1、第二讲等差数列及其前n项和知识梳理双基自测知识点一等差数列的有关概念(1)等差数列的定义如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前一项的差等于_同一个常数_，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_公差_，通常用字母_d_表示，定义的表达式为_an1and(nN*)_.(2)等差中项如果a，A，b成等差数列， 那么_A_叫做a与b的等差中项且_A_.(3)通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an_a1(n1)d_am(nm)d(n，mN*)(4)前n项和公式：Sn_na1d_.知识点二等差数列的性质已知数列an是等差数列，Sn是其前n项和(1)若m1m2m
2、kn1n2nk，则am1am2amkan1an2ank.特别地，若mnpq，则aman_apaq_.(2)am，amk，am2k，am3k，仍是等差数列，公差为_kd_.(3)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(4)为等差数列(5)n为奇数时，Snna中，S奇_a中，S偶_a中，S奇S偶_a中_.n为偶数时，S偶S奇.(6)数列an，bn是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列pan，anp，panqbn都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1qd2.1等差数列前n项和公式的推证方法_倒序相加法_.2d.3等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d0时，
3、等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d.若公差d0，则为递增数列，若公差d0，则为递减数列(2)前n项和：当公差d0时，Snn2n是关于n的二次函数且常数项为0.显然当d0时，Sn有最小值4在遇到三个数成等差数列时，可设其为ad，a，ad；四个数成等差数列时，可设为a3d，ad，ad，a3d或ad，a，ad，a2d.题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数
4、()(4)若an是等差数列，公差为d，则数列a3n也是等差数列()(5)若an，bn都是等差数列，则数列panqbn也是等差数列()解析(1)同一个常数(2)因为在等差数列an中，当公差d0时，该数列是递增数列，当公差d0，若S5S9，则当Sn最大时，n(B)A6B7C10D9(2)(2021黑龙江牡丹江一中月考)已知数列an为等差数列，若0的最大值n为(B)A11B19C20D21分析(1)由S5S9可求得a1与d的关系，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为负，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解；(2)利用Sn0a1an0求解解析(1)解法一：由S5S9得a6a7
5、a8a90，即a7a80，2a113d0，又a10，d0，a8a2a70a8a9，Sn最大时，n7，故选B解法二：Sn是关于n的二次函数，Snn2n，且d0，0，d0.令得解得n.nN*，当n7时，Sn最大(2)Snn2n有最大值，d0，又0，a110，a10a110，即a1a200，S2010(a1a20)0，使Sn0的n的最大值为19.故选B引申本例(1)中若将“S5S9”改为“S5S10”，则当Sn取最大值时n_7或8_；本例(1)中，使Sn0的n的最小值为_15_；本例(2)中，使Sn取最大值时n_10_.解析若S5S10，则Snn2n的对称轴为n7.5，但nN*，故使Sn最大的n的值为7或8.由a7a8a1a140知S140，又a80，2a8a1a150，即S150，使Sn0，则其前n项和取最小值时的n的值为(C)A6B7C8D9(2)(2019北京)设等差数列an的前n项和为Sn，若a23，S510，则a5_0_，Sn的最小值为_10_.解析(1)|a6|a11|且公差d0，a6a11，a6a11a8a90，且a80，a1a2a80a9a10，使Sn取最小值的n的值为8.故选C(2)设等差数列an的公差为d，即可得a5a14d0.Snna1d(n29n)，当n4或n5时，Sn取得最小值，最小值为10.