1、第二讲排列与组合知识梳理双基自测知识点一排列与排列数(1)排列的定义：从n个_不同_元素中取出m(mn)个元素，按照一定的_顺序_排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的_所有不同排列_的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号_A_表示(3)排列数公式：A_n(n1)(n2)(nm1)_(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，An(n1)(n2)21_n！_排列数公式写成阶乘的形式为A，这里规定0！_1_知识点二组合与组合数(1)组合的定义：一般地，从n个_不同_元素中取出m(m
2、n)个元素_合成一组_，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的_所有不同组合_的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号_C_表示(3)组合数的计算公式：C，这里规定C_1_(4)组合数的性质：C_C_；C_C_C_注：应用公式化简、求值、解方程、解不等式时，注意A、C中的隐含条件mn，且m，nN对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不
3、合要求的排列数或组合数题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序()(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同()(4)(n1)！n！nn！()(5)若组合式CC，则xm成立()(6)kCnC()题组二走进教材2(P27A组T716)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(D)A144B120C72D24解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A43224题组三走向高考3(2017全国卷)安排3名志愿者完成4项工
4、作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(D)A12种B18种C24种D36种解析4项工作分成3组，可得：C6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：6A36种，故选D4(2018浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成_1_260_个没有重复数字的四位数(用数字作答)解析从1,3,5,7,9中任取2个数字有C种方法，从2,4,6,0中任取2个数字不含0时，有C种方法，可以组成CCA720个没有重复数字的四位数；含有0时，0不能在千位位置，其它任意排列，共有CCCA540，故一共可以组成1 2
5、60个没有重复数字的四位数，故答案为：1 2605(2018新课标)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_16_种(用数字填写答案)解析解法一：从2位女生，4位男生中选3人，且至少有1位女生入选的情况有以下2种：2女1男：有CC4种选法；1女2男：有CC12种选法，故至少有1位女生入选的选法有41216种解法二：从2位女生，4位男生中选3人有C20种选法，其中选出的3人都是男生的选法有C4种，所以至少有1位女生入选的选法有20416种考点突破互动探究考点一排列问题自主练透例1有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法总数，分别为：(1)选
6、其中5人排成一排；_2_520_(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；_5_040_(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；_3_600_(4)全体排成一排，女生必须站在一起；_576_(5)全体排成一排，男生互不相邻；_1_440_(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；_720_(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；_2_520_(8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端_3_720_解析 (1)从7个人中选5个人来排，是排列，有A 765432 520(种)(2)分两步完成，先选3人排在前排，有A种方法，余下4人排在后排，有A种方法，故共有AA5 040(种)事实上，本小题
7、即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件(3)优先法：解法一：(元素分析法)甲为特殊元素先排甲，有5种方法；其余6人有A种方法，故共有5A3 600种解法二：(位置分析法)排头与排尾为特殊位置排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有A种方法，中间5个位置由余下5人进行全排列，有A种方法，共有AA3 600种(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A种方法，再将4名女生进行全排列，也有A种方法，故共有AA576种(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾空出5个空位中任选3个空位排男生，有A种方法，故共有AA1 440种(
8、6)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人，有A种方法；第二步从余下5人中选3人排在甲、乙中间，有A种；第三步把这个整体与余下2人进行全排列，有A种方法故共有AAA720种(7)消序法：2 520(8)间接法：A2AA3 720位置分析法：分甲在右端与不在右端两类甲在右端的排法有A(种)排法，甲不在右端的排法有55A(种)排法，共有A25A3 720(种)引申本例中7人排一排，(1)甲站中间的站法有_720_种；(2)甲、乙相邻且丙不站排头和排尾的站法有_960_种；(3)甲、乙相邻且都与丙不相邻的站法有_960_种解析(1)AA720；或A720(2)AAA960；(3)AAA
9、960名师点拨求解排列应用问题的6种主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法变式训练1(1)(2021广东深圳宝安区调研)某车队有6辆车，现要调出4辆按一定的顺序出去执行任务，要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，则共有_72_种不同的调度方法(用数字填写答案)(2)(2020广西兴
10、宁、南宁三中期末)2020年3月31日，某地援鄂医护人员A，B，C，D，E，F,6人(其中A是队长)圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻，而BD不相邻的排法种数为(D)A36种B48种C56种D72种解析(1)CCA72或C72(2)领导和队长站在两端，有A2种情况，中间5人分2种情况讨论：若BC相邻且与D相邻，有AA12种安排方法，若BC相邻且不与D相邻，有AAA24种安排方法，则中间5人有122436种安排方法，则有23672种不同的安排
11、方法；故选D考点二组合问题师生共研例2(1)(2021广东中山模拟)从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(B)A85B49C56D28(2)(2021福建宁德联考)福建省第十六届运动会于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间将A，B，C，D，E，F这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作若要求A，B必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有(D)A15种B18种C20种D22种解析(1)丙没有入选，可把丙去掉，总人数变为9个甲、乙至少有1人入选，可分为两类：一类是甲、乙两人只选一人的选法有CC42(种)，另一类是甲、乙
12、都入选的选法有CC7(种)，根据分类加法计数原理知共有42749(种)(2)先从两个不同的地点选出一地点分配A，B两人，有C2(种)情况，再将剩余4人分入两地有三种情况，4人都去A，B外的另一地点，有1种情况；有3人去A，B外的另一地点，有C4(种)情况；有2人去A，B外的另一地点，有C6(种)情况综上，共有2(146)22(种)，故选D引申本例(1)中，甲、乙恰有1人入选的选法有_56_种；甲、乙都不入选的选法有_56_种解析CC56C56名师点拨组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素
13、剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理变式训练2(1)(2020海南省联考)楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为(A)A10B15C20D24(2)(2021江苏南通质检)我国进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配23艘驱逐舰，12艘核潜艇船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为(D)A30B60C9
14、0D120解析(1)问题等价于将这3盏关着的灯插入4盏亮着的灯形成的5个空档中，所以关灯方案共有C10种(2)有两种情况，一艘航母配2艘驱逐舰和1艘核潜艇，另一艘航母配3艘驱逐舰和2艘核潜艇，一艘航母配2艘驱逐舰和2艘核潜艇，另一艘航母配3艘驱逐舰和1艘核潜艇，C(CCCC)120，故选D考点三排列、组合的综合应用多维探究角度1相邻、相间问题例3(1)(2021河北省衡水中学调研)某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有_120_种(2)(2021湖南师范大学附属中学模拟)某班上
15、午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是(A)A16B24C8D12解析(1)当甲在首位，丙、丁捆绑，自由排列，共有AA48种；当甲在第二位，首位不能是丙和丁，共有3AA36种；当甲在第三位，前两位分为是丙、丁和不是丙、丁两种情况，共AAAAA36种，因此共483636120种(2)根据题意，分三步进行分析，要求语文与化学相邻，将语文和化学看成一个整体，考虑其顺序，有A2(种)情况；将这个整体与英语全排列，有A2(种)情况，排好后，有3个空位；数学课不排第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选
16、1个，安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有224(种)，则不同排课方案的种数是22416，故选A角度2特殊元素(位置)问题例4(1)(2021重庆模拟)从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为(D)A48B72C90D96(2)(2021山东质检)高三一班周一上午有四节课，分别安排语文、数学、英语和体育其中语文不安排在第一节，数学不安排在第二节，英语不安排在第三节，体育不安排在第四节，则不同的课表安排方法共有_9_种解析(1)由于甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场竞赛或甲不参加任何竞赛当甲参加另外3场竞赛时，共有C
17、A72(种)选择方案；当甲学生不参加任何竞赛时，共有A24(种)选择方案综上所述，所有参赛方案有722496(种)(2)由于四个元素都有特殊要求，不宜从排列、组合数公式入手，列表法为佳，如：第一节第二节第三节第四节数学语文体育英语英语体育语文体育语文英语同理第一节排英语、体育也都有3种排法，故共有9种排法引申本例(1)若增加“且乙不参加数学竞赛”，则不同的参赛方法种数为_78_解析甲、乙都参赛有C(ACCA)42种方案；甲参赛乙不参赛或乙参赛甲不参赛均有AC18种方案；共有42181878种参赛方案角度3分组、分配问题例5(1)按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？将答案填在对
18、应横线上分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；_60_甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；_360_平均分成三份，每份2本；_15_平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；_90_；分成三份，1份4本，另外两份每份1本；_15_甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；_90_甲得1本，乙得1本，丙得4本_30_(2)8个相同的小球放入5个不同盒子中，每盒不空的放法共有_35_种15个小球完全相同，放入编号依次为1,2,3的三个不同盒子中，若每个盒子内的小球数不少于盒子的编号，则不同放法有_55_种解析(1)CCC60；CCCA360；15；CCC90；C15；CA90
19、；CCC30(2)一共有8个相同的小球，放入5个不同的盒子，每个盒子不空，即将小球分成5份，每份至少1个(定分数)将8个小球摆放一列，形成9个空，中间有7个空，(定空位)则只需在这7个空中插入4个隔板，隔板不同的放法有CC35(种)，(插隔板)所以每盒不空的放法共有35种先将2号盒内放一个球，3号盒内放2个小球，还剩余12个小球，用隔板法将12个小球分成3组，每组至少1个小球，共有C55种分法，亦即有55种不同放法名师点拨解排列组合综合问题的方法先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需三步即可完成第一步：选元素，即选出符合条件的元素；第二步：进行排列，即把选出的
20、元素按要求进行排列；第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数注意：(1)均匀分组时要除以均匀组数的阶乘；(2)相同元素的分配问题常用“隔板法”隔板法的解题步骤(1)定个数：确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数量(2)定空位：将元素排成一列，确定可插隔板的空位数(3)插隔板：确定需要的隔板个数，根据组数要求，插入隔板，利用组合数求解不同的分法种数(4)回顾反思：隔板法的关键在于准确确定空位个数以及需要的隔板个数，使用这种方法需要注意两个方面的问题：一是要根据题意确定能否转化为“每组至少一个”的问题，以便确定能否利用隔板法；二是要注意准确确定空位数以及需要的隔板
21、数，一般来说，两端不能插隔板变式训练3(1)(角度1)(2021山西联考)某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念，已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有_16_种(2)(角度2)(2021陕西汉中质检)将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(B)A36种B42种C48种D60种(3)(角度3)(2021浙江绍兴柯桥中学测试)为抗击新冠疫情，5名专家前往支援三家定点医院，要求每家医院至少分到一名专家，则不同的分配方案有_150_种解析(1)先排男生甲有C种方法，再排男生乙
22、有C种方法，最后排两女生有A种方法，故共有CCA16种方法另解(间接法)：农场主人在中间共有A24种站法，农场主人在中间，两名男生相邻共有2AA8种站法，故所求站法共有24816种(2)根据题意，最左端只能排甲或乙，可分为两种情况讨论：甲在最左端，将剩余的4人全排列，共有A24种不同的排法；乙在最左端，甲不能在最右端，有3种情况，将剩余的3人全排列，安排好在剩余的三个位置上，此时共有3A18种不同的排法，由分类加法计数原理，可得共有241842种不同的排法，故选B(3)5名专家前往支援三家定点医院，要求每家医院至少分到一名专家，则有两种情况，将5名专家分成三组，一组3人，另两组都是1人，有C1
23、0种方法，再将3组分到3个医院，共有10A60种不同的分配方案，将5名专家分成三组，一组1人，另两组都是2人，有15种方法，再将3组分到3个医院，共有15A90种不同的分配方案，根据分类加法计算原理可得一共有6090150种不同的分配方案名师讲坛素养提升排列组合的其它类型及解法1限制条件的分配问题分类法：例1某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：若甲乙都不参加，则有派遣方案A种：若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余
24、学生有A方法，所以共有3A；若乙参加而甲不参加同理也有3A种；若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人中两人到另外两个城市有A种，共有7A方法，所以共有不同的派遣方法总数为A3A3A7A4 088种2多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计3多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例28个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？解析看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有A种，其余5
25、个元素任排5个位置上有A种，故共有AAA 5 760种排法4“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：例3(2020北京海淀区二模)某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有_84_种不同的抽调方法解析解法一：(分类法)，在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C种；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A种；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C种故共有CAC84种抽调方法解法二：(隔板法)，由于每个车队的车辆均多于4辆，只需将10个份额分成7份可将10个
26、小球排成一排，在相互之间的9个空当中插入6个隔板，即可将小球分成7份，故共有C84种抽调方法5选排问题先取后排：从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法例4(1)四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？解析先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C种，再排：在四个盒中每次排3个有A种，故共有CA 144种6部分合条件问题排除法：在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求例5四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有(D)A150种B147种C144种D141种解析
27、10个点中任取4个点共有C种，其中四点共面的有三种情况：在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为C，四个面共有4C个；过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；过棱上三点与对棱中点的三角形共6个所以四点不共面的情况的种数是C4C36141种7圆排问题单排法：把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序(例如按顺时钟)不同的排法才算不同的排列，而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n个普通排列：a1，a2，a3，an；a2，a3，a4，an，a1；a3，a4，an，a1，a2；在圆排中是同一排法8元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法：例6设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？解析从5个球中取出2个与盒子对号有C种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3,4,5号球与3,4,5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4,5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4,5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为2C20种