1、陕西省咸阳市武功县2020届高三数学上学期第二次模拟考试试题 理（含解析）注意事项：1.本试题分第I卷和第II卷两部分，第I卷为选择题，用2B铅笔将答案涂在答题卡上.第II卷为非选择题，用0.5mm黑色签字笔将答案答在答题纸上，考试结束后，只收答题纸.2.答第I卷、第II卷时，先将答题纸上有关项目填写清楚.3.全卷满分150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可解出集合，然后进行交集的运算即可【详解】解：，故选：【
2、点睛】考查描述法、区间的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，交集的运算，属于基础题2.在复平面内，与复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】应用复数除法的运算法则，简化复数，最后确定复数对应的点的位置.【详解】,复数对应的点为，它在第四象限，故本题选D.【点睛】本题考查通过复数除法运算法则，化简后判断复数对应的点的位置.3.设等差数列的前项和为若,，则( )A. 45B. 54C. 72D. 81【答案】B【解析】【分析】利用等差数列前项和的性质可求【详解】因为为等差数列，所以为等差数列，所以即，所以，故选B.【点睛】一
3、般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2） 且 ；（3）且等差数列；（4） 为等差数列.4.已知向量，则是向量与向量垂直的A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由可得向量与向量垂直；反之，由向量与向量垂直，不一定得到然后结合充分必要条件的判定方法得答案【详解】解：向量，若，则，此时，向量与向量垂直；若向量与向量垂直，则，即，解得或是向量与向量垂直的充分不必要条件故选：【点睛】本题考查向量垂直的坐标运算，考查充分必要条件的判定方法，属于基础题5.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+)上单调递减的函数
4、是( )A. y=x2B. C. y=2|x|D. y=cosx【答案】B【解析】【分析】A. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据的图象判断单调性.B. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据 的图象判断单调性.C. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据 的图象判断单调性.D. 根据奇偶性的定义判断奇偶性，根据的图象判断单调性.【详解】因为，所以是偶函数，又因为在（0，+)上单调递增，故A错误. 因为，所以是偶函数，又因为，在(0，+)上单调递减，故B正确.因为，所以 是偶函数，又因为 在(0，+)上单调递增，故C错误.因为，所以是偶函数，又因为在 (0，+)上不单调，故D错误.故选;D【点睛】本题主要考
5、查函数的单调性和奇偶性和基本函数的图象和性质，属于基础题.6.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将右下角黑色三角形进行移动，可得黑色部分面积等于一个等腰直角三角形加一个直角梯形的面积之和，求解出面积再根据几何概型公式求得结果.【详解】设正方形的边长为则处面积和右下角黑色区域面积相同故黑色部分可拆分成一个等腰直角三角形和一个直角梯形等腰直角三角形面积为：直角梯形面积
6、为：黑色部分面积为：则所求概率为：本题正确选项：【点睛】本题考查几何概型中的面积类问题，属于基础题.7.定义运算：，将函数的图像向左平移 个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：，将函数化为再向左平移（）个单位即为:又为偶函数,由三角函数图象的性质可得,即时函数值为最大或最小值,即或,所以,即,又,所以的最小值是.考点：对定义的理解能力,三角函数恒等变性, 三角函数图象及性质.8.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处
7、出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出点A关于直线的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短.【详解】解：设点A关于直线的对称点，的中点为，故解得，要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为，故选A.【点睛】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而
8、解决问题.9.已知直线平面，直线平面，若，则下列结论正确的是A. 或B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】选项A中与位置是平行或在平面内，选项B中与可能共面或异面，选项C中与的位置不确定，选项D中与的位置关系不确定【详解】对于A，直线平面，则或，A正确；对于B，直线平面，直线平面，且，则或与相交或与异面，B错误；对于C，直线平面，直线平面，且，则或与相交或或，C错误；对于D，直线平面，直线平面，且，则或与相交或与异面，D错误故选A【点睛】本题考查了空间平面与平面关系的判定及直线与直线关系的确定问题，也考查了几何符号语言的应用问题，是基础题10.过双曲线的一个焦点作一条与其渐近线垂直的直线
9、，垂足为，为坐标原点，若，则此双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】中，,所以且=c，所以.根据题意有：，即离心率.故选C.点睛：本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解 11.函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用已知函数的对称性及特殊点进行判断即可.【详解】函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当时，排除A；当时，排除D故应选C【点睛】函数图象的
10、辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.12.已知为定义在 上的偶函数，且，当时，记，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据的周期性和单调性进行判断详解：当时，则在上是增函数，且当时， ，的周期为2 故选D点睛：本题考查了函数的周期性，单调性，以及利用单调性比较大小，是基础题.第II卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，则_. 【答案
11、】【解析】由题意可得： 点睛：熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题；注意公式的变形应用，如sin21cos2，cos21sin2，1sin2cos2及sin tan cos 等这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在14.正方体的全面积是6.它的顶点都在球面上，这个球的表面积是_【答案】【解析】【分析】通过正方体的表面积求出棱长，然后求出正方体的外接球的半径，即可求解表面积【详解】因为正方体的全面积为6，所以正方体的棱长为：1，正方体的对角线为：因为正方体的顶点都在球面上，所以正方体的对角线就是外接球的直径，所以外接球的半径为：外接球的表面积为：故
12、答案为：【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是解题的关键，考查计算能力15.已知数列的通项公式，则其中三位数的个数有_个.【答案】225【解析】【分析】解不等式，结合，即可得出答案.【详解】由，解得由于，则该数列中三位数的个数有个故答案为：【点睛】本题主要考查了等差数列简单的应用，属于基础题.16.已知点在抛物线上，则P点到抛物线焦点F的距离为_.【答案】3【解析】【分析】利用焦点弦长的性质即可得出【详解】点在抛物线上，点到焦点的距离故答案为：3【点睛】本题考查过焦点弦长的性质，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）（一
13、）必考题（共60分）17.在ABC中，角的对边分别为，且满足.(1)求角A的大小；（2）若,的面积为,求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)法一：由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用，化简可得cosA，结合范围 ,由特殊角的三角函数值即可得解A的值;法二：由已知及余弦定理，整理可求cosA，结合范围,由特殊角的三角函数值即可得解A的值(2)利用三角形面积公式可求bc的值，进而利用余弦定理可求,联立即可得解b，c的值【详解】（1）由及正弦定理，得 ， 所以， 因为， 所以， 因为，所以.（2）ABC的面积，故. 而，故，所以.【点睛】本题考查了正弦、余弦定理以及三角函数的恒等变换，
14、考查了三角形的面积公式，熟练掌握公式是关键，考查了运算能力，属于中档题.18.某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：0，10），10，20），20，30），30，40），40，50，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（1）写出的值；试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（2）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用表示其中初中生的人数，求的分布列和数学期
15、望【答案】（1）,870人 （2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据频率频率直方图的性质，可求得的值；由分层抽样，求得初中生有60名，高中有40名，分别求得初高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率及人数，求和；（2）分别求得，初高中生中阅读时间不足10个小时的学生人数，写出的取值及概率，写出分布列和数学期望.【详解】解：（1）由频率分布直方图得，解得；由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名. 因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为，所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有人，同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为，学生人数约有人.所以
16、该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450+420=870人.（2）初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，样本人数为人. 同理，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生样本人数为人.故X的可能取值为1，2，3. 则，.123所以的分布列为：所以.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，分布列和期望求法，考查计算能力，属于中档题.19.如图，在直三棱柱中，（1）证明：；（2）求二面角的余弦值大小【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据，两两垂直，建立如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，根据两个向量的数量积等于0，证出两条直线互相垂直（2）求出两个
17、面的法向量，求两个法向量的夹角的余弦值，即可得到答案【详解】直三棱柱，底面三边长，两两垂直如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则（1），故。（2）平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，由得：令，则，则故，所求二面角的余弦值。【点睛】本题考查线面垂直、二面角大小的向量求解，考查空间想象能力和运算求解能力20.设椭圆过点(0,4)，离心率为 .(1)求椭圆的方程；(2)求过点(3,0)且斜率的直线被椭圆C所截线段的中点坐标【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）椭圆C：+=1（ab0）过点（0，4），可求b，利用离心率为，求出a，即可得到椭圆C的方程；（2）过点（3，0）且斜率为的直线为
18、y=（x3），代入椭圆C方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标【详解】（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，b=4，由e=，得1=，a=5，椭圆C方程为+=1（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x3），设直线与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y=（x3）代入椭圆C方程，整理得x23x8=0，由韦达定理得x1+x2=3，y1+y2=（x13）+（x23）=（x1+x2）=由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为，所截线段中点坐标为（，）考点：直线与圆锥曲线的综合问题21.已知函数，其中(1)若是函数的极值点，求实数的值；(2)若对任意的（为自然对数的底
19、数）都有成立，求实数的取值范围【答案】(1)(2)【解析】试题分析：本题主要考查利用导数求函数的极值、单调区间、最值等基础知识及分类讨论思想，也考查了学生分析问题解决问题的能力及计算能力.第一问先对函数进行求导，再把极值点代入导函数求得实数a的值；第二问对任意的x1，x21，e都有f(x1)g(x2)成立等价于对任意的x1，x21，e，都有f(x)ming(x)max，利用导数分别判断函数f (x)、g(x)的单调性并求其在定义域范围内的最值，判断单调性时可对实数a进行分类讨论，则可求得实数a的取值范围试题解析：(1)h(x)2xln x，其定义域为(0，)，h(x)2，x1是函数h(x)的极
20、值点，h(1)0，即3a20.a0，a.经检验当a时，x1是函数h(x)的极值点，a.(2)对任意的x1，x21，e都有f(x1)g(x2)成立等价于对任意的x1，x21，e，都有f(x)ming(x)max.当x1，e时，g(x)10.函数g(x)xln x在1，e上是增函数，g(x)maxg(e)e1.f(x)1，且x1，e，a0.当0a1且x1，e时，f(x)0，函数f(x)x在1，e上是增函数，f(x)minf(1)1a2.由1a2e1，得a，又0a1，a不合题意当1ae时，若1xa，则f(x)0，若axe，则f(x)0.函数f(x)x在1，a)上是减函数，在(a，e上是增函数f(x)
21、minf(a)2a.由2ae1，得a. 又1ae，ae.当ae且x1，e时f(x)0，函数f(x)x在1，e上是减函数f(x)minf(e)e.由ee1，得a，又ae，ae.综上所述，a的取值范围为，)考点：1.利用导数求函数的极值、单调区间、最值；2.分类讨论思想.（二）选考题（共10分，请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）22.已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为，设点是曲线上的任意一点，求到直线的距离的最大值.【答案】5【解析】【分析】将直线的极坐标方程与曲线的参数方程化简为直角坐标方程,再利用圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半径求解即
22、可.【详解】解：由,可得：3所以yx6即：xy60 由得x2y24,圆的半径为r2 所以圆心到直线l的距离d3 所以,P到直线l的距离的最大值为dr5.【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标和直角坐标的互化,同时也考查了圆上的点到直线距离的最值问题,属于中等题型.23.已知函数的最小值为.（1）求实数的值；（2）解不等式.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）根据绝对值的几何意义求出f（x）的最小值，从而求出a的值即可；（2）求出f（x）的分段函数形式，从而求出不等式的解集即可【详解】(1)f(x)|x4|xa|a4|a，从而解得a2.(2)由(1)知，f(x)|x4|x2|故当x2时，令2x65，得x2，当2x4时，显然不等式成立，当x4时，令2x65，得4x，故不等式f(x)5的解集为.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查了分段函数问题，是一道基础题