1、第七讲对数与对数函数知识梳理双基自测 ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理知识点一对数与对数运算1对数的概念(1)对数的定义：如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0，且a1)logaN常用对数底数为10lg_N自然对数底数为eln_N2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质：loga10；logaa1(其中a0且a1)(2)对数恒等式：alogaNN(其中a0且a1，N0)(3)对数的换底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1，N0)
2、(4)对数的运算法则：如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)知识点二对数函数的图象与性质1对数函数的定义、图象和性质定义函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数图象a10a1性质定义域：(0，)值域：(，)当x1时，y0，即过定点(1，0)当0x1时，y0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称重要结论1指数式与对数式互化2换底公式的两个重要结论logab；logambnlogab.其中a0，且a1，b0，且b1，m，nR.3对数函数的图象与底数大小的比较
3、如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数故0cd1a0，a1)()(2)若MN0，则loga(MN)logaMlogaN.()(3)对数函数ylogax(a0且a1)在(0，)上是增函数()(4)ylog2x2不是对数函数，而ylog2(x)是对数函数()(5)函数yln 与yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(6)2lg 33lg 2.()解析(4)ylog2(x)不是对数函数(6)设2lg 3M，3lg 2N，则lg Mlg 2lg 3lg 3lg 2lg 3lg 2lg N，MN.题组二走进教材2(必修1P75T11改编)写出下列各式的值：(1)log2；(
4、2)log53log50；(3)lg 2lg 21；(4)(log29)(log34)4解析(1)log2log22；(2)log53log5log510；(3)lg 2lg 2lg lg 4lg 1021；(4)解法一：原式4.解法二：原式2log23224.3(必修1P74AT4改编)若lg 2a，lg 3b，则lg 12的值为(C)Aa BbC2ab D2ab解析因为lg 2a，lg 3b，所以lg 12lg(43)2lg 2lg 32ab.故选C4(必修1P74AT7改编)函数y的定义域是.解析log(2x1)0，即02x11，解得1时，图象越靠近x轴，其底数越大，故C1，C2对应的a
5、值分虽为2，3.又因为C3，C4为减函数，可知它们的底数都小于1，此时x1时，图象越靠近x轴，其底数越小，所以C3，C4对应的a分别，.综上可得C1，C2，C3，C4的a值依次为2，3，.解法二：可以画直线y1，看交点的位置自左向右，底数由小到大题组三走向高考6(2020课标，10，5分) 设alog32，blog53，c，则(A)Aacb BabcCbca Dcab解析因为alog32log3log5c，所以ac0，得x4.因此，函数f(x)ln(x22x8)的定义域是(，2)(4，)注意到函数yx22x8在(4，)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是
6、(4，)，选D考点突破互动探究 KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一 对数与对数运算自主练透例1(1)(2)(log32log92)(log43log83)(3)(2021保定模拟)设2a5bm，且2，则m(4)若loga2m，loga3n，则a2mn12，用m，n表示log46为解析(1)解法一：原式.解法二：原式.(2)原式.(3)因为2a5bm，所以alog2m，blog5m，所以logm2logm5logm102，所以m210，m.(4)因为loga2m，loga3n，所以am2，an3，a2mn(am)2an22312，log46.故填12；.考点二 对
7、数函数的图象与性质考向1对数函数的图象及其应用师生共研例2(1)(2019浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y，yloga(a0，且a1)的图象可能是(D)(2)(2020合肥月考)当0x时，4x0且a1)，则实数a的取值范围是(B)A B C(1，) D(，2)解析(1)解法一：当a1时，函数yax的图象过定点(0，1)，在R上单调递增，于是函数y的图象过定点(0，1)，在R上单调递减，函数yloga的图象过定点，在上单调递增显然A、B、C、D四个选项都不符合当0a1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在上的图象，可知，fg，即2，所以a的取值范围为.本题还有以下解法：因为0x，所以14x
8、1，所以0a1，排除选项C，D；取a，x，则有42，log1，显然4xlogax不成立，排除选项A故选B名师点拨MING SHI DIAN BO应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解变式训练1(1)函数f(x)loga|x|1(0a1)的图象大致为(A)(2)若不等式x2logax0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个
9、单位即得f(x)的图象，结合图象知选A(2)由x2logax0得x2logax，设f1(x)x2，f2(x)logax，要使x时，不等式x21时，显然不成立；当0a1时，如图所示，要使x2logax在x上恒成立，需f1f2，所以有loga，解得a，所以a1.即实数a的取值范围是.考向2对数函数的性质及其应用多维探究角度1比较对数值的大小例3(2020课标，12，5分)已知5584，13485.设alog53，blog85，clog138，则(A)Aabc BbacCbca Dcab解析alog53(0，1)，blog85(0，1)，则log53log581，ab.又13485，1351385，
10、两边同取以13为底的对数得log13135，c.又5584，85585，两边同取以8为底的对数得log8(855)log885，即log85，bba，故选A角度2利用对数函数单调性求参数的取值范围例4(2021华南师大附中模拟)已知函数f(x)log0.5(x2ax3a)在2，)上单调递减，则实数a的取值范围是(D)A(，4 B4，)C4，4 D(4，4分析函数f(x)log0.5(x2ax3a)在2，)上单调递减，说明在2，)上，函数tx2ax3a0成立，且为增函数解析函数f(x)log0.5(x2ax3a)在2，)上单调递减函数tx2ax3a在2，)上单调递增，且t04f(a)，则实数a的
11、取值范围是(C)A(1，0)(0，1) B(，1)(1，)C(1，0)(1，) D(，1)(0，1)解析由题意得或解得a1或1af(2)1，排除A、D令a2，由f(2)1f(2)1，排除B，选C名师点拨MING SHI DIAN BO1比较对数式的大小的关系：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需要对底数进行分类讨论；(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较2解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤变式训练2(1)(角度1)(2020天津，6，5分)设a30.7，
12、b，clog0.70.8，则a，b，c的大小关系为(D)Aabc BbacCbca Dca0)单调递减，可知a30.7301，b30.830.7a，clog0.70.8log0.70.71，即c1ab，故选D(2)由题意得：ylog(x24x5)增区间为(2，5)，所以，解得m，故选C(3)log0.25alogalog4a且f(x)为偶函数，f(log4a)f(log0.25a)2f(1)可化为f(log4a)f(1)，又f(x)在0，)内单调递增，|log4a|1，log41log4a1log44，a4，故选B名师讲坛素养提升 MING SHI JIANG TAN SU YANG TI S
13、HENG有关对数运算的创新应用问题例6(2020全国新高考，6)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 1rT有学者基于已有数据估计出R03.28，T6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)(B)A1.2天 B1.8天C2.5天 D3.5天解析因为R03.28，T6，T01rT，所以r0.38，所以I(t)er
14、te0.38t，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(tt1)2e0.38t，所以e0.38t12，所以0.38t1ln 2，所以t11.8天故选B名师点拨MING SHI DIAN BO在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式，同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化，有助于提升学生的转化能力和数学运算能力变式训练3里氏震级M的计算公式为Mlg Alg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为6级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10_000倍解析根据题意，由lg 1 000lg 0.0016得此次地震的震级为6级，因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震的最大振幅为A9，则lg A9lg 0.0019，解得A9106，同理5级地震的最大振幅A5102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍