1、第3课时 线性规划的应用A级基础巩固一、选择题1(2016浙江文，4)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是(B)ABCD解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(1,2)、B(2,1)，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A与B，又两平行直线的斜率为1，直线AB的斜率为1，所以线段AB的长度就是过A、B两点的平行直线间的距离，易得|AB|，即两条平行直线间的距离的最小值是，故选B2(2019浙江卷，3)若实数 x，y 满足约束条件则 z3x2y的最大值是(C)A1B1C10D12解析如图，不等式组表示的平面区域是以A(1,1)，B
2、(1，1)，C(2,2)为顶点的ABC区域(包含边界)作出直线yx并平移，知当直线yx经过C(2,2)时，z取得最大值，且zmax322210.故选C3某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为(B)A甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
3、C甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱解析设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知甲、乙两车间每天总获利为z280x200y.画出可行域如图所示点M(15,55)为直线xy70和直线10x6y480的交点，由图象知在点M(15,55)处z取得最大值4某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为(B)A36万元B3
4、1.2万元C30.4万元D24万元解析设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，可获得利润为z万元，则z0.4x0.6y.作出可行域如图所示：由图形知，目标函数z0.4x0.6y在A点取得最大值ymax0.4240.63631.2(万元)5(2017浙江卷，4)若x、y满足约束条件，则zx2y的取值范围是(D)A0,6B0,4C6，)D4，)解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示由题意可知，当直线yx过点A(2,1)时，z取得最小值，即zmin2214，所以zx2y的取值范围是4，)故选D6某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如下
5、表所示如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为(D)甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A12万元B16万元C17万元D18万元解析设生产甲x吨、乙y吨，则有目标函数z3x4y，依题意得约束条件为易知最优解为(2,3)，代入目标函数可得z的最大值为18.故选D二、填空题7若x、y满足约束条件，则的最大值为_3_.解析作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1,3)与原点连线的斜率最大，故的最大值为3. 8已知x、y满足，且z2x4y的最小值为6，则常数k_0_.解析由条件作出可行域如图根据图形
6、知，目标函数过xyk0与x3的交点(3，3k)时取最小值，代入目标函数得6234(3k)，解得k0.三、解答题9制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3 g、B药品4 g、C药品4 g，乙种烟花每枚含A药品2 g、B药品11 g、C药品6 g已知每天原料的使用限额为A药品120 g、B药品400 g、C药品240 g甲种烟花每枚可获利2 元，乙种烟花每枚可获利1 元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大？解析设每天生产甲种烟花x枚，乙种烟花y枚，获利为z元，则，作出可行域如图所示目标函数为：z2xy.(xN，yN)作直线l：2xy0，将直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行
7、域上的点A(40,0)且与原点的距离最大此时z2xy取最大值故每天应只生产甲种烟花40枚可获最大利润10某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180 t支援物资的任务，该公司有8辆载重为6 t的A型卡车和4辆载重为10 t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B型车为504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费最低解析设每天调出A型车x辆，B型车y辆，公司所花的成本为z元，则由题意知，目标函数为z320x504y(其中x、yN)作出可行域如图所示由图易知，当直线z320x504y在可行域内经过的整数点
8、中，点(8,0)使z320x504y取得最小值，zmin320850402 560，每天调出A型车8辆，B型车0辆，公司所花成本费最低B级素养提升一、选择题1若变量x、y满足约束条件，则z2xy的最小值为(A)A1B0C1D2解析由约束条件作出可行域，然后根据所得图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案由约束条件，作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，A(0,1)，z2xy在点A处取得最小值为2011，故选A2设实数x，y满足3xy28,49，则的最大值是(B)A24B27C42D72解析令xy2X，()2Y，则z.问题转化为：已知实数X，Y满足求z的最大值作出可行域(图略)，z表
9、示可行域内的点P(X，Y)与坐标原点O(0,0)连线的斜率，即求斜率的最大值当点P(X，Y)位于点(3,81)时，斜率最大，为27.所以zmax27，即的最大值是27.故选B3已知实数x、y满足，若目标函数z2xy的最大值与最小值的差为2，则实数m的值为(C)A4B3C2D解析表示的可行域如图中阴影部分所示将直线l0：2xy0向上平移至过点A，B时，z2xy分别取得最小值与最大值由得A(m1，m)，由得B(4m，m)，所以zmin2(m1)m3m2，zmax2(4m)m8m，所以zmaxzmin8m(3m2)104m2，解得m2.故选C4已知O为坐标原点，点M的坐标为(a,1)(a0)，点N(
10、x，y)的坐标x，y满足不等式组若当且仅当时，取得最大值，则a的取值范围是(D)A(0，)B(，)C(0，)D(，)解析作出不等式组所表示的可行域如图，由目标函数(a,1)(x，y)axy所表示的斜率为a的平行直线系仅过点A(3,0)时，取得最大值可得a.故选D二、填空题5若x、y满足约束条件，则z2xy的最大值为_8_.解析不等式组表示的可行域是以A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)为顶点的三角形区域，z2xy的最大值必在顶点C处取得，即x3，y2时，zmax8.6福建武夷山市南岩茶叶精制厂用茶叶由甲车间加工出红茶，由乙车间加工出绿茶甲车间加工一箱茶叶需耗费工时10 h，可加工出7 kg
11、红茶，每千克红茶获利40元；乙车间加工一箱茶叶耗费工时6 h，可加工出4 kg绿茶，每千克绿茶获利50元甲、乙两车间每天共能完成至多70箱茶叶的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480 h，甲、乙两车间每天总获利最大值为_15 200_元解析设甲车间加工茶叶x箱，乙车间加工茶叶y箱，甲、乙两车间每天总获利为z元，则，即.目标函数z280x200y，x、yN，作出可行域，即如图(阴影部分)所示中的整数点当z280x200y对应的直线过直线xy70与5x3y240的交点时，目标函数z280x200y取得最大值由，得.故zmax280152005515 200(元)，即 甲、乙两车间每天总获
12、利最大值为15 200元三、解答题7咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9 g，咖啡4 g，糖3 g；乙种饮料每杯含奶粉4 g，咖啡5 g，糖10 g，已知每天原料的使用限额为奶粉3 600 g，咖啡2 000 g，糖3 000 g如果甲种饮料每杯能获利0.7 元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，若你是咖啡馆的经理，你将如何配制这两种饮料？解析经营咖啡馆者，应想获得最大的利润，设配制饮料甲x杯，饮料乙y杯，线性约束条件为，利润z0.7x1.2 y，因此这是一个线性规划问题，作出可行域如图，因为，所以在可行域内的整数点A(200,240)使zmax0.7200
13、1.2240428(元)，即配制饮料甲200杯，乙240杯可获得最大利润8已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/t和1.5 元/t，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8 元/t和1.6 元/t.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？解析设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨煤，那么总运费zx1.5(200x)0.8y1.6(260y)(万元)即z7160.5x0.8y.x、y应满足，即，作出上面的不等式组所表
14、示的平面区域，如图设直线xy280与y260的交点为M，则M(20,260)把直线l0：5x8y0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小点M的坐标为(20,260)，甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨，向西车站运180万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少9某公司计划在今年内同时出售电子琴和洗衣机，由于两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于两种产品的有关数据如下表：资金单位产品所需资金(百元)月资金供应量(百元)电子琴(架)洗衣机(台)成本3020300劳动力(工资)510110单位利润68/试问：怎样确定两种货的供应量，才能使总利润最大，最大利润是多少？解析设电子琴和洗衣机月供应量分别为x架、y台，总利润为z百元，则根据题意，有，作出以上不等式组所表示的平面区域，如图中所示的阴影部分令z0，作直线l：6x8y0，即3x4y0.当移动直线l过图中的A点时，z6x8y取得最大值解方程组，得A(4,9)，代入z6x8y得zmax648996.所以当供应量为电子琴4架、洗衣机9台时，公司可获得最大利润，最大利润是96百元
