1、第三课时定点、定值、探索性问题考点突破互动探究考点一圆锥曲线的定值问题自主练透例1(2018北京高考)已知抛物线C：y22px(p0)经过点P(1,2)过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，求证：为定值解析(1)因为抛物线y22px过点(1,2)，所以2p4，即p2故抛物线C的方程为y24x，由题意知，直线l的斜率存在且不为0设直线l的方程为ykx1(k0)由得k2x2(2k4)x10依题意(2k4)24k210，解得k0或0k1又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，2)从而k3
2、所以直线l斜率的取值范围是(，3)(3,0)(0,1)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知x1x2，x1x2直线PA的方程为y2(x1)令x0，得点M的纵坐标为yM22同理得点N的纵坐标为yN2由，得1yM，1yN所以2所以为定值名师点拨求解定值问题常用的方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值变式训练1(2021河南八市重点高中联盟联考)已知椭圆C：1(ab0)的左右焦点分别是F1，F2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线yx3相切，点P在椭圆C上，|PF1|2，F1PF260(1)求椭
3、圆C的方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C相交于A、B两点，且kOAkOB，AOB的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由解析(1)依题意有b，b23，由|PF1|2及椭圆的定义得|PF2|2a2，由余弦定理得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2|F1F2|2，即a23a3c2，又a2c2b23，a2，故椭圆的方程为1(2)联立可得，(34k2)x28kmx4m2120，则34k2m20，又x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2，由kOAkOB，可得，y1y2x1x2，2m24k23，满足，|AB|，SOABd
4、|AB|为定值考点二圆锥曲线中的定点问题师生共研例2(2021广东广州三校联考)如图，已知椭圆C：y2 1的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x2y26x2y70相切，其中a1(1)求椭圆的方程；(2)不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且APAQ，证明：动直线l过定点，并且求出该定点坐标解析(1)由题可知，A(0,1)，F(c,0)，则直线AF的方程为y1，即xcyc0，因为直线AF与圆M：x2y26x2y70相切，该圆的圆心为M(3,1)，r，则，c22，a23，故椭圆的标准方程为y21(2)解法一：依题得直线l的斜率必存在，设l：ykxm，设点P(x1，y1)，Q(x2，y
5、2)，联立，消去y并整理得(3k21)x26kmx3m230，36k2m24(3k21)(3m23)0，即m23k21，且x1x2，x1x2，(x1，y11)(x2，y21)x1x2y1y2(y1y2)1(k21)x1x2k(m1)(x1x2)(m1)2(k21)k(m1)(m1)2APAQ，0，即0，m1或m当m1时，直线l：ykx1，恒过点(0,1)，不满足题意，舍去；当m时，直线l：ykx，恒过点，故直线恒过定点解法二：因为不过点A的动直线l与椭圆C相交于PQ两点，且APAQ，即直线AP与坐标轴不垂直也不平行，由A(0,1)，可设直线AP的方程为ykx1，则直线AQ的方程为yx1，联立，
6、消去y并整理得(13k2)x26kx0，解得x0或，因此点P的坐标为，即P，将上式中的k换成，得点Q，所以直线l的斜率为，即直线l的方程y，化简并整理得yx，故直线l恒过定点名师点拨求解定点问题常用的方法(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明(2)“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标(3)求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程yy0k(xx0)来证明变式训练2(2021安徽蚌埠质检)已知抛物线C：y22px(p0)，直线yx1与C相交所得的弦长为8(1)求p的值；(2)已知点O为坐
7、标原点，一条动直线l与抛物线C交于O，M两点，直线l与直线x2交于H点，过点H作y轴的垂线交抛物线C于N点，求证：直线MN过定点解析(1)设直线与抛物线的两交点坐标分别为：(x1，y1)，(x2，y2)，由得，消x可得y22py2p0，y1y22p，y1y22p弦长为8，解得p2或p4(舍去)，p2(2)由(1)可得y24x，设M，直线OM的方程yx，当x2时，yH，代入抛物线方程y24x，可得xN，N，直线MN的斜率k，直线MN的方程为yy0，整理可得y(x2)，故直线MN过点(2,0)考点三圆锥曲线中的探索性问题师生共研例3(2021河南名校联盟联考)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分
8、别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，四边形A1B1A2B2的面积为4，坐标原点O到直线A1B1的距离为(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C上一点P作两条直线分别与椭圆C相交于点A，B(异于点P)，试判断以OP和AB为对角线的四边形能否为菱形？若能，求出直线AB的方程；若不能，请说明理由解析(1)直线A1B1的方程为1由题意可得，解得所以椭圆C的方程为1(2)当直线AB的斜率不存在时，若平行四边形OAPB为菱形，则P为左顶点或右顶点此时直线AB的方程为x1，当直线AB的斜率为0时，若四边形OAPB为菱形，则点P为上顶点或下顶点，此时AB的方程为y当直线AB的斜率存在时，设AB：ykxm(
9、k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立可得(4k23)x28kmx4m2120，则48(4k2m23)0，所以x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2m若四边形OAPB为菱形，所以，所以点P所以直线OP的斜率kOP所以k1，这与kABkOP1矛盾所以四边形OAPB不能是菱形综上，四边形OAPB能为菱形，此时直线AB的方程为x1，或y名师点拨圆锥曲线中的探索性问题1圆锥曲线中的存在性问题一般分为探究条件、探究结论两种，若探究条件，则可先假设条件成立，在验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在：若探究结论，则应先求出结论的表达式，在对其表达式解析讨论，往往涉及对参数的讨论2圆锥曲线的
10、探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立，解决此类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法3解决探索性问题的答题模板 变式训练3(2021陕西西安八校联考)已知F为抛物线C：x22py(p0)的焦点，点M(m,1)在抛物线上，且|MF|直线l：ykx2与抛物线C交于A、B两点(1)求抛物线C的
11、方程；(2)设O为坐标原点，y轴上是否存在点P，使得当k变化时，总有OPAOPB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解析(1)根据抛物线的定义，得1，解得p抛物线C的方程为x2y(2)在y轴上存在点P，使得当k变化时，总有OPAOPB理由如下：设P(0，b)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去y，得2x2kx20且k2160恒成立x1x2，x1x21y12x，y22xOPAOPB时，直线PA和直线PB的倾斜角互补，故其斜率互为相反数kPAkPB0，x22xbx2x12xbx10，即0，0，得b2，即点P的坐标为(0，2)所以，y轴上存在点P(0，2)，使得当k变化时，总有OPAOPB