1、各种各样的曲线相切题1 (2014年高考安徽卷文科第15题)若直线与曲线满足下列两个条件： (i)直线在点处与曲线相切；(ii)曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线 下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号) 直线在点处“切过”曲线： 直线在点处“切过”曲线： 直线在点处“切过”曲线： 直线在点处“切过”曲线：直线在点处“切过”曲线：答案 解 求出切线方程后作图观察；对于，还需用到常用不等式(当且仅当时取等号)这是一道新颖别致、内涵丰富的好题：由命题，还分别介绍了常用不等式(当且仅当时取等号)学生最先是从“圆的切线”接触“切线”的，紧接着又学习了“抛物线的切线”，这就使得很多
2、初中生对于“直线与曲线相切时，曲线在切线的一侧”毋容置疑、根深蒂固，到了高中也无法改变下面的问题，你思考过吗：(1)直线与曲线相切时，曲线一定在切线的一侧吗？直线与二次曲线相切时，这条二次曲线一定在切线的一侧吗(请注意二次曲线包括双曲线)？(2)求过已知二次曲线上一已知点(且该已知点为切点)的该曲线的切线方程都可用“”来求解吗？若直线与二次曲线有唯一公共点，则它们一定相切吗？(3)直线能与双曲线的一支相切又与另一支相交吗？直线能与双曲线的两支均相切吗？(4)直线有切线吗？(5)函数图像的切线能是铅垂线吗？(6)若直线与曲线有唯一公共点，则它们一定相切吗？直线能与曲线既相切又相交吗？(7)过一点
3、最多(最少)可作N*)次曲线的几条切线？(8)过二(三)次曲线上的一点可作该曲线的几条切线？(9)直线与曲线相切时，能有无限个切点吗？(10)何谓曲线与曲线相切？读罢本文，就可找到它们的全部答案1 直线与曲线相切全日制普通高级中学教科书数学第三册(选修II)(2006年人民教育出版社)第118页给出了曲线的切线的定义：如图1所示，设曲线是函数的图像，在曲线上取一点及邻近的一点，过两点作割线，并分别过两点作轴与轴的平行线，又设割线的倾斜角为，那么这就是说，就是割线的斜率 图1 图2如图2所示，当点沿着曲线逐渐向点接近时，割线将绕着点逐渐转动当点沿着曲线无限接近于点即时，如果割线有一个极限位置，那
4、么直线叫做曲线在点处的切线由此定义可知，切线是割线的极限位置所以直线与曲线相切是局部概念，因而直线与曲线可以同时相切于点和相交于点，比如曲线与直线在点处相切，在点(2，8)处相交(见图3) 图3 图4题2 (2004年重庆卷文科第15题)已知曲线，则过点的切线方程是 当时给出的参考答案是，实际上，正确答案应当是和(见图4)应当注意“曲线在某一点处的切线”与“曲线过该点的切线”的区别下面再举出多姿多彩的直线与曲线相切的各种情形(1)直线与曲线相切(且切点唯一)不相交(如图5所示，曲线与轴相切不相交，切点为坐标原点)：可以证明，直线与二次曲线相切时均是这种情形图5(2)直线与曲线相切(且切点有无数
5、个)不相交(如图6所示，正弦曲线与直线在公共点Z)处均相切图6(3)直线与曲线既相切又相交且切点、交点均唯一(见图3)(4)函数图像的切线可以是铅垂线 图7 图8 图9图7即曲线在坐标原点(0，0)处的切线是(即轴)；图8即曲线在坐标原点(0，0)处的切线是(即轴)；图9即曲线在坐标原点(0，0)处的切线是(即轴)，证明如下：因为用导数可以求得曲线在坐标原点(0，0)处的切线是(即轴)，所以曲线关于直线对称的曲线在坐标原点(0，0)处的切线是轴关于直线对称的直线轴(5)设直线与曲线相切于点，曲线在点两侧以为端点的各一段图像可在直线的同侧(比如图3，图4，图5)(6)设直线与曲线相切于点，曲线在
6、点两侧以为端点的各一段的图像可在直线的异侧(比如图7，图8，图9)2 曲线与曲线相切一般认为，“曲线与曲线相切”的定义是：若曲线与曲线有公共点，且它们在该点处的切线重合，就说曲线与曲线在点处相切(曲线与曲线相切包括了直线与曲线相切的情形)(1)曲线与曲线相切(且切点唯一)不相交(如图10，曲线与曲线相切不相交，切点为坐标原点)图10(2)曲线与曲线相切(且切点有无数个)不相交(如图11所示，曲线与曲线在公共点Z)处均相切)图11(3) 曲线与曲线即相切又相交且切点、交点均唯一(如图12，曲线与曲线相切又相交)图12(4) 设曲线与曲线上相切于点，曲线在点两侧以为端点的各一段图像可在曲线的同侧(
7、比如图10)(5) 设曲线与曲线上相切于点，曲线在点两侧以为端点的各一段图像可在曲线的异侧(比如图13)可证曲线与曲线有唯一的公共点(该点是)(可见文献1)，且它们在该点相切(因为它们在该点处有相同的切线)图13题3 (2007年高考湖南卷文科第21题)已知函数在区间内各有一个极值点.(1)求的最大值；(2)当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数函数的图象(即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧)，求函数的表达式.解 (1)由题设可得函数在区间内各有一个实根(分别设为)，可得，且，所以，当且仅当即时取等号，所以的最大值是16.(2)可求得切线.因为切线在点处穿过函数的图象，所以在两边附近的函数值异号，即不是函数的极值点.可得.若，则是函数的极值点.所以.再由，得，所以.注 三次曲线在拐点(即对称中心，也即二阶导数的零点)处的切线穿过该曲线，其余的点处的切线均不会穿过该曲线.参考文献1 甘志国. 初等数学研究(I)M . 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2008：248-252.