1、第四讲三角函数的图象与性质知识梳理双基自测知识点一周期函数的定义及周期的概念(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做 周期函数 .非零常数T叫做这个函数的 周期 .如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小 正周期 .(2)正弦函数、余弦函数都是周期函数， 2k(kZ，k0)都是它们的周期，最小正周期是 2.知识点二正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数性质 ysin xycos xytan x图象定义域x|xRx|xRx|xR，且xk，kZ值域 y|1y1 y
2、|1y1 R单调性在 ，kZ上递增；在 ，kZ上递减在 (2k1)，2k，kZ上递增；在 2k，(2k1)，kZ上递减在k，kZ上递增最值x2k(kZ)时，ymax1；x 2k(kZ)时，ymin1x 2k(kZ)时，ymax1；x 2k(kZ)时，ymin1无最值奇偶性 奇 偶 奇 对称性对称中心 (k，0)，kZ ，kZ，kZ对称轴 xk，kZ xk，kZ无对称轴最小正周期 2 2 1函数ysin x，x0,2的五点作图法的五个关键点是 (0,0) 、 、 (，0) 、 、 (2，0) .函数ycos x，x0,2的五点作图法的五个关健点是 (0,1) 、 、 (，1) 、 、 (2，1)
3、 .2函数ysin x与ycos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，如ycos x的对称轴为xk(kZ)，而不是x2k(kZ)3对于ytan x不能认为在其定义域上为增函数，而是在每个区间(k，k)(kZ)内为增函数题组一走出误区1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)ysin x在第一象限是增函数()(2)正切函数ytan x在定义域内是增函数()(3)ysin |x|是周期为的函数()(4)ycos x，x(0,4)不是周期函数()(5)由sinsin 知，是正弦函数ysin x(xR)的一个周期()(6)已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1()
4、题组二走进教材2(必修4P45T3改编)函数ytan 2x的定义域是(D)A. BC D解析由2xk，kZ，得x，kZ，所以ytan 2x的定义域为.3(必修4P40T4改编)下列关于函数y4sin x，x，的单调性的叙述，正确的是(B)A在，0上是增函数，在0，上是减函数B在上是增函数，在及上是减函数C在0，上是增函数，在，0上是减函数D在及上是增函数，在上是减函数解析函数y4sin x在和上单调递减，在上单调递增故选B.4(必修4P38T3改编)函数y32cos的最大值为 5 ，此时x 2k(kZ).解析函数y32cos的最大值为325，此时x2k，kZ，即x2k(kZ)题组三走向高考5(
5、2020天津，8,5分)已知函数f(x)sin.给出下列结论：f(x)的最小正周期为2；f是f(x)的最大值；把函数ysin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数yf(x)的图象其中所有正确结论的序号是(B)A B C D解析函数f(x)sin的最小正周期T2，正确；易知fsin 1，fsinsin 1，错误；把函数ysin x的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的是函数ysin的图象，正确综上，正确，错误故选B.6(2019全国卷，5分)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(A)Af(x)|cos 2x| Bf(x)|sin 2x|Cf(x)cos |x| Df(x)sin
6、 |x|解析A中，函数f(x)|cos 2x|的周期为，当x时，2x，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)|sin 2x|的周期为，当x时，2x，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)cos |x|cos x的周期为2，故C不正确；D中，f(x)sin |x|由正弦函数图象知，在x0和x0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是(A)A. BC D(0,2解析(1)ycoscos，由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)即所求单调递减区间为(kZ)y3tan3tan，由kk，解得4kx4k(kZ)函数的单调递减区间为(kZ)画图知单调递减区间为(kZ)(2)
7、由x得x0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错图解法：若函数的图象能够容易画出，可利用图象直观迅速求解如某些含绝对值的三角函数注：正、余弦型单调区间长度为半周期(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解变式训练1(1)(多选题)(2020山东泰安第二次段考)函数f(x)3sin的一个单调递增区间是(AD)A. BC D(2)(2018 课标全国，10)若f(x)cos xsin x在0，a上是减函数，则实数a的最大值是(C)A. B C D解析(1)f(x)3sin3cos3co
8、s.令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.所以函数f(x)的增区间为，kZ.令k0,1，可得选项AD正确，故选A、D.(2)本题主要考查三角函数的图象及性质f(x)cos xsin xcos.因为f(x)在0，a上是减函数，所以解得00)的最小正周期为，则该函数的图象(AD)A关于点对称 B关于直线x对称C关于点对称 D关于直线x对称解析由T知2，所以函数f(x)sin.函数f(x)的对称轴满足2xk(kZ)，解得x(kZ)；函数f(x)的对称中心的横坐标满足2xk(kZ)，解得x(kZ)故选A、D.名师点拨(1)求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为yAsin(x)或yAcos(x
9、)或yAtan(x)(A，为常数，A0)的形式，再分别应用公式T或T求解(2)三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对yAsin(x)代入x0，若y0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数若yAsin(x)为奇函数，则k(kZ)，若yAsin(x)为偶函数，则k(kZ)(3)求函数yAsin(x)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题ysin x的对称中心是(k，0)，(kZ)，yAsin(x)的对称中心，由方程xk解出x，故对称中心为(kZ)ysin x的对称轴是xk，kZ，xk解出x，即x为函数yAsin(x)的对称轴方程函数f(x)Asin(x)(A，为常数
10、，A0)图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断(4)注意ytan x的对称中心为(kZ)变式训练2(1)(角度1)(2018课标全国，6)函数f(x)的最小正周期为(C)A. B C D2(2)(角度2)(多选题)下列函数中，最小正周期为的奇函数是(BD)AysinBycosCysin 2xcos 2xDysincos(3)(角度3)(2018江苏)已知函数ysin(2x)的图象关于直线x对称，则的值是 .解析(1)本题考查三角函数的周期解法一：f(x)
11、的定义域为.f(x)sin xcos xsin 2x，f(x)的最小正周期T.解法二：f(x)f(x)，是f(x)的周期f，而tan，ff(x)，不是f(x)的周期，也不是f(x)的周期故选C. (2)ysincos 2x是偶函数，不符合题意ycossin 2x是T的奇函数，符合题意，同理C不是奇函数，D为ysin 2x，故选B、D.(3)由题意可得sin1，所以k，k(kZ)，因为，所以k0，.故填.名师讲坛素养提升三角函数的值域与最值例6 (1)函数y的值域为 .(2)函数f(x)2sin xsin，当x时，函数f(x)的值域为 .(3)函数y的值域为 .(4)若x是三角形的最小内角，则函
12、数ysin xcos xsin xcos x的最小值是(A)A BC1 D解析(1)解法一：y2，由于1sin x1，所以5，函数的值域为.解法二：由y，解得sin x，1sin x1，11，解得3y，函数的值域为.(2)f(x)2sin xsin2xsin xcos xsin，x，2x，sin.f(x).(3)解法一：由y得sin xycos x3y1，sin(x)其中sin ，cos .1，解得0y.解法二：可理解为点P(cos x，sin x)与点C(3,1)连线的斜率，点P(cos x，sin x)在单位圆上，如图所示故t满足kCAtkCB，设过点C(3,1)的直线方程为y1k(x3)
13、，即kxy13k0.由原点到直线的距离不大于半径1，得1，解得0k.从而值域为.(4)由条件知0x，令tsin xcos xsin，又0x，x，得1t；又t212sin xcos x，得sin xcos x，得yt(t1)21，则y1，所以函数的最小值为.故选A.名师点拨求三角函数值域或最值的方法(1)yasin xb(或yacos xb)的值域为|a|b，|a|b(2)yasin2xbcos xc可转化为关于cos x的二次函数，求在给定区间上的值域(或最值)即可(3)yasin2xbsin xcos xccos2xyAsin 2xBcos 2xysin(2x)，再利用sin(2x)的有界性
14、求解，注意2x的取值范围(4)y(或y)可反解出sin xf(y)(或cos xf(y)由正、余弦函数的有界性(|f(y)|1)求解；y可根据式子的几何意义用数形结合方法求解，或化为sin(x)利用三角函数的有界性求解(5)yf(sin xcos x，sin xcos x)常用换元法，令tsin xcos xsin(x)，则cos xsin x，可化为关于t的二次函数在某区间上的值域或最值变式训练3(1)函数f(x)sin2xcos x的最大值是 1 .(2)(2021黑龙江宜春二中月考)函数y的最大值是(D)A.1 B1C1 D1(3)(2021云南调研)函数ysin xcos xsin xcos x的值域是 .解析(1)依题意，f(x)sin2xcos xcos2xcos x21，因为x，所以cos x0,1，因此当cos x时，f(x)max1.(2)y，22sin2，y1，故选D.(3)设tsin xcos x，则t212sin xcos x，sin xcos x，且t，yt(t1)21.当t1时，ymax1，当t时，ymin.函数ysin xcos xsin xcos x的值域为.