1、第四讲直线、平面平行的判定与性质知识梳理双基自测知识点一直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件aa，b，_ab_a_a，a，_b_结论aba_ab_知识点二面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件_a，b， abP，a，b_，a，b_，a结论aba1垂直于同一条直线的两个平面平行，即“若a，a，则”2垂直于同一个平面的两条直线平行，即“若a，b，则ab”3平行于同一个平面的两个平面平行，即“若，则”题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面()(2)平行于同一条直线的两个平面平行()(3)如
2、果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面()(5)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.()(6)若，直线a，则a.()题组二走进教材2(必修2P58练习T3)设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是(D)A存在一条直线a，a，aB存在一条直线a，a，aC存在两条平行直线a，b，a，b，a，bD存在两条异面直线a，b，a，b，a，b解析对于选项A，若存在一条直线a，a，a，则或与相交，若，则存在一条直线a，使得a，a，所以选项A的内容是的一个必要条件；同理，选项B，C的内容也是的一个必
3、要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到个平面中，成为相交直线，则有，所以选项D的内容是的一个充分条件故选D题组三走向高考3(2019课标全国)设，为两个平面，则的充要条件是(B)A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面4(2017课标全国)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(A)解析B选项中，ABMQ，且AB平面MNQ，MQ平面MNQ，则AB平面MNQ；C选项中，ABMQ，且AB平面MNQ，MQ平面MNQ，则AB平面MNQ；D选项
4、中，ABNQ，且AB平面MNQ，NQ平面MNQ，则AB平面MNQ.故选A5(2017天津，节选)如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2.求证：MN平面BDE.证明解法一：连PN交BE于H，连HDE、N分别为PC、BC的中点，H为PBC的重心，2，又D、M分别为PA、AD的中点，2，DHMN，又DH平面BDE，MN平面BDE，MN平面BDE.解法二：取EC的中点H，连MH、NH，N为BC的中点，NHBE，又NH平面BDE，BE平面BDE，NH平面BDE，又E、D、M分别为PC、PA、DA的中点，2，
5、DEMH，又MH平面BDE，MH平面BDE，DE平面BDE，又DEBEE，平面MNH平面BDE，MN平面BDE.解法三：如图，以A为原点，分别以，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系依题意可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0)(0,2,0)，(2,0，2)设n(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨设z1，可得n(1,0,1)又(1,2，1)，可得n0.因为MN平面BDE，所以MN平面BDE.考点突破互动探究考点一空间平行关系的基本问题自主练透例1 (1)(多选题)(202
6、1河南名校联盟质检改编)设有不同的直线a，b和不同的平面，给出下列四个命题中，其中正确的是(CD)A若a，b，则abB若a，a，则C若a，b，则abD若a，a，则(2)(2021辽宁省沈阳市质监)下列三个命题在“()”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l，m为直线，为平面)，则此条件是_l_.l；l；l.解析(1)对于A，若a，b， 则直线a和直线b可以相交也可以异面，故A错误；对于B，若a，a，则平面a和平面可以相交，故B错误；对于C，若a，b，则根据线面垂直性质定理，ab，故C正确；对于D，若a，a，则成立；故选CD(2)lm，ml或l，由ll；l，m，lml；lm，ml
7、或l，由ll.故答案为l.变式训练1(多选题)(2021吉林省吉林市调研改编)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为所在棱的中点，则下列各直线、平面中，与平面ACD1平行的是(ABD)A直线EFB直线GHC平面EHFD平面A1BC1解析首先直线EF、GH、A1B都不在平面ACD1内，由中点及正方体的性质知EFAC，GHA1C1AC，A1BD1C，直线EF，GH，A1B都与平面ACD1平行，又A1C1AC，由面面平行判定易知平面A1BC1平面ACD1，由EHAB1，AB1平面ACD1A，EH与平面ACD1相交，从而平面EHF与平面ACD1相交，C错，故选A、B、D考点二直线
8、与平面平行的判定与性质多维探究角度1线面平行的判定例2 (2021辽宁抚顺模拟)如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为梯形，ABCD，BAD60，PDADAB2，CD4，E为PC的中点(1)证明：BE平面PAD；(2)求三棱锥EPBD的体积解析(1)证法一：如图，取PD的中点F，连接EF，FA由题意知EF为PDC的中位线，EFCD，且EFCD2.又ABCD，AB2，CD4，ABEF，四边形ABEF为平行四边形，BEAF.又AF平面PAD，BE平面PAD，BE平面PAD证法二：延长DA、CB相交于H，连PH，ABCD，AB2，CD4，即B为HC的中点，又E为PC的中点，BE
9、PH，又BE平面PAD，PH平面PAD，BE平面PAD，证法三：取CD的中点H，连BH，HE，E为PC中点，EHPD，又EH平面PAD，PD平面PAD，EH平面PAD，又由题意知ABDH，BHAD，又AD平面PAD，BH平面PAD，BH平面PAD，又BHEHH，平面BHE平面PAD，BE平面PAD(2)E为PC的中点，V三棱锥EPBDV三棱锥EBCDV三棱锥PBCD又ADAB，BAD60，ABD为等边三角形，BDAB2.又CD4，BDCBAD60，BDBCBC2.PD平面ABCD，V三棱锥PBCDPDSBCD222，V三棱锥EPBD.名师点拨判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义
10、(无公共点)(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)(3)利用面面平行的性质定理(，aa)(4)利用面面平行的性质(，a，aa)(5)向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直注：线面平行的关键是线线平行，证明中常构造三角形中位线或平行四边形角度2线面平行的性质例3 如图，在多面体ABCDEF中，DE平面ABCD，ADBC，平面BCEF平面ADEFEF，BAD60，AB2，DEEF1.(1)求证：BCEF；(2)求三棱锥BDEF的体积解析(1)证明：ADBC，AD平面ADEF，BC平面ADEF，BC平面ADEF.又BC平面BCEF，平面BCEF平面ADEFEF，BCEF.(2)过点B作
11、BHAD于点H，DE平面ABCD，BH平面ABCD，DEBH.AD平面ADEF，DE平面ADEF，ADDED，BH平面ADEF.BH是三棱锥BDEF的高在RtABH中，BAD60，AB2，故BH.DE平面ABCD，AD平面ABCD，DEAD由(1)知BCEF，且ADBC，ADEF，DEEF.三棱锥BDEF的体积VSDEFBH11.名师点拨空间中证明两条直线平行的常用方法(1)利用线面平行的性质定理，即a，a，bab.(2)利用平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行(3)利用垂直于同一平面的两条直线互相平行变式训练2(1)(角度2)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD
12、外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求证：PAGH.(2)(角度1)(2020广东佛山质检，节选)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，E、F分别为AD、PC的中点求证：EF平面PAB(3)(角度1)(2021贵州黔东南州二模)在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PAB平面ABCD，点E，F分别为BC，AP的中点求证：EF平面PCD；若ADAPPBAB1.求三棱锥PDEF的体积解析(1)证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点，又M是PC的中点，PAMO.又MO平面BMD
13、，PA平面BMD，PA平面BMD平面PAHG平面BMDGH，PA平面PAHG，PAGH.(2)解法一：取PB的中点H，连FH、HA，F为PC的中点，FHBC，又四边形ABCD为平行四边形，BCAD，从而FHAD，又E为AD的中点，FHEA，EFAH，又EF平面PAB，HA平面PAB，EF平面PAB解法二：取BC的中点H，连FH，HE，F为PC的中点，FHBP，又FH平面PAB，FH平面PAB，又E为AD的中点，且四边形ABCD为平行四边形，HEBA，又HE平面PAB，HE平面DAB，又FHEHH，平面EFH平面PAB，EF平面PAB解法三：连CE并延长交BA的延长线于H，连PH.E为平行四边形
14、ABCD的边AD的中点，CDEHAE，CEEH，又F为PC的中点，EFPH，又EF平面PAB，PH平面PAB，EF平面PAB(3)证明：如图，取PD中点G，连接GF，GC在PAD中，G，F分别为PD，AP的中点，GFAD在矩形ABCD中，E为BC的中点，CEAD，GFEC，四边形EFGC是平行四边形，GCEF.GC平面PCD，EF平面PCD，EF平面PCD四边形ABCD是矩形，ADAB，ADBC又AD平面PAD，BC平面PAD，BC平面PAD平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，AD平面ABCD，AD平面PAB，ADBP，平面PAD平面PABADAPPBAB1，AB，AP2PB2
15、AB2，APBP.ADAPA，BP平面PADBC平面PAD，点E到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离SPDFPFAD1，V三棱锥PDEFV三棱锥EPDFSPDFBP1， 三棱锥PDEF的体积为.考点三两个平面平行的判定与性质师生共研例4 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GHB1C1，又B1C1BC，所以GHBC，所以B，C，H，G四点共面(2)在ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，所以EFBC，
16、因为EF平面BCHG，BC平面BCHG，所以EF平面BCHG.又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，所以A1GEB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1EGB因为A1E平面BCHG，GB平面BCHG，所以A1E平面BCHG.又因为A1EEFE，所以平面EFA1平面BCHG.引申1在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD平面A1B1BA证明如图所示，连接HD，A1B，因为D为BC1的中点，H为A1C1的中点，所以HDA1B，又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，所以HD平面A1B1BA引申2在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1平面AC1D
17、证明如图所示，连接A1C，AC1交于点M，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以M是A1C的中点，连接MD，因为D为BC的中点，所以A1BDM.因为A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，所以DM平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1BD，所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以DC1BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，所以DC1平面A1BD1，又因为DC1DMD，DC1，DM平面AC1D，所以平面A1BD1平面AC1D名师点拨证明面面平行的方法有(1)面面平行的定义(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(3)利
18、用“垂直于同一条直线的两个平面平行”(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化*(6)向量法：证明两平面的法向量平行变式训练3(2021南昌模拟)如图，在四棱锥PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，PA平面ABCD，PA2，AB1.设M，N分别为PD，AD的中点(1)求证：平面CMN平面PAB；(2)求三棱锥PABM的体积解析(1)证明：M，N分别为PD，AD的中点，MNPA，又MN平面PAB，PA平面PAB，MN平面PAB在RtACD中，CAD60，CNAN，ACN60.又BAC60，CNABCN平面PAB，
19、AB平面PAB，CN平面PAB又CNMNN，CN，MN平面CMN，平面CMN平面PAB(2)由(1)知，平面CMN平面PAB，点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离AB1，ABC90，BAC60，BC，三棱锥PABM的体积VVMPABVCPABVPABC12.名师讲坛素养提升探索性问题求解策略例5 (2021安徽皖北联考)如图，在四棱锥CABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点(1)求证：GF平面ABC(2)线段BC上是否存在一点H，使得平面GFH平面ACD？若存在，请找出点H并证明；若不存在，请说明理由解析(1)四边形ABED为正方形，F为BD的中点，
20、E、F、A共线，连AE，又G为EC的中点，GFAC，又GF平面ABC，AC平面ABC，GF平面ABC注：本题也可取BE的中点Q，连GQ、FQ，通过证平面GFQ平面ABC来证；或取BC的中点M，AB的中点N，连GM、MN、NF，通过证四边形GMNF为平行四边形得GFMN来证(2)当H为BC的中点时，平面GFH平面ACD证明如下：G、H分别为EC、BC的中点，GHBE，又BEAD，GHAD，又GH平面ACD，AD平面ACD，GH平面ACD，又GFAC，GF平面ACD，AC平面ACD，GF平面ACD，平面GFH平面ACD引申ED上是否存在一点Q，使平面GFQ平面ACD解析当Q为ED的中点时，平面GF
21、Q平面ACD名师点拨平行中的探索性问题(1)对命题条件的探索常采用以下三种方法：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件(2)对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设变式训练4在三棱柱ABCA1B1C1的棱BC上是否存在一点H，使A1B平面AC1H？并证明解析BC上存在点H(即BC的中点)使A1B平面AC1H.证明如下：连A1C交AC1于O，则O为A1C的中点连HO，又H为BC的中点，HOA1B，又OH平面AHC1，A1B平面AHC1，A1B平面AC1H.