1、湖北省襄阳市、荆州市、荆门市、宜昌市等七市2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1已知集合A2，1，0，1，Bx|1x1，则AB（）A1，1B1，0，1C0，1，2D2，1，0，12设复数z（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点所在的象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3O为ABCD两条对角线的交点，4，6，则（）A2+B2C2+3D234PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一划分等级为：PM2.5日均值在35g/m3以下，空气质量为一级；PM2.5日均值在3575g/m3，空气质量为二级；P
2、M2.5日均值超过75g/m3为超标如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（单位：g/m3）变化的折线图，关于PM2.5日均值说法正确的是（）A这10天日均值的80%分位数为60B前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差C前5天的日均值的方差大于后5天的日均值的方差D这10天的日均值的中位数为415已知，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A若，则B若m，m，则C若m，n，则mnD若m，n，则mn6已知函数f（x），则方程f（x）2的实数解的个数为（）A0B1C2D37圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美
3、犇犇同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为35m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是45和60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为15，则犇犇估算索菲亚教堂的高度CD约为（结果保留整数）（）A44mB47mC50mD53m8如图，在ABC中，M是AC的中点，N在边BC上，且，BM与AN交于点P，若，则的值是（）ABCD3二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得分9已知（4，2），（6，3），则（）A43（2，1）B3|2|
4、CD10下列说法正确的是（）A“ab”是“|a|b|”的充分不必要条件B命题“x（3，+），x29”的否定是“x（3，+），x29”C设x，yR，则“x2且y2”是“x+y4”的必要不充分条件D“m1”是“关于x的方程x22x+m0有实根”的充要条件11已知za+bi（a，bR）为复数，是z的共轭复数，则下列命题一定正确的是（）Az|z|2B若R，则zRC若z2为纯虚数，则ab0D若|zi|1，则|z|的最大值为212在矩形ABCD中，AB8，BC6，沿矩形对角线BD将BCD折起形成四面体，在折叠过程中，下列四个结论中正确的是（）A在四面体ABCD中，当DABC时，BCACB四面体ABCD的体
5、积的最大值为C在四面体ABCD中，BC与平面ABD所成的角可能为D四面体ABCD的外接球的体积为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13某校高一年级共有男生600人，女生400人，为纪念“建党100周年”，决定按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高一年级全体学生中抽出50人，组建一个合唱团，则男生应该抽取 人14已知圆锥的表面积为3m2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为 m15声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数f（x）Asinx（A0，0）已知函数g（x）Asin（x+）（A0，0，02）的部分图象如图所示，将函数yg（x）的图象向右平移k（0k
6、）个单位长度后，与纯音的数学模型函数f（x）Asinx的图象重合，则k 16拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”已知ABC内接于半径为的圆，以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A，B，C若ACB30，则ABC的面积最大值为 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知非零向量，满足|4|，且（2）（1）求与的夹角；（2）若|+|，求|的值18已知函数f（x）2s
7、inxcosx+2cos2x1（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若f（），且0，求cos的值19某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，A等级排名占比为15%，赋分分数区间是86100；B等级排名占比为35%，赋分分数区间是7185；C等级排名占比为35%，赋分分数区间是5670；D等级排名占比为13%，赋分分数区间是4155；E等级排名占比为2%，赋分分数区间是3040现从全年级的化学成绩中随机抽取100名学生的化学成绩原始分进行分析，其频率
8、分布直方图如图所示：（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计该次校考中化学成绩原始分的平均数；（3）用样本估计总体的方法，估计该校本次校考化学成绩原始分不少于多少分才能达到C等级及以上（含C等级）？（结果保留整数）20在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（sinA+sinC）2sin2B+sinAsinC（1）求B的大小；（2）若a3，且SABC，BD是AC边的中线，求BD的长度21如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BCD60，PDAD，PB，E是BC边的中点（1）求证：AD平面PDE；（2）若直线PB与底面ABCD所成的角为60，求二面角PAD
9、C的大小22已知函数f（x）log2（4x+1）kx（kR）为偶函数（1）求k的值；（2）设g（x）2f（2x）m2f（x）+1，h（x）2cos（x+），若x11，0，x20，总有g（x1）h（x2），求m的取值范围参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1已知集合A2，1，0，1，Bx|1x1，则AB（）A1，1B1，0，1C0，1，2D2，1，0，1【分析】进行交集的运算即可解：A2，1，0，1，Bx|1x1，AB1，0，1故选：B2设复数z（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点所在的象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除
10、运算化简，求出z的坐标得答案解：z，复数z所对应的点的坐标为（1，1），位于第一象限故选：A3O为ABCD两条对角线的交点，4，6，则（）A2+B2C2+3D23【分析】根据平行四边形法则以及平行四边形的性质化简即可求解解：由已知可得2，故选：D4PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一划分等级为：PM2.5日均值在35g/m3以下，空气质量为一级；PM2.5日均值在3575g/m3，空气质量为二级；PM2.5日均值超过75g/m3为超标如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（单位：g/m3）变化的折线图，关于PM2.5日均值说法正确的是（）A这10天日均值的80%分位数为6
11、0B前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差C前5天的日均值的方差大于后5天的日均值的方差D这10天的日均值的中位数为41【分析】利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可解：对于A，将10天中的PM2.5日均值按从小到大排列为30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，根据80%分位数的定义可得，这10天中PM2.5日均值的80%分位数是，故选项A错误；对于B，前5天的日均值的极差为413011，后5天的日均值的极差为804535，故选项B正确；对于C，由折线图和方差的定义可知，前5天的日均值的方差小于后5天日均值的差，故选项C错误；对于D，这10
12、天中PM2.5日均值的中位数为，故选项D错误故选：B5已知，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A若，则B若m，m，则C若m，n，则mnD若m，n，则mn【分析】对于A，垂直于同一平面的两平面有可能相交或平行；对于B，平行于同一直线的两平面有可能相交；对于C，垂直于同一平面的两直线平行；对于D，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面解：对于A，垂直于同一平面的两平面相交或平行，故A错误；对于B，平行于同一直线的两平面相交或平行，故B错误；对于C，垂直于同一平面的两直线平行，故C正确；对于D，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面，故D错误故选：C6已知函数f（x）
13、，则方程f（x）2的实数解的个数为（）A0B1C2D3【分析】分别求出两段函数在相应范围的解，即可求解解：当x0时，由x2+2x12得x2+2x+10，解得x1，符合题意；当x0时，由lnx32，得lnx1，解得xe，符合题意综上，方程f（x）2的实数解的个数为2故选：C7圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美犇犇同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为35m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是45和60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为15，则犇犇估算索菲亚教堂的高度
14、CD约为（结果保留整数）（）A44mB47mC50mD53m【分析】在RtABM，由边角关系得出AM，再由正弦定理计算出ACM中的CM，最后根据直角三角形DCM算出CD即可解：由题意知：CAM60，AMC75，所以ACM45，在RtABM中，在ACM中，由正弦定理得，所以，在RtDCM中，53，故选：D8如图，在ABC中，M是AC的中点，N在边BC上，且，BM与AN交于点P，若，则的值是（）ABCD3【分析】设ABm，ACn，且ABAC，进而建立平面直角坐标系，表示出各点的坐标，再求出直线AN及直线BM的方程，进而得出点P的坐标，再根据题设条件，建立方程可得，由此得出答案解：不妨设ABm，AC
15、n，且ABAC，以点A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如下图，则，直线AN的方程为，直线BM的方程为，联立直线AN的方程与直线BM的方程可得，即，又，化简得，故选：A二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得分9已知（4，2），（6，3），则（）A43（2，1）B3|2|CD【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案解：根据题意，依次分析选项：对于A，（4，2），（6，3），则43（443，4233）（2，1），A正确；对于B，|2，|3，则有3|2|，B正确
16、；对于C，（4，2），（6，3），有4326，必有，C正确；对于D，（4，2），（6，3），46+23300，不成立，D错误；故选：ABC10下列说法正确的是（）A“ab”是“|a|b|”的充分不必要条件B命题“x（3，+），x29”的否定是“x（3，+），x29”C设x，yR，则“x2且y2”是“x+y4”的必要不充分条件D“m1”是“关于x的方程x22x+m0有实根”的充要条件【分析】直接利用简易逻辑，充要条件，逐个判断即可得出答案解：对于A：若a0，b1满足ab，当|a|b|，故A错误；对于B：特称命题的否定为全称命题，故B正确；对于C：x2，y1满足x2+y24，当y2，故C错误；对于
17、D：方程x22x+m0有实数根44m0，所以m1，故D正确故选：BD11已知za+bi（a，bR）为复数，是z的共轭复数，则下列命题一定正确的是（）Az|z|2B若R，则zRC若z2为纯虚数，则ab0D若|zi|1，则|z|的最大值为2【分析】利用复数的运算性质以及复数为实数，纯虚数的条件和模的运算性质对应各个选项即可求解解：选项A：因为z，故A正确，选项B：i，因为，所以b0，则zR，故B正确，选项C：因为z2（a+bi）2（a2b2）+2abi为纯虚数，所以，即ab0，故C错误，选项D：由复数模的三角不等式可得|z|（zi）+i|zi|+|i|2，故D正确，故选：ABD12在矩形ABCD中
18、，AB8，BC6，沿矩形对角线BD将BCD折起形成四面体，在折叠过程中，下列四个结论中正确的是（）A在四面体ABCD中，当DABC时，BCACB四面体ABCD的体积的最大值为C在四面体ABCD中，BC与平面ABD所成的角可能为D四面体ABCD的外接球的体积为定值【分析】直接利用线面垂直的判定和性质的应用，等体积转换法，面面垂直的性质的应用和球和四面体的关系判定A、B、C、D的结论解：对于A：当DABC时，由于BCCD，CDDAD，CD，DA平面ACD，所以BCAC，故A正确；对于B：当平面ABD平面BCD时，四面体ABCD的体积最大，在BCD中，根据等面积法，可得点C到平面ABD的距离满足10
19、h68，解得h，所以，故B正确；对于C：当平面ABD平面BCD时，BC与平面ABD所成的角CBD最大，此时：tan，即，故C错误；对于D：由于BAD和BCD都为直角三角形，且公共斜边，所以斜边BD的中点到A、B、C、D的距离相等，所以四面体ABCD的外接球的半径R，所以四面体ABCD得外接球的体积为定值，故D正确故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13某校高一年级共有男生600人，女生400人，为纪念“建党100周年”，决定按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高一年级全体学生中抽出50人，组建一个合唱团，则男生应该抽取 30人【分析】利用分层抽样的性质直接求解解：由分
20、层抽样的性质得：男生应该抽取：30（人）故答案为：3014已知圆锥的表面积为3m2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为 1m【分析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，利用侧面展开图得到l2r，然后由侧面积公式，列式求解r即可解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，因为圆锥的侧面展开图为一个半圆，所以l2r，则l2r，又圆锥的表面积为3m2，则rl+r23r23，解得r1故答案为：115声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数f（x）Asinx（A0，0）已知函数g（x）Asin（x+）（A0，0，02）的部分图象如图所示，将函数yg（x）的图象向右平移k（0k）个单位长度后
21、，与纯音的数学模型函数f（x）Asinx的图象重合，则k【分析】根据图像求出函数的解析式，再结合三角函数的性质即可得到结论解：由图可知，A2，T，又图像过，02，因为函数yf（x）的图像向右平移k个单位长度后，与纯音的数学模型函数f（x）Asinx的图像重合，故答案为：16拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”已知ABC内接于半径为的圆，以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A，B，C若ACB30，则AB
22、C的面积最大值为 【分析】先由正弦定理确定ABC的边AB的表达式，再由余弦定理和基本不等式计算出AB的范围，即可求出SABC的最大值解：如图，由正弦定理可得，已知ACB90，故由余弦定理可得，a2+b22abcos30c2，即，又，整理得：，故，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知非零向量，满足|4|，且（2）（1）求与的夹角；（2）若|+|，求|的值【分析】设向量，夹角为，（1）由（2）得（2）0可解决此问题；（2）由|+|两边平方，结合|4|可解决此问题解：设向量，夹角为，（1）由（2）得（2）0，20，|cos2|20又|4|，c
23、os，；（2）由|+|两边平方得|2+|2+2|cos21，又|4|，21|221，|118已知函数f（x）2sinxcosx+2cos2x1（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若f（），且0，求cos的值【分析】（1）将函数化简，求出函数单调递增时满足的条件，进而求出函数的单调递增区间；（2）由（1）及椭圆可得sin2，再由0，可得cos2，进而求出cos的值解：（1）函数f（x）2sinxcosx+2cos2x1sin2x+cos2x2（sin2x+cos2x）2sin（2x+）单调递增区间满足：+2k2x+2k，kZ，解得：+kx+k，kZ，所以函数的单调递增区间为：+k，+k，k
24、Z；（2）因为f（），由（1）可得：2sin（2+）2sin2，所以sin2，0，所以2（0，），所以cos2，所以cos，所以cos的值为19某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，A等级排名占比为15%，赋分分数区间是86100；B等级排名占比为35%，赋分分数区间是7185；C等级排名占比为35%，赋分分数区间是5670；D等级排名占比为13%，赋分分数区间是4155；E等级排名占比为2%，赋分分数区间是3040现从全年级的化学成绩中随机抽取10
25、0名学生的化学成绩原始分进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计该次校考中化学成绩原始分的平均数；（3）用样本估计总体的方法，估计该校本次校考化学成绩原始分不少于多少分才能达到C等级及以上（含C等级）？（结果保留整数）【分析】（1）由频率分布直方图的性质列方程，能求出a（2）由平均数公式代入计算即可（3）由已知等级达到C及以上所占排名等级占比为85%，假设原始分不少于x分可以达到赋分后的C等级及以上，列方程能求出结果解：（1）由题意得10（0.01+0.015+0.015+a+0.025+0.005）1，解得a0.03；（2）平均数为：10（450
26、.010+550.015+650.015+750.030+850.025+950.005）71；（3）由已知等级达到C及以上所占排名等级占比为15%+35%+35%85%，假设原始分不少于x分可以达到赋分后的C等级及以上，易得50x60，则有（0.005+0.025+0.030+0.015）10+（60x）0.0150.85，解得x53.33，所以原始分不少于54分才能达到赋分后的C等级以上20在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（sinA+sinC）2sin2B+sinAsinC（1）求B的大小；（2）若a3，且SABC，BD是AC边的中线，求BD的长度【分析】（1）由正弦定理
27、化简已知等式可得a2+c2b2ac，由余弦定理可得cosB，结合范围B（0，），可得B的值（2）由题意利用余弦定理可求AC的值，进而可得ADDC，又cosBDA+cosBDC0，由余弦定理建立等式即可解得BD的值解：（1）因为（sinA+sinC）2sin2B+sinAsinC，可得sin2A+sin2Csin2BsinAsinC，所以由正弦定理可得a2+c2b2ac，即a2+c2b2ac，所以cosB，因为B（0，），所以B（2）因为AB5，BC3，B，则cos，可得AC7，则ADDC，又BDA+BDC，可得cosBDA+cosBDC0，由余弦定理可得+0，整理可得BD2，解得BD21如图，
28、在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BCD60，PDAD，PB，E是BC边的中点（1）求证：AD平面PDE；（2）若直线PB与底面ABCD所成的角为60，求二面角PADC的大小【分析】（1）连接BD得BCD是正三角形，由E是BC边的中点得DEBC，由ADBC得DEAD，再由DPAD证明AD平面PDE；（2）过点P作PKDE，连接BK，由（1）知ADPK，得出PK平面ABCD，直线PB与底面ABCD所成的角为PBK，找出PDE是二面角PADC的平面角，计算PDK的值即可【解答】（1）证明：四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，BCD60，连接BD，则BCD是正三角形；因为E是B
29、C边的中点，所以DEBC，又因为ADBC，所以DEAD；又因为DPAD，且DPADD，所以AD平面PDE；（2）解：过点P在平面PDE内作PKDE，垂足为K，连接BK，如图所示：由（1）知，ADPK，所以PK平面ABCD；所以BK为BP在平面ABCD内的射影，所以直线PB与底面ABCD所成的角为PBK60；因为PB，PKB60，所以BK，PK2；在正BCD中，ABBC2，所以DE；在RtKEB中，BK，BE1，KE，所以DK；因为PDAD，所以EDAD，所以PDE是二面角PADC的平面角；在RtPKD中，tanPDK，所以PDE60，即二面角PADC的大小为6022已知函数f（x）log2（4
30、x+1）kx（kR）为偶函数（1）求k的值；（2）设g（x）2f（2x）m2f（x）+1，h（x）2cos（x+），若x11，0，x20，总有g（x1）h（x2），求m的取值范围【分析】（1）由偶函数的定义可得f（x）f（x），结合对数的运算性质和等式的性质，解得k的值；（2）由题意可得g（x）minh（x）max，由余弦函数的图象和性质，可得h（x）的最大值；由换元法，结合指数函数和二次函数的单调性，求得g（x）的最小值，解不等式可得所求范围解：（1）因为函数f（x）logx（4x+1）kx（kR）为偶函数，所以f（x）f（x），即log2（4x+1）+kxlog2（4x+1）kx，可得2k
31、xlog2log24x2x恒成立，所以k1；（2）若x11，0，x20，总有g（x1）h（x2），所以g（x）minh（x）max，因为x0，所以x+，所以1cos（x+），所以2h（x）1，则h（x）max1又f（x）log2（4x+1）xlog2log2（2x+2x），所以g（x）22x+22x2m（2x+2x）（2x+2x）22m（2x+2x）2，令t2x+2x，x1，0，由（1）可得t在1，0上递减，所以t2，设h（t）t22mt2，t2，对称轴为tm，当m2时，t2时，h（t）取得最小值24m，所以24m1，解得m；当m2，时，当tm时，h（t）minm22，所以m221，此不等式无解；当m（，+）时，当t时，ymin5m+，所以5m+1，此不等式无解综上可得，m的取值范围是（，
