1、第2课时范围、最值问题考点1范围问题综合性(2020蚌埠市高三第三次质检)如图，设抛物线C1：x24y与C2：y22px(p0)在第一象限的交点为M，点A，B分别在抛物线C2，C1上，AM，BM分别与C1，C2相切(1)当点M的纵坐标为4时，求抛物线C2的方程；(2)若t1,2，求MBA面积的取值范围解：(1)由条件，4且t0，解得t4，即点M(4，4)代入抛物线C2的方程，得8p16，所以p2，则抛物线C2的方程为y24x.(2)将点M的坐标代入抛物线C2的方程，得p.设点A(x1，y1)，直线AM的方程为yk1(xt).联立方程消去y，化简得x24k1x4k1tt20，则16k4(4k1t
2、t2)0，解得k1.从而直线AM的斜率为，解得y1，即点A. 设点B(x2，y2)，直线BM的方程为yk2(xt)，联立方程消去x，化简得y2y2p0.则8p0，代入p，解得k2.从而直线BM的斜率为，解得x2，即点B.|MB|，点A到直线BM：yx，即tx8yt20的距离为d，故MBA的面积为SMBA|MB|d.而t1,2，所以MBA面积的取值范围是.圆锥曲线中的取值范围问题的解题策略(1)利用圆锥曲线的几何性质或联立方程后的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，
3、从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围已知椭圆C：1(a0，b0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：ykxm与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOMkON，求原点O到直线l的距离的取值范围解：(1)由题意知e，2b2.又a2b2c2，所以b1，a2.所以椭圆C的标准方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程得(4k21)x28kmx4m240.依题意，(8km)24(4k21)(4m24)0，化简得
4、m24k21.x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.若kOMkON，则，即4y1y25x1x2.所以(4k25)x1x24km(x1x2)4m20.所以(4k25)4km4m20，即(4k25)(m21)8k2m2m2(4k21)0，化简得m2k2.由得0m2，k2.因为原点O到直线l的距离d，所以d21.又k2，所以0d20)，则曲线C在T处的切线l的斜率kf(t).由题意，直线l与圆W相切于T点，设圆W的标准方程为(xa)2y22(a0)，则直线WT的斜率kWT.因为lWT，所以1，即t38(ta)0.又因为(ta)22，所以2，所以t64t
5、41280.令t2，则3421280，所以(342)(82128)0，即(4)(2832)0，所以4.所以t2，a3，从而圆W的标准方程为(x3)2y22.()设E(x1，y1)，F(x2，y2)，直线l2：yxm.由得x24x4m0，所以x1x24，x1x24m，所以|EF|4.又因为|PQ|2，所以4.由于l2与曲线C、圆W均有两个不同的交点，所以解得1mb0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过点F2且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的弦长为1.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线ykxm(k0)交椭圆E于C，D两点，与线段F1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点M，N，且|CM|DN|，求|C
6、D|的最小值解：(1)由题意可知e，且1，解得a2，b1，c.所以椭圆E的方程为y21.(2)把ykxm(k0)代入y21得(14k2)x28kmx4m240.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2.又M，N(0，m)，|CM|DN|，所以xMx1x2xN，即xMxNx1x2.所以x1x2.因为ykxm(k0)与线段F1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点M，N，所以m0.又k0，则k，故x1x22m，x1x22m22.因为直线ykxm(k0)与线段F1F2及椭圆的短轴分别交于不同两点，所以2m，即m，且m0，所以|CD|x1x2|.因为m，且m0，所以，当m或m时，|CD|的
7、最小值为.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2y24，椭圆C：y21，A为椭圆C的右顶点，过原点且异于x轴的直线与椭圆C交于M，N两点，M在x轴的上方，直线AM与圆O的另一交点为P，直线AN与圆O的另一交点为Q.(1)若3，求直线AM的斜率；(2)设AMN与APQ的面积分别为S1，S2，求的最大值四字程序读想算思已知圆的方程和椭圆的方程，直线与圆、椭圆都相交1.向量3如何转化？2.如何表示三角形的面积？把用直线AM的斜率k来表示转化与化归求直线AM的斜率，求AMN与APQ的面积之比1.用A，P，M的坐标表示；2.利用公式Sabsin C表示并转化进而用基本不等式求其最大值把面积之比的最大值
8、转化为一个变量的不等式思路参考：设直线AM的方程为yk(x2)，k0，利用yp3yM求解解：(1)设直线AM的方程为yk(x2)，k0，将yk(x2)与椭圆方程y21联立，得k2(x2)2(2x)(2x)求得点M的横坐标为xM，纵坐标为yM.将yk(x2)与圆方程x2y24联立，得k2(x2)2(2x)(2x)求得点P的横坐标为xp，纵坐标为yp.由3得yp3yM，即.又k0，解得k.(2)由M，N关于原点对称，得点N的坐标为xN，yN，所以直线AN的斜率为kAN.于是，同理.所以，当且仅当16k2，即k时等号成立，所以的最大值为.思路参考：设直线AM的方程为yk(x2)，k0，由3转化为xp
9、xA3(xMxA)求解解：(1)设直线AM的方程为yk(x2)，k0，代入椭圆方程，整理得(4k21)x216k2x4(4k21)0.由根与系数的关系得xAxM，而xA2，所以xM.将yk(x2)代入圆的方程，整理得(k21)x24k2x4(k21)0.由根与系数的关系得xAxP，而xA2，所以xp.由3，得xpxA3(xMxA)，即23，解得k22.又k0，所以k.(2)因为MN是椭圆的直径，直线AM，AN斜率均存在，所以kAMkAN，即kkAN，所以kAN.下同解法1(略)思路参考：设直线AM的方程为xmy2，利用yp3yM求解解：(1)设直线AM的方程为xmy2(m0)，将其代入椭圆方程
10、，整理得(m24)y24my0，得点M的纵坐标为yM.将xmy2代入圆的方程，整理得(m21)y24my0，得点P的纵坐标为yp.由3，得yp3yM，即.因为m0，解得m2，即m.又直线AM的斜率kb0)的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求椭圆E的方程；(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程解：(1)设F(c,0)，由题意知，解得c.因为e，所以a2，b2a2c21.所以椭圆E的方程为y21.(2)(方法一)显然直线l的斜率存在设直线l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且P在线段AQ上由得(4k21)x216kx120，所以x1x2，x1x2.由(16k)248(4k21)0，得k2.则SOPQSAOQSAOP2|x2x1|.令t(t0)，则4k2t23，于是SOPQ1，当且仅当t2，即k时等号成立，所以l的方程为yx2或yx2.(方法二)依题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx2.将其代入椭圆方程，整理得(4k21)x216kx120，则(16k)248(4k21)16(4k23)0，即k2.由弦长公式得|PQ|.由点到直线的距离公式得点O到直线l的距离d，所以SOPQ|PQ|d.设t(t0)，则4k2t23，所以SOPQ1，当且仅当t2，即k时等号成立故所求直线l的方程为yx2或yx2.
