1、13函数的基本性质 13.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性 内容标准学科素养1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性2会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性3会求一些具体函数的单调区间.发展逻辑推理应用直观想象提升数学运算授课提示：对应学生用书第21页基础认识知识点函数的单调性观察下列函数图象：(1)从图象上看，自变量x增大时，函数f(x)的值如何变化？提示：甲图中，函数f(x)的值随x增大而增大乙图中，函数f(x)的值随x增大而减小丙图中，在y轴左侧函数f(x)的值随x的增大而减小；在y轴右侧，函数f(x)的值随x的增大而增大(2)甲、乙图
2、中，若x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系确定吗？在丙图中，大小能确定吗？提示：确定不能确定(3)在丙图中，若x1x2，f(x1)f(x2)，则自变量x属于哪个区间？提示：0，)(4) 在函数y的图象中，在(，0)上函数是减小的，在(0，)上函数也是减小的，函数在它的定义域上是减小的吗？提示：不是 知识梳理1.定义域为I的函数f(x)的增减性2函数单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫作yf(x)的单调区间思考：增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？提示：定义中的x1，x2有以下3个特征(1)
3、任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1x2；(3)属于同一个单调区间自我检测1函数f(x)的图象如图所示，则()A函数f(x)在1,2上是增函数B函数f(x)在1,2上是减函数C函数f(x)在1,4上是减函数D函数f(x)在2,4上是增函数解析：在区间1,2上，函数f(x)的图象由左至右“上升”，即在区间1,2上，f(x)随着x的增大而增大，为增函数答案：A2函数yx2的单调减区间是()A0，)B(，0C(，0) D(，)解析：画出yx2在R上的图象，可知函数在0，)上递减答案：A3若函数f(x)在R上是减函数，且f(a)f
4、(b)，则a与b的大小关系是_解析：由减函数的定义知ab.答案：ab授课提示：对应学生用书第22页探究一利用图象确定函数的单调区间阅读教材P29例1如图是定义在区间5,5上的函数yf(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？题型：由图象确定单调性例1作出函数yx22|x|3的图象并指出它的单调区间解析根据绝对值的意义，yx22|x|3作出函数图象如图所示，根据图象可知，函数在区间(，1，0,1上是增函数；函数在区间(1,0)，(1，)上是减函数方法技巧由图象确定函数单调性的方法及注意事项(1)图象从左向右上升，则函数递增；图象从左向右下降，则函数递减(2)
5、单调区间必须是函数定义域的子集，单调区间之间不能用“”，而应用“，”将它们隔开或用“和”字连接跟踪探究1.求f(x)|x22x3|的单调区间解析：令g(x)x22x3(x1)24.先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f(x)|x22x3|的图象，如图所示由图象易得：函数的递增区间是3，1，1，)；函数的递减区间是(，3，1,1探究二函数单调性的判定与证明阅读教材P29例2物理学中的玻意耳定律p(k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大试用函数的单调性证明之题型：证明函数单调性方法步骤：第1步，取值；第2步，作差；
6、第3步，定号；第4步，结论例2证明函数f(x)x在(2，)上是增函数证明任取x1，x2(2，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)(x1x2).2x1x2，x1x24，x1x240，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)x在(2，)上是增函数方法技巧定义法证明或判断函数单调性的四个步骤跟踪探究2.证明函数f(x)x在(0,1)上是减函数. 证明：设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2)0x1x21，x1x20,0x1x21，则1x1x20，即f(x1)f(x2)，f(x)x在(0
7、,1)上是减函数探究三函数单调性的应用例3已知函数f(x)x2axb.(1)若函数f(x)的图象过点(1,4)和(2,5)，求f(x)的解析式(2)若函数f(x)在区间1,2上不单调，求实数a的取值范围. 解析(1)f(x)x2axb过点(1,4)和(2,5)，解得f(x)x22x5.(2)由f(x)在区间1,2上不单调可知12，即4ag(5x6)”，求实数x的取值范围解析：g(x)在(，)上是增函数，且g(2x3)g(5x6)，2x35x6，即x3.所以实数x的取值范围为(，3)方法技巧函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的
8、单调性可以确定函数中参数的取值范围(2)若一个函数在区间a，b上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的授课提示：对应学生用书第23页课后小结1证明函数的单调性时要注意以下几点(1)用定义证明函数单调性时，易忽视x1，x2的任意性(2)要证明f(x)在a，b上不是单调函数，只要举出一个反例即可(3)函数单调性的证明现在只能用定义证明2判断函数的单调性可用定义法、直接法、图象法3已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识：如f(x)在D上递增，则f(x1)f(x2)x1x2.二是数形结合意识：如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题素养培优1忽视函
9、数定义域致误已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，则实数a的取值范围是_易错分析： 解答本题易忽视函数的定义域对1a和2a1取值范围的限制，导致扩大实数a的取值范围致误自我纠正：由题意可知解得0a1.又f(x)在(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，1a2a1，即a.由可知，0a，即所求a的取值范围是0a.答案：0a2对“单调区间”和“在区间上单调”两个概念理解错误而致误若函数f(x)x22(a1)x2的单调递减区间是(，4，求实数a的取值范围易错分析：函数f(x)的图象的对称轴为直线x1a，由于函数在区间(，4上单调递减，因此1a4，解得a3.自我纠正：函数f(x)的图象的对称轴为直线x1a.因为函数的单调递减区间是(，4，所以1a4，解得a3.故实数a的取值范围是3
