1、余弦定理【知识梳理】余弦定理余弦定理公式表达a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理语言叙述三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍推论cos A，cos B，cos C【常考题型】题型一、已知三角形的三边解三角形【例1】在ABC中，若abc12，求A，B，C.解由于abc12，可设ax，bx，c2x.由余弦定理的推论，得cos A，故A30.同理可求得cos B，cos C0，所以B60，C90.【类题通法】已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利
2、用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角【对点训练】1边长为5,7,8的三角形中，最大角与最小角的和是_解析：设中间角为，由于875，故的对边的长为7，由余弦定理，得cos .所以60，故另外两角和为18060120.答案：120题型二、已知三角形的两边及其夹角解三角形【例2】在ABC中，已知a8，B60，c4(1)，解此三角形解由余弦定理得：b2a2c22accos B824(1)2284(1)cos 606416(42)64(1)96，b4.法一：由cos A，0A180，A45.故C180
3、AB180456075.法二：由正弦定理，sin A，ba，ca，a最小，即A为锐角因此A45.故C180AB180456075.【类题通法】已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好【对点训练】2在ABC，已知a2，b2，C15，解此三角形解：c2a2b22abcos C(2)2(2)2222cos(4530)84() 2c.法一：由余弦定
4、理的推论得cos A.0A180，A45，从而B120.法二：由正弦定理得sin A.ab，AB，又0A180，A必为锐角，A45，从而得B120.题型三、已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形【例3】在ABC中，已知b3，c3，B30，求角A、角C和边a.解法一：由余弦定理b2a2c22accos B，得32a2(3)22a3cos 30，a29a180，得a3或6.当a3时，A30，C120.当a6时，由正弦定理得sin A1.A90，C60.法二：由bc，B30，bcsin 303知本题有两解由正弦定理得sin C，C60或120，当C60时，A90，ABC为直角三角形由勾股定理得a6
5、，当C120时，A30，ABC为等腰三角形，a3.【类题通法】已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定理求出第三边【对点训练】3已知：在ABC中，cos A，a4，b3，则c_.解析：A为b，c的夹角，由余弦定理得a2b2c22bccos A，169c26c，整理得5c218c350.解得c5或c(舍)答案：5题型四、判断三角形的形状【例4】在ABC中，若acos Abcos Bccos C，试判断ABC的
6、形状解由余弦定理可得abc等式两边同乘以2abc得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(a2b2c2)，整理化简得a4b42a2b2c4，(a2b2)2c4.因此有a2b2c2或b2a2c2.即a2b2c2或b2a2c2故ABC为直角三角形【类题通法】判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状【对点训练】4在ABC中，若cos A，试判断其形状解：由cos A得c
7、os A，即，b2c2a22b2，即a2b2c2，因此ABC是以C为直角的直角三角形【练习反馈】1在ABC中，已知A30，且3ab12，则c的值为()A4B8C4或8 D无解解析：选C由3ab12，得a4，b4，利用余弦定理可得a2b2c22bccos A，即1648c212c，解得c4或c8.2在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若0，则ABC()A一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形C一定是钝角三角形 D是锐角或直角三角形解析：选C由0得cos C0，所以cos C0，从而C为钝角，因此ABC一定是钝角三角形3在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a2，B，c2，则b_.解析：由余弦定理得b2a2c22accos B4122224，所以b2.答案：24在ABC中，已知a7，b3，c5，则最大的角是_解析：acb，A为最大角cos A，又0A180，A120.答案：1205在ABC中，已知a5，b3，角C的余弦值是方程5x27x60的根，求第三边c的长解：5x27x60可化为(5x3)(x2)0.x1，x22(舍去)cos C.根据余弦定理，c2a2b22abcos C523225316.c4，即第三边长为4.