1、第七讲离散型随机变量的分布列、期望与方差知识梳理双基自测知识点一离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为_随机变量_，所有取值可以一一列出的随机变量，称为_离散型_随机变量知识点二离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则表Xx1x2xixnPp1p2pipn称为离散型随机变量X的_概率分布列_，简称为X的分布列(2)离散型随机变量的分布列的性质pi0(i1,2，n)；pi_p1p2pn_1.知识点三离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P(Xxi)pi，i
2、1，2，n.(1)均值：称E(X)_x1p1x2p2xipixnpn_为随机变量X的均值或数学期望(2)方差：称D(X) (xiE(X)2pi为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的_标准差_.(3)均值与方差的性质E(aXb)_aE(X)b_.D(aXb)_a2D(X)_.*D(X)E(X2)(E(X)2.知识点四常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为X01P1pp其中pP(X1)称为成功概率若X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p)(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(Xk)，k0,1,2，m，
3、其中mminM，n，且nN、MN，n、M、NN，称随机变量X服从超几何分布.X01mP1若X是随机变量，则YaXb(a，b是常数)也是随机变量2随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量()(2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的()(4)由下列给出的随机变量X的分布列服从二点分布()X25P0.30.7(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布()(6)某人射击时
4、命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布()题组二走进教材2(P77A组T1改编)(此题为更换后新题)设随机变量X的概率分布列为X1234Pm则P(|X3|1)_.解析由m1，解得m，P(|X3|1)P(X2)P(X4).2(P77A组T1改编)(此题为发现的重题，更换新题见上题)设随机变量X的概率分布列为X1234Pm则P(|X3|1)_.解析由m1，解得m，P(|X3|1)P(X2)P(X4).3(P49A组T1)有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是_0,1,2,3_.解析因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取
5、出的次品数X的可能取值为0,1,2,3.题组三走向高考4(2020浙江)盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止设此过程中取到黄球的个数为，则P(0)_，E()_1_.解析由题意知，随机变量的可能取值为0,1,2；计算P(0)；P(1)；P(2)；所以E()0121.故答案为，1.5(2020课标，3)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且i1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是(B)Ap1p40.1，p2p30.4Bp1p40.4，p2p30.1Cp1p40.2，p2p30.3Dp1p4
6、0.3，p2p30.2解析根据均值E(X)ipi，方差D(X)xiE(X)2pi，标准差最大即方差最大，由各选项对应的方差如下表选项均值E(X)方差D(X)A2.50.65B2.51.85C2.51.05D2.51.45由此可知选项B对应样本的标准差最大，故选B考点突破互动探究考点一离散型随机变量分布列的性质自主练透例1 (1)(2021河南南阳联考)随机变量的概率分布规律为P(Xn)(n1,2,3,4)，其中a为常数，则P(X)的值为(D)ABCD(2)(2021银川质检)若随机变量的分布列如表所示，E()1.6，则ab(B)0123P0.1ab0.1A0.2B0.2C0.8D0.8解析(1
7、)P(Xn)(n1,2,3,4)，a1，即a1，a，PP(X2)P(X3).(2)易知a，b0,1，由0.1ab0.11，得ab0.8，由E()00.11a2b30.11.6，得a2b1.3，所以a0.3，b0.5，则ab0.2.名师点拨(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，要注意检查每个概率值均为非负数(2)求随机变量在某个范围内的概率，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的概率值相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式变式训练1(2020天津和平区期末)设随机变量X的概率分布列如下表，则随机变量X的数学期望E(X)_.X1234Pm解析m1，所以m.所以E(X)1234.考点二离散
8、型随机变量的期望与方差多维探究例2 角度1期望、方差的简单计算(1)设随机变量X的分布列为P(Xk)(k1,2,3,4,5,6)，则E(X)_3.5_，E(2X3)_10_，D(X)_，D(3X1)_.解析E(X)x1p1x2p2x3p3x6p63.5，E(2X3)2E(X)310.D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(x6E(X)2p6(13.5)2(23.5)2(63.5)217.5.D(3X1)9D(X).角度2期望、方差与函数性质(2)(2019浙江卷，7)设0a1.随机变量X的分布列是X0a1P则当a在(0,1)内增大时，(D)AD(X)增大BD(X)减小CD(X)先增大
9、后减小DD(X)先减小后增大解析随机变量X的期望E(X)0a1，D(X)(a2a1)2，当a时，D(X)单调递减，当x时，D(X)单调递增，故选D角度3实际问题中的期望、方差问题(3)(2021天津红桥区期中)某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，规定：每位顾客从袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额求顾客所获的奖励额为60元的概率；求顾客所获的奖励额的分布列及数学期望解析设顾客所获取的奖励额为X，依题意，得P (X60)，即顾客所获得奖励额为60元的概率为.依题意得X得所有可能取值为20
10、,60，P(X60)，P(X20)，即X的分布列为X2060P所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)206040.(4)(入座问题)有编号为1,2,3，n的n个学生，入座编号为1,2,3，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X2时，共有6种坐法(1)求n的值；(2)求随机变量X的数学期望和方差解析(1)由题意知C6，解得n4.(2)X所有可能取值为0,2,3,4，又P(X0)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，随机变量X的分布列为X0234PE(X)02343，D(X)(30)2(32)2(33)2(34)21.名师点拨求离散型随
11、机变量的分布列、期望与方差，应按下述步骤进行：(1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；(2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率；(3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证；(4)根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算说明：求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意计数原理、排列组合及常见概率模型变式训练2(1)(角度1)(2021江苏镇江调研)随机变量的分布如下表，则E(54)_13_.024P0.40.30.3(2)(角度2)(2021广东深圳宝安区调研)设0a1，离散型随机变量X的分布列如下，则当a在内增大时
12、(D)X012PAD(X)增大BD(X)减小CD(X)先减小后增大DD(X)先增大后减小(3)如图，A、B两点由5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2，现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为.写出最大信息总量的分布列；求最大信息总量的数学期望解析(1)由题意知E()20.340.31.8，E(54)5E()413.(2)由题意：E(X)012a，所以D(X)222a2a2，因为，所以D()先增后减，故选D(3)由已知，的取值为7,8,9,10，P(7)，P(8)，P(9)，P(10).的概率分布列为78910PE()789108.4.考点三超几
13、何分布师生共研例3 (2017山东卷改编)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列解析(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则
14、P(M).(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).因此X的分布列为X01234P引申1用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，则X的分布列为_.解析由题意可知X的取值为1,2,3,4,5，则P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，P(X5).因此X的分布列为X12345P引申2用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，则X的分布列为_.解析由题意知X可取的值为3,1，1，3，5.则P(X3)，P(X1)，P(X1)，P(X3)，P(X5)，因此X的分布列为X31135P名师点拨1超几何分布的两个特点：(
15、1)超几何分布是不放回抽样问题；(2)随机变量为抽到的某类个体的个数2超几何分布的应用：超几何分布属于古典概型，主要应用于抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型变式训练3(2021安徽省淮北市模拟)有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下现调查表明，石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性，分别用a、b、c表示石榴甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标abc的值评定石榴的等级，若4则为一级；若23则为二级；若01则为三级近年来，周边各地市也开始发
16、展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边地市的种植情况，研究人员从不同地市随机抽取了12个石榴种植园，得到如下结果：种植园编号ABCDEF(a，b，c)(1,0,0)(2,2,1)(0,1,1)(2,0,2)(1,1,1)(1,1,2)种植园编号GHIJKL(a，b，c)(2,2,2)(0,0,1)(2,2,1)(0,2,1)(1,2,0)(0,0,2)(1)若有石榴种植园120个，估计等级为一级的石榴种植园的数量；(2)在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取2个，表示取到三级石榴种植园的数量，求随机变量的分布列及数学期望解析(1)计算12个石榴种植园的综合指标，可得下表编号ABCDEFGHIJK
17、L综合指标152434615332由上表可知等级为一级的有5个，所以等级为一级的频率为，所以120个石榴种植园中一级种植园约有50个(2)由题意可以取0、1、2，其中P(0)，P(1)，P(2)，的分布列为012P故E()012.名师讲坛素养提升离散型随机变量与统计综合例4 (2021吉林长春实验中学期中)某学校为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查(满分100分，最低分20分)根据检查结果：得分在80,100评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在60,80)评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在40,60)评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在20,4
18、0)评定为“差”，不奖励小红旗已知统计结果的部分频率分布直方图如图：(1)依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；(2)学校用分层抽样的方法，从评定等级为“优”、“良”、“中”、“差”的班级中抽取10个班级，再从这10个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，记抽样复核的2个班级获得的奖励小红旗面数和为X，求X的分布列与数学期望E(X)解析(1)得分20,40)的频率为0.005200.1；得分40,60)的频率为0.010200.2；得分80,100的频率为0.015200.3；所以得分60,80)的频率为1(0.10.20.3)0.4.设班级得分的中位数为x分，于
19、是010.20.40.5，解得x70.所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70.(2)由(1)知题意“优”、“良”、“中”、“差”的频率分别为0.3，0.4,0.2,0.1.又班级总数为40.于是“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为12,16,8,4.分层抽样的方法抽取的“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为3,4,2,1.由题意可得X的所有可能取值为1,2,3,4,5,6P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6)，所以X的分布列为X123456PE(X)123456.所以X的数学期望E(X).变式训练4(2021湖南湘潭模拟)为了解贵州省某州2
20、020届高三理科生的化学成绩的情况，该州教育局组织高三理科生进行了摸底考试，现从参加考试的学生中随机抽取了100名理科生，将他们的化学成绩(满分为100分)分为40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,1006组，得到如图所示的频率分布直方图(1)求a的值；(2)记A表示事件“从参加考试的所有理科生中随机抽取一名学生，该学生的化学成绩不低于70分”，试估计事件A发生的概率；(3)在抽取的100名理科生中，采用分层抽样的方法从成绩在60,80)内的学生中抽取10名，再从这10名学生中随机抽取4名，记这4名理科生成绩在60,70)内的人数为X，求X的分布列与数学期望解析(1)(0.0050.0100.0200.030a0.010)101，a0.025.(2)成绩不低于70分的频率为(0.0300.0250.010)100.65，事件A发生的概率约为0.65.(3)抽取的100名理科生中，成绩在60,70)内的有1000.0201020人，成绩在70,80)内的有1000.0301030人，故采用分层抽样抽取的10名理科生中，成绩在60,70)内的有4人，在70,80)内的有6人，由题可知，X的可能取值为0,1,2,3,4，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).X的分布列为X01234PE(X)01234.