1、第四讲数列求和知识梳理双基自测知识点一公式法求和(1)如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式(2)等差数列的前n项和公式：Sn_na1d_n2n_.(3)等比数列的前n项和公式：Sn注意等比数列公比q的取值情况，要分q1，q1.知识点二分组求和法一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减如若一个数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，则可用分组求和法求其前n项和知识点三倒序相加法如果一个数列an的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等且等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等
2、差数列的前n项和公式即是用此法推导的知识点四错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的知识点五裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和知识点六并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两合并求解，则称之为并项求和如an是等差数列，求数列(1)nan的前n项和，可用并项求和法求解形如an(1)nf(n)类型，可考虑采用两项合并求解1常见的裂项公式(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；()；(6).题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中
3、打“”或“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和为Sn.()(2)sin21sin22sin23sin287sin288sin289可用倒序相加求和()(3)当n2时，.()(4)求数列的前n项和可用分组求和()解析(1)因为数列an为等比数列，且公比不等于1.则其前n项和为Sn.(2)因为sin21sin289sin22sin288sin23sin2871，所以sin21sin22sin23sin287sin288sin289可用倒序相加求和(3)因为.(4)因为数列是由一个等比数列与一个等差数列的和数列，所以求数列的前n项和可以用分组求和题组二走进教材2(必修5P6
4、1T4改编)Sn等于(B)ABCD解析由Sn得Sn得，Sn，Sn.3(必修5P47B组T4改编)数列an的前n项和为Sn，若an，则S5等于(B)A1BCD解析an，S5a1a2a51.4(必修5P47T4改编)数列an的通项公式是an，前n项和为9，则n(B)A9B99C10D100解析因为an.所以Sna1a2a3an(1)()()1.所以19，即10，所以n99.故选B题组三走向高考5(2017课标，15,5分)等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则_.解析本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法求和设公差为d，则ann.前n项和Sn12n，2，222.6(2020课标，
5、16,5分)数列an满足an2(1)nan3n1，前16项和为540，则a1_7_.解析令n2k(kN*)，则有a2k2a2k6k1(kN*)，a2a45，a6a817，a10a1229，a14a1641，前16项的所有偶数项和S偶517294192，前16项的所有奇数项和S奇54092448，令n2k1(kN*)，则有a2k1a2k16k4(kN*)a2k1a1(a3a1)(a5a3)(a7a5)(a2k1a2k1)28146k4k(3k1)(kN*)，a2k1k(3k1)a1(kN*)，a32a1，a510a1，a724a1，a944a1，a1170a1，a13102a1，a15140a1
6、，前16项的所有奇数项和S奇a1a3a158a12102444701021408a1392448.a17.考点突破互动探究考点一分组求和法师生共研例1 (1)若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和为(C)A2nn21B2n1n21C2n1n22D2nn2(2)已知数列an的前n项和为Sn159131721(1)n1(4n3)，则S15S22S31的值是(D)A13B76C46D76解析(1)Sna1a2a3an(21211)(22221)(23231)(2n2n1)(2222n)2(123n)n2n2(2n1)n2nn2n1n22.(2)因为Sn159131721(1)n1
7、(4n3)，所以S15(15)(913)(4953)57(4)75729，S22(15)(913)(1721)(8185)41144，S31(15)(913)(1721)(113117)12141512161，所以S15S22S3129446176.名师点拨分组转化法求和的常见类型(1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和变式训练1(1)已知数列an的通项公式是an2nn，则其前20项和为(C)A379B399C419D439(2)(2021信阳模拟)已知数列an中
8、，a1a21，an2则数列an的前20项和为(C)A1 121B1 122C1 123D1 124解析(1)令数列an的前n项和为Sn，则S20a1a2a3a202(12320)420419.(2)由题意知，数列a2n是首项为1，公比为2的等比数列，数列a2n1是首项为1，公差为2的等差数列，故数列an的前20项和为10121 123.考点二裂项相消法多维探究角度1形如bn(an为等差数列)型例2 Sn为数列an的前n项和，已知an0，a2an4Sn3.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和解析(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.可得aa2(an1an)
9、4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由an0，可得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n1.(2)由an2n1可知bn.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnb1b2bn.角度2形如an型例3 (2021西安八校联考)已知函数f(x)x的图象过点(4,2)，令an，nN.记数列an的前n项和为Sn，则S2 022等于(C)A1B1C1D1解析由f(4)2可得42，解得，则f(x)x.an，S2 022a1a2a3a2 022()()()()1.角度3形如bn(an为等比数列)型例4 (2021
10、辽宁凌源二中联考)已知数列an与bn的前n项和分别为Sn，Tn，且an0,6Sna3an，nN*，bn，若对任意的nN*，kTn恒成立，则k的最小值是(C)AB49CD解析当n1时，6a1a3a1，解得a13或a10(舍去)，又6Sna3an，6Sn1a3an1，两式作差可得6an1aa3an13an，整理可得(an1an)(an1an3)0，结合an0可得an1an30，an1an3，故数列an是首项为3，公差为3的等差数列，an3(n1)33n，则bn，Tn，k.故选C名师点拨裂项相消法求和在历年高考中曾多次出现，命题角度凸显灵活多变在解题中，要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列an的通
11、项公式，达到求解的目的(1)直接考查裂项相消法求和解决此类问题应注意以下两点：抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等如：若an是等差数列，则，.(2)与不等式相结合考查裂项相消法求和解决此类问题应分两步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放缩法、单调性等证明不等式变式训练2(1)(角度1)(2021衡水中学调研卷)在数列an中，an，又bn，则数列bn的前n项和Sn_.(2)(角度2)求和S(A)A5B4C10D9(3)(角度3)an是等比数列，a2，a5，bn，则数列bn的前n项和为
12、(A)ABCD解析(1)由已知得an(12n)，所以bn4，所以数列bn的前n项和为Sn44.(2)S5，故选A(3)a5a2q3，q3，q，a11，ann1，bnb1b2b3bn.故选A考点三错位相减法师生共研例5 (2019天津)设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于0.已知a1b13，b2a3，b34a23.(1)求an和bn的通项公式；(2)设数列cn满足cn求a1c1a2c2a2nc2n(nN*)解析(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.依题意，得解得故an33(n1)3n，bn33n13n.所以，an的通项公式为an3n，bn的通项公式为bn3n.(2)a1c
13、1a2c2a2nc2n(a1a3a5a2n1)(a2b1a4b2a6b3a2nbn)(631123218336n3n)3n26(131232n3n)记Tn131232n3n，则3Tn132233n3n1，得，2Tn332333nn3n1n3n1.所以，a1c1a2c2a2nc2n3n26Tn3n23(nN*)名师点拨用错位相减法解决数列求和的模板第一步：(判断结构)若数列anbn是由等差数列an与等比数列bn(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和第二步：(乘公比)设anbn的前n项和为Tn，然后两边同乘以q.第三步：(错位相减)乘以公比q后，向后错开一位，使含有qk(kN*)的项对齐，然
14、后两边同时作差第四步：(求和)将作差后的结果求和化简，从而表示出Tn.用错位相减法求和应注意的问题(1)如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式(3)“SnqSn”化简的关键是化为等比数列求和，一定要明确求和的是n项还是n1项，一般是n1项(4)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论求解变式训练3(1)12x3x2nxn1_.(2)(2020课标，17,12分)设an是公比不为1的等比数列，a
15、1为a2，a3的等差中项求an的公比；若a11，求数列nan的前n项和解析(1)当x0时，12x3x2nxn11；当x1时，12x3x2nxn1123n，当x0且x1时解法一：记Sn12x3x2nxn1，则xSnx2x2(n1)xn1nxn，两式相减得：(1x)Sn1xx2xn1nxnnxn，Sn解法二：12x3x2nxn1(xx2x3xn)，综上可知12x3x2nxn1(2)设an的公比为q，由题设得2a1a2a3，即2a1a1qa1q2.所以q2q20，解得q11(舍去)，q22.故an的公比为2.记Sn为nan的前n项和由(1)及题设可得，an(2)n1.所以Sn12(2)n(2)n1，
16、2Sn22(2)2(n1)(2)n1n(2)n.可得3Sn1(2)(2)2(2)n1n(2)nn(2)n.所以Sn.考点四倒序相加法师生共研例6 设f(x)，若Sfff，则S_.分析利用f(x)f(1x)1求解解析f(x)，f(1x).f(x)f(1x)1.Sfff，Sfff，得2S2 021.S.名师点拨倒序相加法应用的条件与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和相加的方法求解变式训练4设f(x)，则fff(1)f(2)f(2 022)_.解析f(x)，f(x)f1.令Sfff(1)f(2)f(2 022)则Sf(2 022)f(2 021)f(1)ff.2
17、S4 043，S.名师讲坛素养提升数列的综合应用与实际应用例7 一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示若按照这种规律依次增加一定数量的宝石，则第5件工艺品所用的宝石数为_66_颗；第n件工艺品所用的宝石数为_2n23n1_.(结果用n表示)分析设第n个图有宝石an颗，逐项研究，寻找规律解析解法一：设第n个图有宝石an颗，则a16，a26541，a3a2542625(12)4，a4a3543635(123)4，a5a4544645(1234)466，an6(n1)5(123(n1)42n23n1.解法二：设第n个图有an颗宝石，则a16，anan154(n1)，即anan14n1，an1an24(n1)1a2a1421，a16累加得an4(12n)n12n(n1)n12n23n1.名师点拨逐项研究是解决问题的基本方法变式训练5小时候，我们就用手指练习过数数一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2 019时对应的指头是_中指_.(各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指)解析观察图形可知大拇指所对应的数是以1为首项，公差为8的等差数列，其通项an18(n1)8n7，又2 019(82537)2，故2 019对应的指头是从大拇指开始再数两个数即中指