1、汨罗市二中2021届高三年级入学考试试卷(学生版）数学命题：高三数学备课组审题：高三数学备课组一、 单选题本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。1. 设i为虚数单位,“复数m(m-1)+i是纯虚数”是“m=1”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.若向量与满足，且，则向量在方向上的投影为（ ）A B C D 3.已知集合AxR|x2x20，BxZ|x2t1，tA，则AB等于()A.1，0，1 B.1，0 C.0，1 D.04.在锐角中，角的对边分别为，若，则的取值范围（ ）A. B. C. D.
2、 5. 若，则（ ）A. B. C. D. 6若实数，满足且的最小值为3，则实数的值为（ ）ABCD7.已知函数f(x)若存在实数k，使得函数f(x)的值域为1，1，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.8对于数列,定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则（ ）A2022 B1011 C2020 D1010二、多选题本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全对得5分，选对但不全得2.5分，有选错的得0分。9.设是抛物线上的两点，是坐标原点，若，则以下结论恒成立的结论是（ ） A. B.直线过定点（1，0） C. 到直线的
3、距离不大于1. D.(-1,2)在抛物线上10气象意义上从春季入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： 甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；乙地：5个数据的中位数为27,总体均值为24；丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.则肯定进入夏季的地区有（ ）ABCD11.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（）A.若n=1，则H(X)=0B.若n=2，则H(X)随着的增大而增大C.若，则H(X)随着n的增大而增大D.若n=2m，随机变量
4、Y所有可能的取值为，且，则H(X)H(Y)12.若存在m,使得f(x) m对任意x D恒成立，则函数f(x)在D 上有下界，其中m为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)M对任意x D恒成立，则函数f(x)在D上有上界，其中M为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列四个结论中所有正确结论的编号为A.1不是函数的一个下界;B.函数f(x)= xlnx有下界，无上界;C.函数有上界,无下界;D.函数有界.三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，则 .14.已知函数, 则的值为 15.已知双曲线，过
5、x轴上点P的直线与双曲线的右支交于M，N两点（M在第一象限），直线MO交双曲线左支于点Q（O为坐标原点），连接QN若MPO=120，MNQ=150，则该双曲线的渐近线方程为_ 16某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为，则该几何体的体积为_四、 简答题（综合题）本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，设S为ABC的面积，满足.（）求B；（）若，设，求函数的解析式和最大值.18已知等比数列的前项和为，满足，.（）求的通项公式；（）记，数列的前项
6、和为，求使成立的正整数的最小值.19如图，在四棱锥中，底面为边长为2的菱形，面面，点为棱的中点（1）在棱上是否存在一点，使得面，并说明理由；（2）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角20为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量月用水量范围（单位：立方米）从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图： （1）现要在这10户家庭中任意选取3家，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与数学期望；（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，
7、从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为一阶的可能性最大，求的值21已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足若点满足()求点的轨迹的方程；()设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断以线段为直径的圆是否经过点？请说明理由22已知函数，（）若直线与曲线相切于点，证明：；（）若不等式有且仅有两个整数解，求的取值范围.汨罗市二中2021届高三年级入学考试试卷(解析版）数学命题：高三数学备课组审题：高三数学备课组二、 单选题本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。2. 设i为虚数单位,“复
8、数m(m-1)+i是纯虚数”是“m=1”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B解：复数m(m-1)+i是纯虚数,则m=0或m=1,所以“复数m(m-1)+i是纯虚数”不是“m=1”的充分条件；当m=1时,复数为i,是纯虚数,“复数m(m-1)+i是纯虚数”是“m=1”的必要条件,所以“复数m(m-1)+i是纯虚数”是“m=1”的必要不充分条件故选B2.若向量与满足，且，则向量在方向上的投影为（ ）A B C D 【答案】【解析】利用向量垂直的充要条件有： ,向量在方向上的投影为.3.已知集合AxR|x2x20，BxZ|x2t1，tA，则AB等
9、于()A.1，0，1 B.1，0 C.0，1 D.0【答案】C【解析】AxR|x2x20x|1x2，则x2t1(1，5)，所以B0，1，2，3，4，所以AB0，1，故选C.4.在锐角中，角的对边分别为，若，则的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得：,故答案选B5. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由二项展开式的通项公式，可知都小于0，则，在原二项展开式中令，可得.故选A6若实数，满足且的最小值为3，则实数的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】画出可行域，当目标函数过点时取得最小值，由得，则，解得故选C7.已知函数f(x)若存在实数k，使得函数
10、f(x)的值域为1，1，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.【答案】B【解析】由于ylog2(2x)在0，k)上是单调递减函数，当x0时，y1， 当x时，y1，所以0k.令g(x)x33x23，则g(x)3x26x0，解得x0或x2，当x2时，函数取得极小值1，当x33x231时，解得x11，x21，x310(舍)，所以2a1，故选B.8对于数列,定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则（ ）A2022 B1011 C2020 D1010【答案】B【解析】由，得, -得，即，所以.故选B.二、多选题本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，
11、有多项符合题目要求，全对得5分，选对但不全得2.5分，有选错的得0分。9.设是抛物线上的两点，是坐标原点，若，则以下结论恒成立的结论是（ ） B. B.直线过定点（1，0） C. 到直线的距离不大于1. D.(-1,2)在抛物线上【解析】设A(),B(),=0，A正确；直线AB的斜= 方程为y-=()(x-),过定点（0，1），B错误；原点到直线AB：()x-y+1=0的距离d=1，C正确.故选：ABC10气象意义上从春季入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： 甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；乙地：5
12、个数据的中位数为27,总体均值为24；丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.则肯定进入夏季的地区有（ ）ABCD【答案】CD【解析】 由统计知识，甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，可知符合题意；而乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24，有可能某一天的气温低于22，所以不符合题意；丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.若有某一天的气温低于22，则总体方差就大于10.8，所以满足题意，故选CD.11.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（）A.若n=1，则H(X)=0B.若n
13、=2，则H(X)随着的增大而增大C.若，则H(X)随着n的增大而增大D.若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)H(Y)【答案】 AC【解析】对于A选项，求得，由此判断出A选项的正确性.对于B选项，利用特殊值进行排除.对于C选项，计算出，由此判断出C选项的正确性.对于D选项，计算出，由此判断出D选项的正确性.【详解】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.对于B选项，若，则，所以，当时，当时，两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若，则，则随着的增大而增大，所以C选项正确.对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）.由于，所以，所以，所以，所以，所以D选项错误.故选：A
14、C【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，属于难题.12.若存在m,使得f(x) m对任意x D恒成立，则函数f(x)在D 上有下界，其中m为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)M对任意x D恒成立，则函数f(x)在D上有上界，其中M为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列四个结论中所有正确结论的编号为A.1不是函数的一个下界;B.函数f(x)= xlnx有下界，无上界;C.函数有上界,无下界;D.函数有界.【答案】ABD三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知函数图像的相邻两条对称
15、轴之间的距离为，则 .【答案】1【解析】由，得.14.已知函数, 则的值为 【答案】【解析】15.已知双曲线，过x轴上点P的直线与双曲线的右支交于M，N两点（M在第一象限），直线MO交双曲线左支于点Q（O为坐标原点），连接QN若MPO=120，MNQ=150，则该双曲线的渐近线方程为_ 【答案】【解析】由题意可知：M，Q关于原点对称，kMN kQN=，kMN=，kQN=，渐近线方程为16某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为，则该几何体的体积为_【答案】9【解析】根据几何体的三视图，得出该几何体如图所示，由该几何
16、体的外接球的体积为，即，则球心到底面等边的中心的距离，可得三棱锥的高，故三棱锥的体积即答案为9五、 简答题（综合题）本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，设S为ABC的面积，满足.（）求B；（）若，设，求函数的解析式和最大值.【答案】（）；（）（），【解析】试题分析：（1）由已知及三角形面积公式和余弦定理得，化简后可得；（2）由正弦定理得，所以，最大值为.试题解析：（1）由已知及三角形面积公式和余弦定理得，又所以（2）由（1）知，ABC的内角和，又得由正弦定理，知，所以当，即时，取得最大值考点：解三角形18已知等比数列的
17、前项和为，满足，.（）求的通项公式；（）记，数列的前项和为，求使成立的正整数的最小值.【解析】（）设的公比为，由得，,所以， 所以. 2分又因为， 所以， 所以. 所以. 5分 （）由（）知，所以，6分 ，则 所以，.10分由，得，即则，所以的最小值是6.12分19如图，在四棱锥中，底面为边长为2的菱形，面面，点为棱的中点（1）在棱上是否存在一点，使得面，并说明理由；（2）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角【解析】（1）在棱上存在点，使得面，点为棱的中点理由如下：取的中点，连结、，由题意，且，且，故且所以，四边形为平行四边形3分所以，又平面，平面，所以，平面5分（2）由题意知为正三角形
18、，所以，亦即，又，所以，且面面，面面，所以面，故以为坐标原点建立如图空间坐标系，7分设，则由题意知，设平面的法向量为，则由得，令，则，所以取，显然可取平面的法向量，由题意：，所以10分由于面，所以在平面内的射影为，所以为直线与平面所成的角，易知在中，从而，所以直线与平面所成的角为12分20为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量月用水量范围（单位：立方米）从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图： （1）现要在这10户家庭中任意选取3家，求
19、取到第二阶梯水量的户数的分布列与数学期望；（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为一阶的可能性最大，求的值【解析】（1）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有3户，二阶的有5户，三阶的有2户第二阶段水量的户数的可能取值为0,1,2,3，4分所以的分布列为0123的数学期望6分（2）设为从全市抽取的10户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得， 9分由,解得， 又，所以当时概率最大.即从全市依次随机抽取10户，抽到3户月用水量为一阶的可能性最大. 12分21已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足若点满足()求点的轨迹的方
20、程；()设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断以线段为直径的圆是否经过点？请说明理由【解析】() 椭圆右焦点的坐标为， (1分)，由，得 (3分)设点的坐标为，由，有，代入，得即点的轨迹的方程为 (5分)（）解法一：设直线的方程为，、，则， (6分)由，得， 同理得 (8分)，则 (9分)由，得， (10分)则 因此，以线段为直径的圆经过点 (12分) 解法二：当时， 、，则， 由 得点的坐标为，则由 得点的坐标为，则 (7分)当不垂直轴时，设直线的方程为，、，同解法一，得 (8分)由，得， (9分)则 (11分)因此，以线段为直径的圆经过点 (12分)22已知函数，（）若直线与曲线相切于点，证明：；（）若不等式有且仅有两个整数解，求的取值范围.【解析】（），由导数的几何意义可知， 1分又直线的图像过定点（1，0），因此，即 2分联立消去有.3分设，则，所以在R上单调递增.而，由函数零点存在性定理知 . 5分（）由得，令，则6分由（）知在R上单调递增，且时，；在，故在上单调递减，在上单调递增.易证，8分当时，；当时，.（1）若，则，此时有无穷多个整数解，不合题意；9分（2）若，即，因为在上单调递减，在上单调递增，所以，所以无整数解，不合题意；10分（3）若，即，此时，故是的两个整数解，又只有两个整数解，因此，解得，所以12分