1、第四讲平面向量的综合应用知识梳理双基自测知识点一向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理ab ab x1y2x2y10 ，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直问题数量积的运算性质ab ab0 x1x2y1y20 ，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos (为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a| ，其中a(x，y)，a为非零向量用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题知识点二向量在解析几何中的应
2、用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体知识点三向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题1若G是ABC的重心，则0.2若直线l的方程为AxByC0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(B，A)与直线l平行题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若，则A，B，C三点共线()(2)在ABC中，若0，y0，且xy1，则的最大值为(B)A B C D解析由题
3、意可知(1x)，(1y)，又xy1，x，又|1，(1x)(x)(当且仅当x时取等号)故选B.考点二向量在解析几何中的应用师生共研例2 若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为 6 .解析由题意，得F(1,0)，设P(x0，y0)，则有1，解得y3，因为(x01，y0)，(x0，y0)，所以x0(x01)yxx03x03，对应的抛物线的对称轴方程为x02，因为2x02，故当x02时，取得最大值236.名师点拨向量在解析几何中的“两个”作用：载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点
4、的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题；工具作用，利用abab0(a，b为非零向量)，abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题常常是比较优越的方法变式训练2已知直线xya与圆x2y22交于A，B两点，O是原点，C是圆上一点，若，则a的值为(A)A1 B C D2解析因为A，B，C均为圆x2y22上的点，故|，因为，所以()22，即2222，即44cos AOB2，故AOB120.则圆心O到直线AB的距离dcos 60，则|a|1，即a1.故选A.考点三向量与其他知识的交汇师生共研例3 (2020吉林省实
5、验中学高三上第四次月考)已知向量a(sin x，1)，b，函数f(x)(ab)a2.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a，c1，且f(A)1，求ABC的面积S.解析(1)f(x)(ab)a2|a|2ab2sin2x1sin xcos x2sin 2xsin 2xcos 2xsin，则2k2x2k(kZ)解得kxk(kZ)函数f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)f(A)sin1，A，2A，2A，A.又a2b2c22bccos A，b2，从而Sbcsin A.名师点拨平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量
6、的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值变式训练3在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m，n(c，b2a)，且mn0.(1)求C的大小；(2)若点D为边AB上一点，且满足，|，c2，求ABC的面积解析(1)因为m(cos B，cos C)，n(c，b2a)，mn0，所以ccos B(b2a)cos C0，在ABC中，由正弦定理得，sin Ccos B(sin B2sin A)cos C0，
7、sin A2sin Acos C，又sin A0，所以cos C，而C(0，)，所以C.(2)由知，所以2，两边平方得4|2b2a22bacosACBb2a2ba28.又c2a2b22abcosACB，所以a2b2ab12.由得ab8，所以SABCabsinACB2.名师讲坛素养提升三角形的四“心”及三角形形状的判定例4 (1)点P是ABC所在平面上一点，若，则点P是ABC的(D)A外心B内心C重心D垂心(2)O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的(B)A外心 B内心 C重心 D垂心(3)已知A，B，C是平面上不共线的三点，若动点
8、P满足，(0，)，则动点P的轨迹一定通过ABC的(B)A重心 B垂心 C内心 D外心(4)已知A，B，C是平面上不共线的三点，若动点P满足，(0，)，则动点P的轨迹一定通过ABC的(A)A重心 B垂心 C内心 D外心解析(1)由，得0，即()0，即0，则PBCA.同理PABC，PCAB，所以P为ABC的垂心故选D.(2)因为是向量方向上的单位向量，设与方向上的单位向量分别为e1和e2，又，则原式可化为(e1e2)，则由菱形的基本性质可知AP平分BAC，选B.(3)由条件，得从而(|)0，得，则动点P的轨迹一定通过ABC的垂心故选B.另解：作ADBC于D，则.与共线，故点P必过ABC的垂心(4)
9、由正弦定理得，即|sin B|sin C，即()(其中M为BC的中点)，PAM，则动点P的轨迹一定通过ABC的重心，故选A.另解：作ADBC于D，则()(其中M为BC的中点)，即与共线，动点P的轨迹一定过ABC的重心，选A.名师点拨三角形各心的概念介绍(1)重心：三角形的三条中线的交点；O是ABC的重心0；(2)垂心：三角形的三条高线的交点；O是ABC的垂心；(3)外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)O是ABC的外心|(或222)；(4)内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；O是ABC的内心0.注意：向量(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平
10、分线所在直线)例5 (2020驻马店质检)若O为ABC所在平面内任一点，且满足()(2)0，则ABC的形状为(C)A正三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形分析通过向量运算从算式中消掉O.解析由题意知()0.所以()()0，即|，所以ABC是等腰三角形，故选C.引申(1)若条件改为“|2|”结果如何？(2)若条件改为“2”结果如何？解析(1)2，|2|20，三角形为直角三角形，故选B.(2)2，()()，2，()0，即0，即C.ABC为直角三角形，故选B.名师点拨三角形形状的判断在ABC中，若|，则ABC为等腰三角形；若0，则ABC为直角三角形；若0，0，且0，则ABC为锐角三角形
11、；若|，则ABC为直角三角形；若()0，则ABC为等腰三角形变式训练4(1)若P为ABC所在平面内一点若()()0，则动点P的轨迹必过ABC的 垂心 .若()(0)，则动点P的轨迹必过ABC的 重心 .若222，则动点P的轨迹必过ABC的 外心 .(2)已知非零向量与满足0且，则ABC为(D)A三边均不相等的三角形 B直角三角形C等腰非等边三角形 D等边三角形解析(1)由题意知0，APBC，动点P必过ABC的垂心；由题意知()2(M为BC中点)P、A、M共线，P必过ABC的重心；222()()()，即2()，(2)()0.以，为邻边的平行四边形的对角线互相垂直点P在线段AB的中垂线上，P必过ABC的外心(2)因为非零向量与满足0，所以BAC的平分线垂直于BC，所以ABAC.又cos BAC，所以BAC.所以ABC为等边三角形故选D.