1、5.2向量数量积的坐标表示5.3利用数量积计算长度与角度课后篇巩固提升基础达标练1.(2020北京高三期末)若向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论正确的是()A.ab=1B.|a|=|b|C.(a-b)bD.ab解析选项A,ab=(2,0)(1,1)=2;选项B,|a|=2,|b|=2;选项C,(a-b)b=(1,-1)(1,1)=0,正确;选项D,因为1210,所以两向量不平行.答案C2.(2019山东济南一中高三期中)已知向量a=(1,2),ab=10,|a+b|=52,则|b|=()A.5B.10C.5D.25解析因为向量a=(1,2),所以|a|=5.因为ab=10,所以|a
2、+b|2=|a|2+|b|2+2ab=5+20+|b|2=50,所以|b|2=25,所以|b|=5.故选C.答案C3.(2019天津高三期中)已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则ABBC=()A.-3B.-2C.2D.3解析由BC=AC-AB=(1,t-3),|BC|=12+(t-3)2=1,得t=3,则BC=(1,0),ABBC=(2,3)(1,0)=21+30=2.故选C.答案C4.(多选)已知a=(3,-1),b=(1,-2),则下列结论正确的有()A.ab=5B.a的单位向量是31010,-1010C.=4D.与b垂直的单位向量是255,55解析已知a=(3,-1)
3、,b=(1,-2),则ab=31+(-1)(-2)=5,故A正确;因为a=(3,-1),|a|=10,所以a的单位向量是31010,-1010,故B正确;因为cos=ab|a|b|=5105=22,所以=4,故C正确;设与b垂直的单位向量是(x,y),可得x2+y2=1,x-2y=0,解得x=255,y=55,或x=-255,y=-55,故D错误.故选ABC.答案ABC5.(多选)设向量a=(k,2),b=(1,-1),则下列说法错误的是()A.若k-2,则a与b的夹角为钝角B.|a|的最小值为2C.与b共线的单位向量只有一个,为22,-22D.若|a|=2|b|,则k=22或-22解析若a与
4、b的夹角为钝角,则ab0且a与b不共线,则ab=k-20,-k2,解得k2,且k-2,A选项正确;|a|=k2+44=2,当且仅当k=0时,等号成立,B选项正确;|b|=2,与b共线的单位向量为b|b|,即与b共线的单位向量为22,-22或-22,22,C选项错误;因为|a|=2|b|=22,所以k2+4=22,解得k=2,D选项错误.故选CD.答案CD6.(2019北京临川学校高三月考改编)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且ab,则m=;此时|b|=.解析由题意,ab=0,即-46+3m=0,解得m=8,此时|b|=62+82=10.答案8107.(2020山东高三开学考试改编)已
5、知向量a=(4,-3),b=(-1,2),a,b的夹角为,则cos =.解析依题意cos=ab|a|b|=-1055=-255.答案-2558.(2019北京清华附中朝阳学校高三月考)已知平面向量a=(2,1),b=(-1,3),若向量a(a+b),则实数的值是.解析因为a=(2,1),b=(-1,3),所以a+b=(2-,1+3),因为a(a+b),所以a(a+b)=0,所以2(2-)+1+3=0,解得=-5.答案-59.(2019山东高一期中)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,a=(1,2).(1)若|c|=25,且ca,求c的坐标;(2)若|b|=52,且a+2b与2a-b垂直,求a
6、与b的夹角.解(1)设向量c=(x,y),因为a=(1,2),|c|=25,ca,所以x2+y2=25,2x=y,解得x=2,y=4,或x=-2,y=-4,所以c=(2,4)或c=(-2,-4);(2)因为a+2b与2a-b垂直,所以(a+2b)(2a-b)=0,所以2|a|2-ab+4ab-2|b|2=0,又|b|=52,|a|=12+22=5,所以25+3ab-254=0,得ab=-52,所以cos=ab|a|b|=-52552=-1.因为0,所以=.能力提升练1.(2019天津静海一中高一期末)设x,yR,向量a=(x,1),b=(2,y),c=(-1,1),ac,bc,则|a+b|2=
7、()A.5B.5C.10D.10解析由题意可得-x+1=0,-y-21=0,解得x=1,y=-2.所以a=(1,1),b=(2,-2),所以a+b=(3,-1),所以|a+b|2=32+(-1)2=10.故选D.答案D2.(2020海南高三)已知向量a=(3,2),b=-1,m+72,且函数f(x)=(a+xb)(xa-b)的图象是一条直线,则|b|=()A.132B.14C.27D.210解析由题意,f(x)=(a+xb)(xa-b)=x|a|2-ab+x2ab-x|b|2=abx2+(|a|2-|b|2)x-ab,因为函数f(x)的图象是一条直线,所以ab=0,即3(-1)+2m+72=0
8、,解得m=-2,所以b=-1,32,|b|=(-1)2+322=132.故选A.答案A3.(2019北京高一期末)已知非零向量m,n满足|m|=2|n|,m,n夹角的余弦值是13,若(tm+n)n,则实数t的值是()A.-32B.-23C.-12D.12解析因为|m|=2|n|,且m,n夹角的余弦值是13,所以mn=13|m|n|=23|n|2.又(tm+n)n,所以(tm+n)n=tmn+|n|2=2t3|n|2+|n|2=0.因为|n|0,所以2t3+1=0,所以t=-32.故选A.答案A4.已知a=(1,3),b=(-2,0),则|a+b|=.解析因为a+b=(-1,3),所以|a+b|
9、=(-1)2+(3)2=2.答案25.(2019北京高三月考)已知向量m=(-1,2),n=(1,).若mn,则m+2n与m的夹角为.解析因为mn,所以mn=0,所以-11+2=0,解得=12,即n=1,12,因此,m+2n=(1,3).设m+2n与m的夹角为,因此有cos=(m+2n)m|m+2n|m|=5105=22.因为0,所以=4.答案46.(2020枣庄第三中学高一月考)在平面直角坐标系中,已知a=(1,-2),b=(3,4).(1)若(3a-b)(a+kb),求实数k的值;(2)若(a-tb)b,求实数t的值.解(1)因为a=(1,-2),b=(3,4),所以3a-b=3(1,-2
10、)-(3,4)=(0,-10),a+kb=(1,-2)+k(3,4)=(3k+1,4k-2).因为(3a-b)(a+kb),所以-10(3k+1)=0,解得k=-13.(2)a-tb=(1,-2)-t(3,4)=(1-3t,-2-4t),因为(a-tb)b,所以(a-tb)b=3(1-3t)+4(-2-4t)=-25t-5=0,解得t=-15.素养培优练平面内有向量OA=(1,7),OB=(5,1),OP=(2,1),点M为直线OP上的动点.(1)当MAMB取最小值时,求OM的坐标;(2)在(1)的条件下,求cosAMB的值.解(1)设OM=(x,y),因为点M在直线OP上,所以向量OM与OP共线.又OP=(2,1),所以x1-y2=0,即x=2y.所以OM=(2y,y).又MA=OA-OM,OA=(1,7),所以MA=(1-2y,7-y).同理MB=OB-OM=(5-2y,1-y).于是MAMB=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8.当y=2时,MAMB有最小值-8,此时OM=(4,2).(2)由(1)知OM=(4,2),所以MA=(-3,5),MB=(1,-1),|MA|=34,|MB|=2,MAMB=(-3)1+5(-1)=-8.故cosAMB=MAMB|MA|MB|=-8342=-41717.
