1、2015-2016学年福建省晨曦，冷曦，崎滨，正曦四校高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1两个等差数列an和bn，其前n项和分别为Sn，Tn，且，则等于（）ABCD2在ABC中，已知a=x，b=2，B=45，如果三角形有两解，则x的取值范围是（）ABCD0x23已知1，a，b，c，4成等比数列，则实数b为（）A4B2C2D24实数x，y满足x+y4=0，则 x2+y2的最小值是（）A8B4C2D25下列命题错误的是（）A命题“若m0，则方程x2+xm=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+xm
2、=0无实数根，则m0”B“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件C对于命题p：xR，使得x2+x+10，则p：xR均有x2+x+10D若pq为假命题，则p，q均为假命题6如果实数x、y满足条件，那么2xy的最大值为（）A2B1C2D37设Sn是等差数列an的前n项和，公差d0，若S11=132，a3+ak=24，则正整数k的值为（）A9B10C11D128如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得BDC=45，则塔高AB的高度为（）A10B10C10D109定义为n个正数p1，p2，p
3、n的“均倒数”若已知数列an的前n项的“均倒数”为，又，则=（）ABCD10不等式2x2axy+y20对于任意x1，2及y1，3恒成立，则实数a的取值范围是（）AaBaCaDa二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11已知命题p：x1，命题q：1，则命题p是命题q的条件12在ABC中，a=1，B=45，SABC=2，则b=13已知关于x的不等式axb0的解集是（3，+），则关于x的不等式的解集是14已知数列an满足，a1=1，Sn是数列an的前n项和，则S2015=15下列命题：设a，b是非零实数，若ab，则ab2a2b；若ab0，则；函数y=的最小值是2；若x、y是正数，且+=1
4、，则xy有最小值16；已知两个正实数x，y满足+=1，则x+y的最小值是其中正确命题的序号是三、解答题16给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+10恒成立；Q：a2+8a200如果PQ为真命题，PQ为假命题，求实数a的取值范围17锐角ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行（1）求角A；（2）若，求ABC周长的取值范围18等比数列an的前n 项和为Sn，已知S1，S2，S3成等差数列，且a1a3=3（1）求an的公比q及通项公式an；（2）bn=，求数列bn的前n项和Tn19已知函数f（x）=（sin2xcos2x+）sin2（x），xR（1）求函数f（x）的弹道递
5、增区间；（2）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1，b=2，求ABC的面积的最大值20徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/小时已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元（a0）（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？21设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，nN*（1）求a2的值；（2）求数列an的通项公式；（3）证明：对
6、一切正整数n，有2015-2016学年福建省晨曦，冷曦，崎滨，正曦四校高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1两个等差数列an和bn，其前n项和分别为Sn，Tn，且，则等于（）ABCD【考点】等差数列的性质【专题】计算题【分析】由已知，根据等差数列的性质，把转化为求解【解答】解：因为： =故选：D【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，以及计算能力2在ABC中，已知a=x，b=2，B=45，如果三角形有两解，则x的取值范围是（）ABCD0x
7、2【考点】正弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】由题意判断出三角形有两解时，A的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出x的范围即可【解答】解：由AC=b=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，当A=90时，圆与AB相切；当A=45时交于B点，也就是只有一解，45A135，且A90，即sinA1，由正弦定理以及asinB=bsinA可得：a=x=2sinA，2sinA（2，2）x的取值范围是（2，2）故选：A【点评】此题考查了正弦定理，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题3已知1，a，b，c
8、，4成等比数列，则实数b为（）A4B2C2D2【考点】等比数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的性质求得b=2，验证b=2不合题意，从而求得b=2【解答】解：1，a，b，c，4成等比数列，b2=（1）（4）=4，则b=2，当b=2时，a2=（1）2=2，不合题意，舍去b=2故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题4实数x，y满足x+y4=0，则 x2+y2的最小值是（）A8B4C2D2【考点】点到直线的距离公式【专题】直线与圆【分析】由于实数x，y满足x+y4=0，则 x2+y2的最小值是原点到此直线的距离d的平方，利用点到直线
9、的距离公式即可得出【解答】解：由于实数x，y满足x+y4=0，则 x2+y2的最小值是原点到此直线的距离d的平方x2+y2=d2=8故选：A【点评】本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题5下列命题错误的是（）A命题“若m0，则方程x2+xm=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+xm=0无实数根，则m0”B“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件C对于命题p：xR，使得x2+x+10，则p：xR均有x2+x+10D若pq为假命题，则p，q均为假命题【考点】命题的真假判断与应用【专题】综合题；简易逻辑【分析】A，写出命题“若p，则q”的逆否命题“若q，则p”，判定命题是否正确；B，x
10、=1时，x23x+2=0是否成立；x23x+2=0时，x=1是否成立，判定命题是否正确；C，写出命题p的否定p，判定命题是否正确；D，当pq为假命题时，p与q的真假关系，判定命题是否正确【解答】解：对于A，命题“若m0，则方程x2+xm=0有实数根”的逆否命题是：“若方程x2+xm=0无实数根，则m0”，命题正确；对于B，x=1时，x23x+2=0；x23x+2=0时，x=1或2，x=1是“x23x+2=0”的充分不必要条件，命题正确；对于C，命题p：xR，使得x2+x+10，的否定是p：xR，x2+x+10，命题正确；对于D，若pq为假命题，则p为假命题，q为真命题，或p为真命题，q为假命题
11、，或p，q均为假命题，命题错误故选：D【点评】本题通过命题真假的判定，考查了简易逻辑的应用问题，解题时应对每一个命题进行认真分析，从而得出正确的答案，是基础题6如果实数x、y满足条件，那么2xy的最大值为（）A2B1C2D3【考点】简单线性规划的应用【专题】计算题；数形结合【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2xy表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线2xy=t过点A（0，1）时，t最大是1，故选B【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题7设Sn是等差数列an的前n项
12、和，公差d0，若S11=132，a3+ak=24，则正整数k的值为（）A9B10C11D12【考点】等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】由已知条件推导出a1+5d=12，2a1+2d+（k1）d=24，从而得到2a1+（2+k1）d=2a1+10d，由此能求出k【解答】解：等差数列an中，公差d0，S11=132，（2a1+10d）=132，a1+5d=12，a3+ak=24，2a1+2d+（k1）d=24，2a1+（2+k1）d=2a1+10d，2+k1=10，解得k=9故选：A【点评】本题考查正整数k的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用8如图，为
13、测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得BDC=45，则塔高AB的高度为（）A10B10C10D10【考点】解三角形的实际应用【专题】计算题；解三角形【分析】先在ABC中求出BC，再BCD中利用正弦定理，即可求得结论【解答】解：设塔高AB为x米，根据题意可知在ABC中，ABC=90，ACB=60，AB=x，从而有BC=x，AC=x在BCD中，CD=10，BCD=60+30+15=105，BDC=45，CBD=30由正弦定理可得， =BC=10x=10x=故塔高AB=【点评】本题考查了正弦定理在实际问
14、题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，属于中档题9定义为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”若已知数列an的前n项的“均倒数”为，又，则=（）ABCD【考点】类比推理【专题】新定义；点列、递归数列与数学归纳法【分析】由已知得a1+a2+an=n（2n+1）=Sn，求出Sn后，利用当n2时，an=SnSn1，即可求得通项an，最后利用裂项法，即可求和【解答】解：由已知得，a1+a2+an=n（2n+1）=Sn当n2时，an=SnSn1=4n1，验证知当n=1时也成立，an=4n1，=+（）+（）=1=故选C【点评】本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键
15、10不等式2x2axy+y20对于任意x1，2及y1，3恒成立，则实数a的取值范围是（）AaBaCaDa【考点】基本不等式在最值问题中的应用【专题】不等式的解法及应用【分析】将不等式等价变化为，则求出函数的最大值即可【解答】解：不等式2x2axy+y20等价为，设t=，x1，2及y1，3，即，则，当且仅当t=，即t=时取等号但此时基本不等式不成立又y=t在上单调递减，在，3上单调递增，当t=时，当t=3时，t的最大值为a故选：D【点评】本题主要考查不等式的应用，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键，要求熟练掌握函数f（x）=x+图象的单调性以及应用二、填空题：本大题共5小题，每小题
16、5分，共25分.11已知命题p：x1，命题q：1，则命题p是命题q的必要不充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】命题q：1，即0，等价于x（x1）0，x0，解得0x1即可判断出结论【解答】解：命题p：x1，命题q：1，0，等价于x（x1）0，x0，解得0x1则命题p是命题q的必要不充分条件故答案为：必要不充分【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12在ABC中，a=1，B=45，SABC=2，则b=5【考点】正弦定理；余弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】由已
17、知利用三角形面积公式可求c的值，根据余弦定理即可求b的值【解答】解：在ABC中，a=1，B=45，SABC=2=acsinB=，可得：ac=4，c=4，b=5故答案为：5【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于基础题13已知关于x的不等式axb0的解集是（3，+），则关于x的不等式的解集是3，2）【考点】一元二次不等式的解法【专题】计算题；方程思想；转化法；不等式的解法及应用【分析】由题意可得a0，且=3，关于x的不等式，转化为0，解得即可【解答】解：关于x的不等式axb0，即 axb的解集是（3，+），a0，且=3关于x的不等式，即0，即0，即 （x+3）（
18、x2）0，且x20，求得3x2，故答案为：3，2）【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题14已知数列an满足，a1=1，Sn是数列an的前n项和，则S2015=1【考点】数列递推式【专题】计算题；分类讨论；转化思想；等差数列与等比数列【分析】由数列an满足，a1=1，可得a4k3=1，a4k2=1，a4k1=1，a4k=1，kN*即可得出【解答】解：数列an满足，a1=1，a2=1，a3=1，a4=1，a5=1，a4k3=1，a4k2=1，a4k1=1，a4k=1，kN*即数列各项的值呈周期性出现S2015=503（111+1）+（111）=1故答案为：1【
19、点评】本题考查了递推关系的应用，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题15下列命题：设a，b是非零实数，若ab，则ab2a2b；若ab0，则；函数y=的最小值是2；若x、y是正数，且+=1，则xy有最小值16；已知两个正实数x，y满足+=1，则x+y的最小值是其中正确命题的序号是【考点】不等式的基本性质；基本不等式【专题】应用题；转化思想；定义法；不等式【分析】的结论不成立，举出反例即可；由同号不等式取倒数法则，知成立；分别利用基本不等式即可判断【解答】解：设a，b是非零实数，若ab，则ab2a2b，此结论不成立，反例：令a=10，b=1，则ab2=10a2b=100，故不成立；若
20、ab0，由同号不等式取倒数法则，知，故成立；函数y=+2的前提条件是=1，2，函数y的最小值不是2，故不正确；x、y是正数，且+=1，1=+2，xy16，故正确，两个正实数x，y满足+=1， =1=，即y=0，x2，y+x=x+=x2+2=x2+32+3，当且仅当x=2+，y=+1时取等号，故不正确，故答案为：【点评】本题考查命题的真假判断，解题时要注意同号不等式取倒数法则、均值不等式成立的条件等知识点的灵活运用三、解答题16给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+10恒成立；Q：a2+8a200如果PQ为真命题，PQ为假命题，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】计算题【分
21、析】由ax2+ax+10恒成立可得，可求P的范围；由a2+8a200解不等式可求Q的范围，然后由PQ为真命题，PQ为假命题，可知P，Q为一真一假，可求【解答】（本小题满分12分）解：命题P：ax2+ax+10恒成立当a=0时，不等式恒成立，满足题意当a0时，解得0a40a4命题Q：a2+8a200解得10a2PQ为真命题，PQ为假命题P，Q有且只有一个为真，如图可得10a0或2a4【点评】本题主要考查了复合命题的真假关系的判断，解题的关键是准确求出每个命题为真时的范围17锐角ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行（1）求角A；（2）若，求ABC周长的取值范围【考点】正弦定理
22、；平面向量共线（平行）的坐标表示；余弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形；平面向量及应用【分析】（1）利用平面向量共线（平行）的坐标表示可得，又sinB0，结合正弦定理可得：，再结合范围0A，即可求得A的值（2）由正弦定理将三角形周长表示为：，结合，可求，根据范围，可求，从而得解周长的求值范围【解答】解：（1）因为：，所以：，由正弦定理，得：，又因为：sinB0，从而可得：，由于：0A，所以：（2）因为：由正弦定理知，可得：三角形周长，又因为：，所以：，因为：ABC为锐角三角形，所以：，所以：【点评】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，正弦定理，正弦函数，正切函数的图象和
23、性质，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题18等比数列an的前n 项和为Sn，已知S1，S2，S3成等差数列，且a1a3=3（1）求an的公比q及通项公式an；（2）bn=，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）依题意有，从而q=，a1=4由此能求出（2）bn=，由此利用错位相减法能求出数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）依题意有，a10，2q2+q=0，q0，q=，解得a1=4（2）bn=，+n（2）n1，2Tn= 1（2）+2（2）2+3（2）3+n（2）n，两式相减，得：3Tn= 1+（2）+（2）2+（2）n1n（
24、2）n= ，=【点评】本题考查an的公比q及通项公式an的求法，考查数列bn的前n项和Tn的求法，是中档题，解题时要注意错位相减法的合理运用19已知函数f（x）=（sin2xcos2x+）sin2（x），xR（1）求函数f（x）的弹道递增区间；（2）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1，b=2，求ABC的面积的最大值【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用【专题】解三角形【分析】（1）f（x）解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性确定出f（x）的递增区间即可；（2）f（B）=1，求出B的度数，利用
25、余弦定理列出关系式，把b，cosB的值代入，并利用基本不等式求出ac的最大值，即可确定出三角形面积的最大值【解答】解：（1）f（x）=（cos2x） 1cos（2x）= sin2xcos2x=sin（2x），令+2k2x+2k，kZ，得到kxk+，kZ，则函数f（x）的单调递增区间k，k+，kZ；（2）由f（B）=1，得到sin（2B）=1，2B=，即B=，由余弦定理得：b2=a2+c22accosB，即4=a2+c2ac2acac=ac，即ac4，SABC=acsinB=ac，则ABC的面积的最大值为【点评】此题考查了余弦定理，正弦函数的单调性，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题
26、的关键20徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/小时已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元（a0）（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用【专题】综合题【分析】（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部
27、分组成，可得全程运输成本，及函数的定义域；（2）利用基本不等式可得，当且仅当，即v=10时，等号成立，进而分类讨论可得结论【解答】解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为y=a+0.01v2= 故所求函数及其定义域为，v（0，100（2）依题意知a，v都为正数，故有，当且仅当，即v=10时，等号成立若100，即0a100时，则当v=时，全程运输成本y最小若100，即a100时，则当v（0，100时，有y=函数在v（0，100上单调递减，也即当v=100时，全程运输成本y最小综上知，为使全程运输成本y最小，当0a100时行驶速度应为v=千米/时；当a100时行驶速度应
28、为v=100千米/时【点评】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查导数知识，解题的关键是构建函数模型，利用基本不等式求最值21设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，nN*（1）求a2的值；（2）求数列an的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有【考点】数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）利用已知a1=1，nN*令n=1即可求出；（2）利用an=SnSn1（n2）即可得到nan+1=（n+1）an+n（n+1），可化为，再利用等差数列的通项公式即可得出；（3）利用（2），通过放缩法（n2）即可证明【解答】解：（1）当n=1时，解得a2=4（2）当n2时，得整理得nan+1=（n+1）an+n（n+1），即，当n=1时，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列所以，即所以数列an的通项公式为，nN*（3）因为（n2）所以=当n=1，2时，也成立【点评】熟练掌握等差数列的定义及通项公式、通项与前n项和的关系an=SnSn1（n2）、裂项求和及其放缩法等是解题的关键2016年3月7日
