1、第二课时三角函数式的化简与求值考点突破互动探究考点一三角函数式的化简师生共研例1 化简下列各式：(1)；(2)；(3).解析(1)原式tan()(2)原式tan 2.(3)原式1.名师点拨(1)此类化简题，对公式既要会正用，又要会逆用，甚至变形应用(2)应用公式时特别注意角不要化错，函数名称、符号一定要把握准确(3)对asin xbcos x化简时，辅助角的值如何求要清楚变式训练1(1)化简sin2sincos 0 .(2)(2020开封模拟)化简：sin2sin2cos2cos2cos 2cos 2 .解析(1)解法一：原式sin xcos cos xsin 2sin xcos 2cos x
2、sin cos cos xsin sin xsin x2sin cos cos xsin xcos x0.解法二：原式sincos2sin2sin2sin2sin2sin2sin2sin2sin 2sin0.(2)解法一：(从“角”入手，化复角为单角)原式sin2sin2cos2cos2(2cos21)(2cos21)sin2sin2cos2cos2cos2cos2sin2sin2cos2sin2cos2sin2cos21.解法二：(从“名”入手，化异名为同名)原式sin2sin2(1sin2)cos2cos 2cos 2cos2sin2(cos2sin2)cos 2cos 2cos2sin2
3、cos 2cos 2cos 2cos2cos 2(sin2cos 2)cos 2.解法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式cos 2cos 2(1cos 2cos 2cos 2cos 21cos 2cos 2cos 2cos 2)cos 2cos 2.解法四：从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方原式(sin sin cos cos )22sin sin cos cos cos 2cos 2cos2()sin 2sin 2cos 2cos 2cos2()cos(22)cos2()2cos2()1.考点二求值问题多维探究角度1给角求值例2 求下列各式的值(1)；(2).解析(1)原式t
4、an 15tan(4530)2.(2)4.名师点拨给角求值问题的解题思路给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分；(2)观察名，尽可能使函数统一名称；(3)观察结构，利用公式，整体化简角度2给值求值例3 已知cos，则sin .解析由题意可得cos2，cossin 2，即sin 2.因为cos0，所以0，2，根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2，由两角差的正弦公式，可得sinsin 2cos cos 2sin .名师点拨给值求值问题的解题关键给值求值问题的解题关键在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表示，求解时一定要注意角的范
5、围的讨论如()，2()()，等角度3给值求角例4 已知A，B均为钝角，sin2cos，且sin B，则AB(C)A. B C D解析由题意知(1cos A)cos Asin A，得sin A，sin B.A，B均为钝角，AB0，那么，AB2，所以AB，故选C.名师点拨(1)已知三角函数值求角的解题步骤：求出角的某一三角函数值；确定角的范围；根据角的范围确定角(2)给值求角的原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好变式训练2(1)(角度1)cos 154sin215cos 15
6、(D)A. B C1 D(2)(角度2)(2021黑龙江哈师大附中模拟)已知，且2cos 2cos，则sin 2的值为(C)A. B C D(3)(角度3)已知sin ，sin()，均为锐角，则角等于(C)A. B C D解析(1)cos 154sin215cos 15cos 152sin 152sin 15cos 15cos 152sin 15sin 30cos 15sin 152cos(1530)2cos 45，故选D.(2)由题意可得2(cos2sin2)cos cos sin sin ，即2(cos sin )(cos sin )(cos sin )由，可得cos sin 0，所以co
7、s sin ，等式两边平方，可得1sin 2，所以sin 2，故选C.(3)0，0，Bsin Asin Bcos AcosB例5 (1)设A，B是ABC的内角，且cos A，sin B，则sin C(D)A.或 BC或 D(2)(2021河北唐山一中质检)在ABC中，若sin(AB)12cos(BC)sin(AC)，则ABC的形状一定是(D)A等边三角形 B不含60的等腰三角形C钝角三角形 D直角三角形分析(1)由sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B知求sin A、cos B即可(2)利用cos(BC)cos A，sin(AC)sin B及两角差的正弦公式求解解析(
8、1)cos A，0A，A为锐角，且sin A.又sin Bsin A，BA，B为锐角且cos B.sin Csin (AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.故选D.(2)sin(AB)12cos(BC)sin(AC)，sin Acos Bcos Asin B12cos Asin B，sin Acos Bcos Asin B1，即sin(AB)1，sin C1，又0CBabsin Asin B，知B为锐角变式训练3(1)在ABC中，若sin(2A)sin(B)，cos Acos(B)，则C(D)A. B C D(2)(2020宁夏平罗中学期中)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin A2sin Bcos C，则ABC一定是(A)A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析由已知得22，得2cos2A1，即cos A.当cos A时，cos B，又A，B是三角形的内角，所以A，B，所以C(AB).当cos A时，cos B，又A，B是三角形的内角，所以A，B不符题意，舍去综上可得C，故选D.(2)由题意知sin(BC)2sin Bcos C，整理化简得sin Bcos Ccos Bsin C0即sin(BC)0，又BC，BC0，即BC，故选A.