1、安徽省合肥市第六中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一、选择题：本题共l2小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知大前提：所有的奇函数在处的函数值为0；小前提：是奇函数；结论：则该三段论式的推理A是正确的B大前提错误C小前提错误D推理形式错误2（5分）用反证法证明“若，则，中至少有一个为0”的第一步假设应为A，全为0B，中至多有一个为0C，不全为0D，全不为03（5分）已知函数从到的平均变化率为，则实数的值等于A2B1CD4（5分）在复平面内，复数所对应的点在射线上，且，则ABCD5（5分）观察下列图形的规律，则第
2、个图中正三角形的个数为ABCD6（5分）已知函数的图象在处的切线倾斜角为，则实数ABC0D17（5分）若，则正整数A4B5C6D78（5分）把10名同学的学号分别写在10张卡片上，再把卡片分发给这10名同学，每人1张，则恰有3名同学卡片上的数字与自己学号不一致的分发方法数为A120B240C360D4809（5分）要安排6名消防员去4个小区进行消防安全教育，每人去1个小区，每个小区至少安排1人，则不同的安排方法数为A480B1080C1560D252010（5分）已知，则（a）的最小值为ABCD11（5分）已知函数，则的导函数的图象可能是ABCD12（5分）已知函数的导函数为，若存在使得，则称
3、是的一个“巧值点”函数的巧值点的个数为A0B1C2D3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）若复数是纯虚数，则实数14（5分）将，四盆不同的花从左到右摆放成一排，但，不能相邻，相邻，则共有 种不同的摆放方法15（5分）函数的极值点为16（5分）观察下列各式：，归纳得第个等式为若不等式恒成立，则实数的取值范围是 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）已知复数满足，（）求的共轭复数；（）若，求的取值范围18（12分）请你根据向量数量积的定义和性质，推导出平面向量数量积的坐标表示，即：已知，证明：19（12分）某晚会上有4个歌舞类节目和3个
4、语言类节目，分别求满足以下各条件的不同表演顺序种数（）前两个节目中既有歌舞类节目也有语言类节目；（）3个语言类节目都不相邻；（）3个语言类节目相邻，且指定的某个歌舞类节目不排在最后20（12分）已知函数（）若在点，（1）处的切线方程为，求实数，的值；（）若，在，内存在极小值，且为的导函数），求实数的取值范围21（12分）已知函数的图象经过点和（）求，的值；（）已知函数与的图象关于直线对称，求的解析式，并求在，上的最值22（12分）已知函数的最小值为0（）求；（）设函数，证明：有两个极值点，且2020-2021学年安徽省合肥六中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共l
5、2小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知大前提：所有的奇函数在处的函数值为0；小前提：是奇函数；结论：则该三段论式的推理A是正确的B大前提错误C小前提错误D推理形式错误【考点】演绎推理【分析】当时，函数是奇函数，则，故大前提是错误的【解答】解：当时，函数是奇函数，则，故推理的大前提：“函数是奇函数，则”是错误的，导致结论错故选：【点评】本题考查演绎推理，演绎推理的基本方法，考查三段论，属于基础题2（5分）用反证法证明“若，则，中至少有一个为0”的第一步假设应为A，全为0B，中至多有一个为0C，不全为0D，全不为0【考点】反证法【分析】反证
6、法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答【解答】解：用反证法证明命题“若，则，中至少有一个为0”时，假设正确的是：假设，全不为0故选：【点评】本题考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定3（5分）已知函数从到的平均变化率为，则实数的值等于A2B1CD【考点】变化的快慢与变化率【分析】根据题意，由函数的解析式可得（2）、（1）的值，由平均变化率公式可得，解可得的值，即可得答案【解答】解：根据题意，函数，则（2），（1），若函数从到的平均变化率为，即，解
7、可得：；故选：【点评】本题考查变化率的计算，注意变化率的计算公式，属于基础题4（5分）在复平面内，复数所对应的点在射线上，且，则ABCD【考点】复数的模【分析】设，复数所对应的点在射线上，且，可得：，解得，【解答】解：设，复数所对应的点在射线上，且，解得，则，故选：【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5（5分）观察下列图形的规律，则第个图中正三角形的个数为ABCD【考点】归纳推理【分析】先观察给出的三角形图案，将各图的三角形的个数列出来，探讨规律，将其转化为特殊的数列，再用通项公式求解【解答】解：由观察知，第一个图中正三角形的个数为1，
8、第二个图中正三角形的个数为5，第三个图中正三角形的个数为9，第个图中正三角形的个数构成首项为1，公差为4的等差数列，第个图中正三角形的个数为故选：【点评】本题主要考查归纳推理，归纳其规律，体现了特殊到一般的思想方法，属于基础题6（5分）已知函数的图象在处的切线倾斜角为，则实数ABC0D1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】依题意，可求得的图象在处的切线的斜率为，从而可得答案【解答】解：函数的图象在处的切线的斜率，故选：【点评】本题考查利用导数研究函数曲线上某点的斜率，考查运算能力，属于基础题7（5分）若，则正整数A4B5C6D7【考点】排列及排列数公式【分析】根据排列数、组合数的公式
9、，列方程求解即可【解答】解：因为，所以，整理得，解得或，所以正整数故选：【点评】本题考查了排列数、组合数公式的应用问题，是基础题8（5分）把10名同学的学号分别写在10张卡片上，再把卡片分发给这10名同学，每人1张，则恰有3名同学卡片上的数字与自己学号不一致的分发方法数为A120B240C360D480【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】分两步，第一步，先选出3名同学卡片上的数字与自己学号不一致的方法，第二步求出名同学卡片上的数字与自己学号不一致的方法，根据分步计数原理可得【解答】解：恰有3名同学卡片上的数字与自己学号不一致，则其它7人与自己的学号一致，先选出3人，有种，3名同学卡片上的数
10、字与自己学号不一致的方法2种，根据分步计数原理可得，共有种故选：【点评】本题考查了分步计数原理，考查了运算求解能力，属于基础题9（5分）要安排6名消防员去4个小区进行消防安全教育，每人去1个小区，每个小区至少安排1人，则不同的安排方法数为A480B1080C1560D2520【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】6名消防员可以分为，1，1，2，1，两种情况，再分配到4个小区，即可求出【解答】解：6名消防员可以分为，1，1，2，1，两种情况，再分配到4个小区，共有，故选：【点评】本题考查了分组分配问题，考查了排列组合的应用，属于基础题10（5分）已知，则（a）的最小值为ABCD【考点】定积分、
11、微积分基本定理【分析】根据定积分的几何意义，求出，找出被积函数的原函数，求出，再利用二次函数求最值即可【解答】解：表示以原点为圆心，以为半径的圆的面积的，（a），（a）的最小值为故选：【点评】本题考查了定积分的基本运算和几何意义，以及二次函数求最值问题，属于基础题11（5分）已知函数，则的导函数的图象可能是ABCD【考点】函数的图象与图象的变换【分析】求导得到，利用的零点及时，可得出答案【解答】解：，显然有两个解，或，故排除选项，当时，故排除选项故选：【点评】本题考查导数运算，考查函数图象的识别，考查数形结合思想，属于基础题12（5分）已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“巧值点”函数
12、的巧值点的个数为A0B1C2D3【考点】函数与方程的综合运用【分析】根据题意，求出的导数，可得，即，设，求出的导数，分析的单调性，由函数零点判定定理分析的零点，即可得的零点个数，分析可得答案【解答】解：根据题意，则其导数，若，即，设，函数的零点就是方程的根，也就是函数的巧值点，当时，当且仅当时等号成立，必有在上恒成立，故在上是增函数，又由（1），（2），则有（1）（2），在区间上存在零点，又由在上是增函数，则存在唯一的零点，故函数的巧值点的个数为1；故选：【点评】本题考查函数零点的判断，涉及函数导数的计算，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）若复数是纯虚数，则
13、实数1【考点】复数的运算【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出【解答】解：复数是纯虚数，解得故答案为：1【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14（5分）将，四盆不同的花从左到右摆放成一排，但，不能相邻，相邻，则共有 8种不同的摆放方法【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】把捆绑在一起看作一个复合元素插入到，之间，再排除在之间，即可求出【解答】解：先把捆绑在一起看作一个复合元素插入到，之间，共有种，其中满足相邻，也相邻，即在之间，有种故有种，故答案为：8【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是本题中所用到的绑定与插空，不同
14、的计数问题中所采用的技巧，将这些技巧与具体的背景结合起来，熟练掌握这些技巧15（5分）函数的极值点为3【考点】利用导数研究函数的极值【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的极值点即可【解答】解：，令，解得：，故的极值点是，故答案为：3【点评】本题考查了求函数的极值点问题，考查导数的应用，是基础题16（5分）观察下列各式：，归纳得第个等式为若不等式恒成立，则实数的取值范围是 【考点】归纳推理【分析】先得到，再利用分参得到，最后利用基本不等式求出最值即可【解答】解：由题意得，恒成立，当且仅当，即时取等号，的最小值为8，即的取值范围为【点评】本题考查了归纳推理，考查了恒成立，分参利用基
15、本不等式求最值问题，属于中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）已知复数满足，（）求的共轭复数；（）若，求的取值范围【考点】复数的运算；复数的模【分析】由，利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出（），若，则，化简即可得出的取值范围【解答】解：，的共轭复数（），若，则，化为，解得：，的取值范围为【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18（12分）请你根据向量数量积的定义和性质，推导出平面向量数量积的坐标表示，即：已知，证明：【考点】平面向量数量积的性质及其运算【分析】设出坐标轴上的单位向量
16、，利用平面向量数量积的运算法则化简求解即可，【解答】证明：设轴上的单位向量为：，轴上的单位向量为，所以，所以【点评】本题考查向量的数量积的坐标运算公式的证明，是中档题19（12分）某晚会上有4个歌舞类节目和3个语言类节目，分别求满足以下各条件的不同表演顺序种数（）前两个节目中既有歌舞类节目也有语言类节目；（）3个语言类节目都不相邻；（）3个语言类节目相邻，且指定的某个歌舞类节目不排在最后【考点】排列、组合及简单计数问题菁优网版权所有【分析】（）特殊位置优先安排的原则，根据分步计数原理即可求出；（）利用插空法，即可求出；（）利用捆绑法和插空法即可求出【解答】解：（）先从歌舞类节目和语言类节目各选
17、1个，排在前两个节目，其它的任意排，故C41C31A22A552880种；（）将3个语言类节目插入到4个歌舞类节目所形成的空中，有A44A531440种；（）将3个语言类节目相邻捆绑在一起看作一个复合元素，再和除指定的某个歌舞类节目的3个歌舞类节目全排，最后将指定的某个歌舞类节目插入到所形成的空（不包含最后一个空）中，故有A33A44A41576种【点评】本题考查排列、组合的应用，要掌握常见问题的处理方法，如相邻问题用捆绑法，属于基础题20（12分）已知函数（）若在点，（1）处的切线方程为，求实数，的值；（）若，在，内存在极小值，且为的导函数），求实数的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；
18、利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出函数的导数，得到关于，的方程组，解出即可；（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极小值点，得到故，的不等式，求出的取值范围即可【解答】解：（）（1），由题意得：，解得：；（），即，有2个不同的实数解，即或且，在上，递增，在上，递减，在，上，递增，是的极小值点，解得：，实数的取值范围是，【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是中档题21（12分）已知函数的图象经过点和（）求，的值；（）已知函数与的图象关于直线对称，求的解析式，并求在，上的最值【考点】利用导数研究函数的最值【分析】
19、（）代入点的坐标，得到关于，的方程组，解出即可；（）求出的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最大值和最小值即可【解答】解：（）由题意得：，解得：；（）由（）得：，由函数与的图象关于直线对称，得，则，令，解得：，令，解得：，故在，递增，在，递减，故，由（1），（4），故（4）（1），综上，的最大值是，最小值是【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是中档题22（12分）已知函数的最小值为0（）求；（）设函数，证明：有两个极值点，且【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值【分析】（）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于的方程，解出即可；（）求出函数的导数，根据函数的单调性求出的解析式，结合函数的性质证明即可【解答】解：（），定义域是，时，在递增，无最小值，不合题意，时，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故（a），解得：，综上：；（）证明：由（），则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在，递增，故，而，（1），故有2个零点，其中，由，得：，故，当且仅当时“”成立，显然“”不成立，故【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是中档题