3)2(an12)an(an2)，Sn 1.an12，0，1Sn11.探究提高数列中不等式的证明本身就是放缩的结果，在证明过程中，要善于观察数列通项的特点，结合不等式的
8、结构合理地选择放大与缩小，常见的两种放缩方式是：放缩成等比数列求和形式；放缩成裂项求和形式.数列、不等式是高中数学的重点内容之一，也是初等数学与高等数学的衔接点之一.命题方式灵活，对学生的数学思维要求较高，具有良好的高考选拔功能.数列中不等式的证明，是浙江省高考数学试题的特色，解决问题方法独特，需要综合运用分析法、放缩法、反证法、数学归纳法、以及构造函数借助导数的工具、不等式的性质等解决问题.1.(2016浙江卷)设数列an满足|an|1，nN*.(1)证明：|an|2n1(|a1|2)，nN*；(2)若|an|，nN*，证明：|an|2，nN*.证明(1)由1得|an|an1|1，故，nN*
9、，所以11，因此|an|2n1(|a1|2).(2)任取nN*，由(1)知，对于任意mn，故|an|2n2n22n.从而对于任意mn，均有|an|22n.由m的任意性得|an|2.否则，存在n0N*，与式矛盾.综上，对于任意nN*，均有|an|2.2.(2018学军中学月考)已知数列an满足，a11，an.(1)求证：an1；(2)求证：|an1an|；(3)求证：|a2nan|.证明(1)用数学归纳法证明.当n1时，命题显然成立；假设nk(k1，kN*)时，有ak1成立，则当nk1时，ak11，ak1，即当nk1时也成立，所以对任意nN*，都有an1.(2)当n1时，|a2a1|，当n2时，
10、11，|an1an|anan1|a2a1|.综上所述，|an1an|.(3)当n1时，|a2a1|；当n2时，由(2)知|a2nan|a2na2n1|a2n1a2n2|an1an|.综上所述，|a2nan|.3.(2018浙东北大联盟考试)已知数列an满足a1，an1an，数列的前n项和为Sn.证明：当nN*时，(1)0an1n.证明(1)由于an1an0，则an1an.若an1an，则an0，与a1矛盾，故an0，从而an1a2a3an.又110，则an1与an同号.又a10，则an10，故0an1an.(2)由于0an1an，则an1anan，即.当n2时，130，从而ann.4.(201
11、7杭州质量检测)已知数列an的各项均为非负数，其前n项和为Sn，且对任意的nN*，都有an1.(1)若a11，a5052 017，求a6的最大值；(2)若对任意nN*，都有Sn1，求证：0anan1.(1)解由题意知an1anan2an1，设diai1ai(i1，2，504)，则d1d2d3d504，且d1d2d3d504a505a12 016.，d1d2d520，a6a1(d1d2d5)21，a6的最大值为21.(2)证明若存在kN*，使得akak1，则由an1，得ak1akak1ak2ak2，因此，从第k项ak开始，数列an严格递增，故a1a2anakak1an(nk1)ak.对于固定的k，当n足够大时，必有a1a2an1，与题设矛盾，an不可能递增，即只能anan10.令bkakak1(kN*)，由akak1ak1ak2得bkbk1，bk0，故1a1a2an(b1a2)a2anb12(b2a3)a3anb12b2nbnnan1(12n)bnbn，bn，综上，对一切nN*，都有0anan1.