1、第五章 平面向量5.2 平面向量基本定理及坐标表示内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想与方法系列 思想方法 感悟提高 练出高分 基础知识 自主学习 1.平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a，一对实数1、2，使a.其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组.2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab，ab，a，|a|.x21y21不共线有且只有1e12e2基底(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)知识梳理 1 答案(2)向量坐标
2、的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB，|AB|.3.平面向量共线的坐标表示 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.a、b共线.(x2x1，y2y1)x2x12y2y12x1y2x2y10答案 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.()(4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可表示成x1x2
3、y1y2.()(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.()思考辨析 答案 1.设e1，e2是平面内一组基底，那么()A.若实数1，2使1e12e20，则120 B.空间内任一向量a可以表示为a1e12e2(1，2为实数)C.对实数1，2，1e12e2不一定在该平面内 D.对平面内任一向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对 A考点自测 2 12345答案 2.已知向量 a(2,3)，b(1,2)，若 manb 与 a2b 共线，则mn_.解析 由已知条件可得manb(2m,3m)(n,2n)(2mn,3m2n)，a2b(2,3)(2,4)(4，1)manb与a2b共线
4、，2mn43m2n1，即 n2m12m8n，mn12.1212345解析答案 3.在ABC 中，点 D 在 BC 边上，且CD 2DB，CD rABsAC，则 rs 等于()A.23B.43C.3D.0解析 因为CD 2DB，所以CD 23CB23(ABAC)23AB23AC，则 rs2323 0，故选 D.12345解析答案 D4.设 02，向量 a(sin 2，cos)，b(cos，1)，若 ab，则tan _.解析 ab，sin 21cos2 0，2sin cos cos2 0，02，cos 0，2sin cos，tan 12.1212345解析答案 5.(教材改编)已知ABCD的顶点A
5、(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为_.解析 设 D(x，y)，则由ABDC，得(4,1)(5x,6y)，即45x，16y，解得x1，y5.(1,5)12345解析答案 返回 题型分类 深度剖析 例 1(1)在梯形 ABCD 中，ABCD，AB2CD，M，N 分别为 CD，BC 的中点，若ABAM AN，则 等于()A.15B.25C.35D.45解析 因为ABANNBANCN AN(CAAN)2ANCM MA 2AN14ABAM，所以AB85AN45AM，所以 45.D题型一 平面向量基本定理的应用 解析答案(2)如图，在ABC 中，AN13NC，P 是 BN 上的一点，
6、若APmAB 211AC，则实数 m 的值为_.解析 设BPkBN，kR.因为APABBPABkBNABk(ANAB)ABk(14ACAB)(1k)ABk4AC，且APmAB 211AC，所以 1km，k4 211，解得 k 811，m 311.311解析答案 思维升华(1)在平行四边形 ABCD 中，ABe1，ACe2，NC 14AC，BM 12MC，则MN _.(用 e1，e2 表示)解析 如图，MN CN CM CN 2BMCN 23BC14AC23(ACAB)14e223(e2e1)23e1 512e2.23e1 512e2跟踪训练1 解析答案(2)如图，已知ABa，ACb，BD 3D
7、C，用 a，b 表示AD，则AD _.解析 AD ABBD AB34BCAB34(ACAB)14AB34AC14a34b.14a34b解析答案 例2(1)已知a(5，2)，b(4，3)，若a2b3c0，则c等于()A.1，83B.133，83C.133，43D.133，43解析 由已知3ca2b(5,2)(8，6)(13，4).所以 c133，43.D题型二 平面向量的坐标运算 解析答案(2)已知点 A(1,3)，B(4，1)，则与向量AB同方向的单位向量坐标为解析 ABOB OA(4，1)(1,3)(3，4)，与AB同方向的单位向量为 AB|AB|35，45.35，45解析答案 思维升华.(
8、1)已知点 A(1,5)和向量 a(2,3)，若AB3a，则点 B 的坐标为()A.(7,4)B.(7,14)C.(5,4)D.(5,14)解析 设点 B 的坐标为(x，y)，则AB(x1，y5).由AB3a，得x16，y59，解得x5，y14.D跟踪训练2解析答案(2)在ABC 中，点 P 在 BC 上，且BP2PC，点 Q 是 AC 的中点，若PA(4,3)，PQ(1,5)，则BC等于()A.(2,7)B.(6,21)C.(2，7)D.(6，21)解析 BC3PC3(2PQ PA)6PQ 3PA(6,30)(12,9)(6,21).B解析答案 例3(1)已知平面向量a(1,2)，b(2，m
9、)，且ab，则2a3b_.解析 由a(1,2)，b(2，m)，且ab，得1m2(2)，即m4.从而b(2，4)，那么2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8).命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标(4，8)题型三 向量共线的坐标表示 解析答案(2)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_.解析 在梯形ABCD中，ABCD，DC2AB，DC 2AB.设点D的坐标为(x，y)，则DC(4,2)(x，y)(4x,2y)，AB(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，4x2，2y2，
10、解得x2，y4，故点 D 的坐标为(2,4).(2,4)解析答案 命题点2 利用向量共线求参数例4 若三点A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数a的值为_.解析 AB(a1,3)，AC(3,4)根据题意ABAC，4(a1)3(3)，即 4a5，a54.54解析答案 例5 已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为_.命题点3 求交点坐标解析答案 思维升华 设OA(2,4)，OB(a,2)，OC(b,0)，a0，b0，O 为坐标原点，若 A，B，C 三点共线，则1a1b的最小值为_.解析 由题意得AB(a2，2)，AC(b2，4)，又ABAC，所以
11、(a2，2)(b2，4)，即a2b2，24，整理得 2ab2，所以1a1b12(2ab)(1a1b)12(32ab ba)12(322ab ba)32 22(当且仅当 b 2a 时，等号成立).32 22跟踪训练3 解析答案 返回 思想与方法系列 典例(12 分)给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB，它们的夹角为23.如图所示，点 C 在以 O 为圆心的 AB 上运动.若OC xOA yOB，其中 x，yR，求 xy 的最大值.思维点拨 可以建立平面直角坐标系，将向量坐标化，求出点A，B的坐标，用三角函数表示出点C的坐标，最后转化为三角函数求最值.思想与方法系列 11.解析法(坐标法)在
12、向量中的应用 解析答案 思维点拨 温馨提醒 返回 思想方法 感悟提高 1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键.2.根据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标或参数值.方法与技巧 1.要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况.2.若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件不能表示成x1x2y1y2，因为 x2，y2 有可能等于 0，所以应表示为 x1y2x2y10.失误与防范 返回 练出高分 1234
13、567891011121314151.如图，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：AD 与AB；DA 与BC；CA与DC；OD 与OB.其中可作为该平面内其他向量的基底的是()A.B.C.D.解析 中AD，AB不共线；中CA，DC 不共线.B解析答案 2.已知平面向量 a(1,1)，b(1，1)，则向量12a32b 等于()A.(2，1)B.(2,1)C.(1,0)D.(1,2)解析 12a(12，12)，32b(32，32)，故12a32b(1,2).D123456789101112131415解析答案 3.已知a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则c等于()A.12
14、a32bB.12a32bC.32a12bD.32a12b解析 设cab，(1,2)(1,1)(1，1)，1，2，12，32，c12a32b.B123456789101112131415解析答案 4.已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4).若为实数，(ab)c，则等于()A.14B.12C.1 D.2解析 ab(1，2)，c(3,4)，且(ab)c，13 24，12，故选 B.B123456789101112131415解析答案 5.已知|OA|1，|OB|3，OA OB 0，点 C 在AOB 内，且OC 与OA 的夹角为 30，设OC mOA nOB(m，nR)，则mn的值为()A.
15、2 B.52C.3 D.4解析 OA OB 0，OA OB，以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，OA(1,0)，OB(0，3)，OC mOA nOB(m，3n).tan 30 3nm 33，m3n，即mn3，故选 C.C123456789101112131415解析答案 6.已知 A(7,1)，B(1,4)，直线 y12ax 与线段 AB 交于点 C，且AC2CB，则实数 a_.解析 设C(x，y)，则AC(x7，y1)，CB(1x,4y)，AC2CB，x721x，y124y，解得x3，y3.C(3,3).又C 在直线 y12ax 上，312a3，a2.212345678910111213
16、1415解析答案 7.已知点 A(1,2)，B(2,8)，AC 13AB，DA 13BA，则CD 的坐标为_.123456789101112131415解析答案 8.已知向量OA(3，4)，OB(0，3)，OC(5m，3m)，若点 A，B，C 能构成三角形，则实数 m 满足的条件是_.解析 由题意得AB(3,1)，AC(2m,1m)，若 A，B，C 能构成三角形，则AB，AC不共线，则3(1m)1(2m)，解得 m54.m54123456789101112131415解析答案 9.已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b).(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；解 由已知得AB(2，
17、2)，AC(a1，b1)，A，B，C 三点共线，ABAC.2(b1)2(a1)0，即ab2.123456789101112131415解析答案(2)若AC 2AB，求点 C 的坐标.解 AC 2AB，(a1，b1)2(2，2).a14，b14，解得a5，b3.点C的坐标为(5，3).123456789101112131415解析答案 10.已知点 O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM t1OA t2AB.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；解 OM t1OA t2ABt1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2).当点 M 在第二或第三象限时，有4t20，2t14t20，
18、故所求的充要条件为t20且t12t20.123456789101112131415解析答案(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线.证明 当t11时，由(1)知OM(4t2,4t22).ABOB OA(4,4)，AM OM OA(4t2,4t2)t2(4,4)t2AB，AM 与AB共线，又有公共点 A，A，B，M三点共线.123456789101112131415解析答案 11.已知向量 a(2,3)，b(1,2)，若(manb)(a2b)，则mn等于()A.2 B.2C.12D.12解析 由题意得manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)，(manb)(a2b)，(2
19、mn)4(3m2n)0，mn12，故选 C.C123456789101112131415解析答案 12.已知向量a(1,2)，b(0,1)，设uakb，v2ab，若uv，则实数k的值为()123456789101112131415解析答案 A.1 B.12C.12D.1解析 u(1,2)k(0,1)(1,2k)，v(2,4)(0,1)(2,3)，又 uv，132(2k)，得 k12.故选 B.B13.已知向量 a(1,1)，b(1，1)，c(2cos，2sin)(R)，实数 m，n 满足 manbc，则(m3)2n2 的最大值为_.123456789101112131415解析答案 解析 由
20、manbc，可得mn 2cos，mn 2sin，故(mn)2(mn)22，即m2n21，故点M(m，n)在单位圆上，则点P(3,0)到点M的距离的最大值为|OP|1314，故(m3)2n2的最大值为4216.16123456789101112131415解析答案 14.已知ABC 和点 M 满足MA MB MC 0.若存在实数 m，使得ABACmAM 成立，则 m_.解析 MA MB MC 0，M为ABC的重心.如图所示，连接AM并延长交BC于D，则D为BC的中点.AM 23AD.又AD 12(ABAC)，AM 13(ABAC)，即ABAC 3AM，m3.3123456789101112131415解析答案 返回 15.如图所示，A，B，C 是圆 O 上的三点，线段 CO 的延长线与 BA 的延长线交于圆 O 外的一点 D，若OC mOAnOB，则 mn 的取值范围是_.
