1、新疆乌鲁木齐市第八中学2020-2021学年高二数学下学期第二阶段考试试题 文一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）集合AxN|x22x3，Bx|2x2，则AB等于（）A0，1，2，3B1，2，3C0，3D1，32（5分）已知a0，b0，a+b4，则下列各式中正确的是（）AB1C2D13（5分）已知a，bR+，且a+2b3ab，则2a+b的最小值为（）A3B4C6D94（5分）在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），定义变换：将点P（x，y）变换为P（x，y），其中，（a，b为常数）如果变换将直线y2x上得各点均变换为该点自身，那么a+b等于（）ABCD5（5分）已知直线l
2、过第一象限的点（m，n）和（1，5），直线l的倾斜角为135，则的最小值为（）A4B9CD6（5分）“天问一号”是我国自主研发的第一个火星探测器，于2020年7月23日发射升空，2021年2月10日成功地进入火星轨道，并于2021年3月4日传来3幅高清火星影像图已知火星的质量M约为6.41711023kg，“天问一号”的质量m约为5.34103kg，则lg（）（参考数据：lg20.30，lg30.48，lg50.70）A19.22B19.92C20.08D20.487（5分）函数f（x）2x+lnx3的零点所在的区间为（）A（）B（）C（）D（）8（5分）某三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的体
3、积为（）ABC8D49（5分）长方体ABCDA1B1C1D1，AB4，AD2，则异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为 （）ABCD10（5分）已知点A（1，0），B（3，0），若直线kxy+10上存在点P，满足，则k的取值范围是（） ABCD（，011（5分）已知f（x），若f（x）有两解，则a的取值范围是（）A（0，）B（0，C（1，2D（1，2）12（5分）在极坐标系中，曲线C1的方程为，曲线C2的方程为，以极点O为原点，极轴方向为x轴正方向建立直角坐标系xOy设A，B分别是C1，C2上的动点，则|AB|的最小值是（）A2B4C5D3二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5
4、分）已知正数x、y满足x+1，则+y的最小值为 14（5分）在极坐标系中，已知两点A（3，），则A，B两点间的距离为 15（5分）已知关于x的不等式|x1|+|2x+m|2x3|在x0，1上有解，则实数m的取值范围为 16（5分）已知幂函数f（x）x2m+1过点（3，27），若f（k2+3）+f（98k）0，则实数k的取值范围是 三解答题（共6小题，满分70分）17（10分）在极坐标系中，已知圆的圆心，半径r3，Q点在圆C上运动，以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系（1）求圆C的参数方程；（2）若P点在线段OQ上，且|OP|：|PQ|2：3，求动点P轨迹的极坐标方程18（12
5、分）已知函数f（x）|xa|+2|x+1|（aR）（1）当a4时，解不等式f（x）8；（2）记关于x的不等式f（x）2|x3|的解集为M，若4，1M，求a的取值范围19（12分）设数列an满足a15，an+12an4n+3（1）计算a2，a3，猜想an的通项公式并用数学归纳法加以证明；（2）求数列3nan的前n项和Sn20（12分）设函数（1）解不等式（2）若x1，9，求函数f（x）的最大值21（12分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，AB平面PAD，PAADDC2AB4，PD2，M是PC的中点（1）证明：平面ABM平面PCD；（2）求三棱锥MPAB的体积22（12分）已知圆经过A（1，
6、1）和B（2，2）两点，且圆心C在直线xy+10上（1）求圆C的方程；（2）若过点M（6，4）的直线l与圆C相交于P，Q两点，且|PQ|8，求直线l的方程2021年乌鲁木齐市第八中学高二年级第二阶段测试数学试卷（文）参考答案与试题解析一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1 【解答】解：集合AxN|x22x3xN|1x30，1，2，3，Bx|2x2x|x1，AB1，2，3故选：B【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题2 【解答】解：a+b4，+（a+b）（+）（2+）（2+2）1，A、B都错；根据基本不等式可得：2，当且仅当“ab”
7、时“”成立，C对；2，ab4，D错故选：C【点评】本题考查基本不等式应用、转化思想，考查数学运算能力，属于基础题3 【解答】解：a，bR+，且a+2b3ab，+3，2a+b（2a+b）（+）+（+）+3（当且仅当ab时取“），即2a+b的最小值为3故选：A【点评】本题主要考查了式子的变形及基本不等式的应用，属于基础题4 【解答】解：取直线y2x上一点 （1，2），有 ，解得 ，经检验满足题意，故选：B【点评】此题主要考查平面直角坐标轴中的伸缩变换，属于基础题5 【解答】解：根据题意，直线l过第一象限的点（m，n）和（1，5），直线l的倾斜角为135，则1，变形可得m+n6，则（）（m+n）（5
8、+），又由点（m，n）在第一象限，即m0，n0，则有+24，当且仅当n2m时等号成立，故（5+），即的最小值为，故选：D【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及直线的斜率，属于基础题6 【解答】解：lgMlg（6.41711023）lg6.4171+lg1023lg（23）+23lg2+lg3+230.3+0.48+2323.78，lgmlg（5.34103）lg5.34+lg103lg5+30.7+33.7，故lglgMlgm23.783.720.08，故选：C【点评】本题考查了对数的运算性质，考查转化思想，是基础题7 【解答】解：函数f（x）2x+lnx3在其定义域上单调递增，f（）
9、+ln30，f（1）2310，f（）f（1）0根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间是（1，），故选：C【点评】本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题8 【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰直角三角形，高为2的直三棱柱；如图所示：故，故选：D【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题9 【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（2，0，），B1（2，4，），A（2，0，0），C1（0，4，），（
10、0，4，0），（2，4，），设异面直线A1B1与AC1所成角为，则cos异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为故选：D【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等数学核心素养，是中档题10 【解答】解：因为点P在直线kxy+10上，设P（x，kx+1），则，所以0，因为方程有解，所以（2k4）244（k2+1）0，解得故选：A【点评】本题考查了直线方程的应用，同时考查了平面向量数量积的坐标表示，属于中档题11 【解答】解：由题意，a0且a1当0a1时，函数f（x）的图象如图，显然f（x）至多一解；当a1时，函
11、数f（x）的图象如图，要使f（x）有两解，则，解得1a2a的取值范围是（1，2）故选：D【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查分类讨论与数形结合思想，是中档题12 【解答】解：由2sin（+）2（sincos+cossin）sin+cos得2sin+cos，得C1的直角坐标方程为x2+y2xy0，即（x）2+（y）21，圆心为（，），半径为1，由sin（+）4得sincos+cossin4得曲线C2 的直角坐标方程为+y80，圆心到直线的距离为d3，所以|AB|的最小值为312故选：A【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13 【解
12、答】解：因为正数x、y满足x+1，则+y（+y）（x+）5+xy9，当且仅当xy且x+1，即x，y6时取等号，此时+y的最小值9故答案为：9【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题14【解答】解：点，转化为直角坐标为：A（，），点转化为直角坐标为：B（），则：|AB|4，故A，B两点间的距离为4故答案为：4【点评】本题考查的知识要点：极坐标和直角坐标的转化，两点间距离公式的应用15 【解答】解：当x0，1时，由|x1|+|2x+m|2x3|得1x+|2x+m|32x，即|2x+m|2x，故x22x+m2x，得x2m23x，又由题意知：（x2）minm（23x）max，即3m2
13、，故m的范围为3，2【点评】本题主要考查了解绝对值不等式，利用绝对值不等式的几何意义解决问题；考查运算求解能力，属于基础题16 【解答】解：幂函数f（x）x2m+1过点（3，27），32m+133，m1，幂函数f（x）x3，显然f（x）是奇函数，且在R上单调递增若f（k2+3）+f（98k）0，则不等式即 f（k2+3）f（8k9），k2+38k9，2k6，故答案为：（2，6）【点评】本题主要考查幂函数的定义、单调性、奇偶性的应用，解一元二次不等式，属于基础题三解答题（共6小题，满分70分）17 【解答】解：（1）由已知得，圆心的直角坐标为，r3，所以C的直角坐标方程为，所以圆C的参数方程为（
14、为参数）（2）由（1）得，圆C的极坐标方程为，即设P（，），Q（1，），根据|OP|：|PQ|2：3，可得：12：5，将代入C的极坐标方程得，即动点P轨迹的极坐标方程为【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型18 【解答】解：（1）a4时，f（x）|x4|+2|x+1|，若f（x）8，不等式可转化为，解得：2x1或1x2或x，综上，不等式的解集是（2，2）（2）若4，1M，f（x）2|x3|，即当x4，1时，|xa|+2|x+1|2|x3|恒成立，在4，1上，x+10，x30，|x+1|x1，|x3|
15、3x，f（x）2|x3|等价于|xa|8，即8xa8，当x4，1时该不等式恒成立，解得9a4即a的范围是9，4【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，属于基础题19 【解答】解：（1）由题意可得a22a14+3104+39，a32a28+3188+313，由数列an的前三项可猜想数列an是以5为首项，4为公差的等差数列，即an4n+1证明如下：当n1时，a15成立，假设nk时，ak4k+1成立，那么nk+1时，ak+12ak4k+32（4k+1）4k+34k+54（k+1）+1也成立，则对任意的nN*，都有an4n+1成立（2）由（1）可知，由得（4n1）3n+13
16、，即【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，数学归纳法的应用，是中档题20 【解答】解：（1）令，则原式变为，而t2t+20恒成立，即，所以2tt2t+2，即t23t+20，解得t（1，2），解得x（3，9）；（2）当x1，9时，由（1）中换元知t0，2当t0时，f（t）0；当t（0，2时，当且仅当时取等，f（x）的最大值为，经检验满足题意，综上所述，f（x）的最大值为【点评】本题主要考查了不等式的解法，以及换云法和基本不等式的运用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题21 【解答】（1）证明：取PD的中点N，连接MN，AN，PAAD，ANPD，ABCD，AB平面PAD，CD平
17、面PAD，CDAN，又PDCDD，PD、CD平面PCD，AN平面PCD，AN平面ABM，平面ABM平面PCD（2）解：由（1）知，ANPD，AN3，M，N分别为PC，PD的中点，MNCDAB，MN平面PAB，AB平面PAB，MN平面PAB，三棱锥MPAB的体积VVNPABVBPANABANPN23【点评】本题考查空间中线与面的位置关系、棱锥的体积，熟练掌握线与面平行、垂直的判定定理或性质定理，以及等体积法是解题的关键，考查学生的空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题22 【解答】解：（1）圆心在直线xy+10上，设圆心坐标为C（a，a+1），根据点A（1，1）和B（2，2）在圆上，可得（a1）2+（a+11）2（a2）2+（a+1+2）2，解得a3，圆心坐标为C（3，2），半径r2（31）2+（3+11）225，r5，此圆的标准方程是（x+3）2+（y+2）225；（2）由|PQ|8，可得弦心距为d，当直线的斜率存在时，设直线l的方程为y4k（x+6），即kxy+6k+40由，解得k，此时直线l的方程为3x+4y+20当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x6，满足圆心到直线l的距离为3，符合题意综上，直线l的方程为3x+4y+20或x6【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题