1、福建省泉州市南安一中2019-2020学年高一数学上学期第一次阶段考试试题（含解析）一、单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知全集，集合，图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可知，阴影部分所表示的元素属于，不属于，结合所给的集合求解即可确定阴影部分所表示的集合.【详解】由已知中阴影部分在集合中，而不在集合中，故阴影部分所表示的元素属于，不属于（属于的补集），即.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，Venn图及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.在函数中，若
2、，则的值为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令分段函数每一段表达式的值等于，由此解出的值，注意的取值范围.【详解】当时，无解.当时解得.当时，无解.故的值为.故本小题选C.【点睛】本小题主要考查已知分段函数函数值求对应的自变量的值，属于基础题.3.下列各组函数相等的是()A. 和B. 和()C. 和D. 和【答案】D【解析】【分析】根据相等函数的概念，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】对于A中，函数和对应法则不同，所以不是相等的函数；对于B中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，所以不是相等的函数；对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是
3、相等的函数；对于D中，函数和的定义域和对应法则都相同，是相等的函数.故选D.【点睛】本题主要考查了相等函数的概念及应用，考查了函数的定义域及解析式的化简，准确判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.4.已知集合，且，则实数的值为 （）A. 3B. 2C. 0或3D. 0或2或3【答案】A【解析】【分析】根据元素与集合的关系，分类讨论，并验证集合元素的互异性，即可求解.【详解】由题意，知，可得（1）当时，不满足集合元素的互异性，舍去；（2）当，解得或，当是不满足元素的互异性，舍去，当时，此时集合，符合题意.故选A.【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系的应用，以及集合中
4、元素的性质的应用，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题.5.若解集为，则对于函数，有（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系可得且，从而将函数化为；根据开口方向和自变量距离对称轴的距离远近可得到函数值的大小关系.【详解】由题意知：和为的两根且，解得： 为开口向上的二次函数，对称轴为：又 本题正确选项：【点睛】本题考查函数值的比较问题，关键是能够根据一元二次不等式与一元二次方程的关系将函数化为二次函数，根据二次函数的对称性和单调性得到函数值的大小关系.6.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分
5、析】先求得，再利用集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，所以.故选D.【点睛】本题主要考查了集合交集的运算，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.若定义运算ab，则函数f(x)x(2x)的值域为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题的实质是实数，哪个数小就取那个数，只需比较与的大小即可，就可研究出函数的值域【详解】解：在上单调递增，在上单调递减，故选：B。【点睛】本题考查了分段函数的值域问题，“分段函数”是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，它是一个函数，其定义域是各段定义
6、域的并集，值域是各段值域的并集，解决分段函数的基本策略是：分段解决8.函数在区间上为减函数，则的取值范围为 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据一次函数和二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解，得到答案。【详解】函数在区间上为减函数，（1）当时，可得，解得，所以；（2）当时，函数的图象的开口向下，函数在区间上不能为减函数；（3）当时，函数，满足函数在区间上为减函数，综上所述，实数的取值范围是，故选B。【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，以及函数的单调性的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与计
7、算能力，属于基础题。9.已知偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的性质，结合题意画出函数的大致图像，由此列不等式，解不等式求得的的取值范围.【详解】由于偶函数在上单调递减，且，所以函数在上递增，且，画出函数大致图像如下图所示，由图可知等价于，解得.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查偶函数的图像与性质，考查利用奇偶性解抽象函数不等式，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.10.已知函数，当时，取得最小值，则等于（）A. -3B. 2C. 3D. 8【答案】C【解析】【分析】配凑成可用基本不等式的形式。计算出最值与取最值时
8、的x值。【详解】当且仅当即时取等号，即【点睛】在使用均值不等式时需注意“一正二定三相等”缺一不可。二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分。在每小题给出的四个选项中，至少有2个选项符合题目要求。作出的选择中，不选或含有错误选项的得0分，只选出部分正确选项的得2分，正确选项全部选出的得4分11.下列命题中是真命题的有（ ）A. 幂函数的图象都经过点和B. 幂函数的图象不可能过第四象限C. 当时，幂函数是增函数D. 当时，幂函数在第一象限内函数值随值的增大而减小【答案】BD【解析】【分析】根据幂函数的图象与性质，以及合理利用举反例的方法，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，对于A中，例
9、如幂函数的图象不经过点，所以不正确；对于B中，根据函数的概念，可得幂函数的图象不可能过第四象限是正确的；对于C中，例如幂函数在其定义域上不是单调函数，所以不正确；对于D中，根据幂函数的图象与性质，可得当时，幂函数在第一象限内是减函数，所以是正确的.故选BD.【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的判定及应用，其中解答中熟记幂函数的图象与性质，以及合理利用举反例进行逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.12.下列求最值的运算中，运算方法错误的有（ ）A. 当时，故时，的最大值是.B. 当时，当且仅当取等，解得或，又由，所以取，故时，的最小值为C. 由于，故的最小
10、值是2D. 当，且时，由于，又，故当，且时，的最小值为4【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式使用条件，取等号的条件和利用基本不等式求最值的方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，根据基本不等式，可判定是正确的；对于B中，当时，当且仅当取等，即时，最小值为，所以B不正确；对于C中，由于，当且仅当，即时，此时不成立，所以C项不正确；对于D中，两次基本不等式的等号成立条件不相同，第一次是x=4y，第二次是x=y，所以不正确.故选BCD.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件和等号成立的条件，以及基本不等式求最值的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能
11、力，属于基础题.13.设函数，则下列结论正确的是（ ）A. 当时，函数在上有最小值；B. 当时，函数在上有最小值；C. 对任意的实数，函数的图象关于点对称；D. 方程可能有三个实数根.【答案】CD【解析】【分析】对于A中，当时，函数，转化为二次函数的性质，即可判定；对于B中，当时，函数的值域为，即可判定；对于C中，根据函数的图象关于原点对称，利用平移即可判定；对于D中，令，即可判定.【详解】对于A中，当时，函数，函数在上为单调递增函数，函数的值域为，所以函数在上没有最小值，所以A不正确；对于B中，当时，函数的图象，如图所示，此时函数的值域为，所以函数在上没有最小值，所以B不正确；对于C中，函数
12、，满足，所以函数的图象关于原点对称，又由函数的图象是由函数沿轴平移个单位，所以函数的图象关于对称，所以C正确；对于D中，令，则，解得，所以D正确.故选CD.【点睛】本题主要考查了分段函数的性质，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记函数的基本性质，以及熟练应用二次函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分将答案填在答题卡的相应位置14.已知函数f(x)|xa|在(，1)上是单调函数，则a的取值范围是_【答案】(，1【解析】【分析】先求出函数f(x)增区间，根据(，1)是增区间的子集求解可得所求【详解】由题意可得函数f
13、(x)的单调递增区间为(，a)，因为函数f(x) 在(，1)上是单调函数，所以，所以，解得所以a的取值范围是(，1【点睛】解题时注意“函数的增区间是”与“函数在区间上单调递增”这两种说法的区别，其中“函数在区间上单调递增”说明区间是函数增区间的子集15.已知，则不等式的解集是_.【答案】【解析】【分析】先求f（1），依据x的范围分类讨论，求出不等式的解集.【详解】f（1）=3，已知不等式f（x）f（1）则f（x）3如果x0 则 x+63可得 x-3，可得-3x0如果 x0 有x2-4x+63可得x3或 0x1综上不等式的解集：（-3，1）（3，+）【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，以及分类
14、讨论的思想,解与分段函数有关的不等式，要注意不同取值区间所对应的表达式,16.对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】分别在和两种情况下进行讨论，当时，根据二次函数图像可得不等式组，从而求得结果.【详解】当，即时，不等式为：，恒成立，则满足题意当，即时，不等式恒成立则需：解得：综上所述：本题正确结果：【点睛】本题考查不等式恒成立问题的求解，易错点是忽略不等式是否为一元二次不等式，造成丢根；处理一元二次不等式恒成立问题的关键是结合二次函数图象来得到不等关系，属于常考题型.17.已知ab0，且ab4，则取得最小值时相应的b=_.【答案】【解析】【分析】对于分式型求最值
15、时，可先考虑按分母变形分子，化简后是均值不等式的形式，则可求解.【详解】因为ab，所以ab0，所以，当且仅当ab时，等号成立，此时ab，又因为ab4，所以(+b)b4，解得b，因为b0，所以b【点睛】本题考查均值不等式，但做题时注意运用按分母变形分子的思想，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共82分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知全集，集合，.（1）求，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根距集合的补集和交集的运算，即可求解，得到答案.（2）由，则，得到，即可求解，得到答案.【详解】（1）由题意，全集，集合，所以或，.（2）因为
16、，则，所以，解得，所以实数的取值范围.【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中熟记集合的运算方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19.已知函数（1）求的值；（2）在网格中画出函数的图象并写出的值域；（3）若方程恰有三个实根，求的取值范围（直接写出答案即可）【答案】（1）-1；（2）图见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据分段函数的解析式，依次求得的值，即可求得的值；（2）根据一次、二次函数的图象与性质，即可得到函数的图象，求得值域；（3）结合函数的图象，即可求得方程恰有三个实根，求的取值范围.【详解】（1）由题意，函数，因为，所以，又由，所以，又由，所以，所
17、以（2）图象如图所示，所以函数的值域为（3）由（2），方程恰有三个实根，结合图象，可得，即当时，方程恰有三个实根【点睛】本题主要考查了分段函数解析式的求解及的应用，其中解答中正确作出分段函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算求解能力，属于基础题.20.已知定义在区间上的函数为奇函数（1）求实数的值；（2）判断并证明函数在区间上的单调性；（3）解关于的不等式【答案】（1）；（2）在区间上是增函数，见解析；（3）【解析】【分析】（1）由函数是在区间上的奇函数，得到，即可求解；（2）根据函数的单调性的定义，即可证得函数在区间上是增函数（3）由为奇函数，得到，再由函数在
18、区间上是增函数，得到不等式组，即可求解.【详解】（1）由题意，函数是在区间上的奇函数，所以，即函数，经检验符合题意，所以实数的值（2）设，则，因为， 则，所以，即，所以函数在区间上是增函数（3）因为，且为奇函数，所以又由函数在区间上是增函数，所以，解得， 故关于的不等式的解集为【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟记函数的单调性的定义和判定方法，以及熟练应用函数的奇偶性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21.设函数与的定义域都是且,是偶函数, 是奇函数,且.（1）求和的解析式 ；（2）求的值.【答案】（1），；（2）0【解析】【分析】（1）由，则, 联立
19、方程组，即可求解函数的解析式；（2）由，得到，即可求得相应值.【详解】（1）由题意，因为，则, 因为是偶函数，是奇函数，所以，联立方程组，求得，.（2）因为 所以,所以 , 所以 .【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性，求得函数的解析式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.22.某公园有一个底面是矩形的建筑，如图，现在要将矩形区域扩大成更大的矩形，以便在建筑两面种植花草，要求站在点位置能够看到点位置，即在一条直线上，已知米，米(1)要使矩形面积大于32m2，则的长应该在什么范围？(2)当的长是多少米时，矩形面积最小，并求出最小面积.【答案】（1
20、）；（2）当米时，矩形的面积最小，最小面积为24 .【解析】【分析】（1）设米，则，由相似得，得面积表达式解不等式即可；（2）利用基本不等式求最值即可【详解】(1)设米，则，由相似得 则矩形的面积由题意，即，解得或所以长的取值范围是.(2)要使面积最小，即，当时取得最小值，所以，当米时，矩形的面积最小，最小面积为24 m2.【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，确定函数的解析式是关键23.设函数（1）若，且，求的最小值；（2）若，且在上恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；(2)【解析】【分析】（1）由，求得，利用基本不等式，即可求解的最小值； （2）由，求得，得到
21、不等式在上恒成立，等价于是不等式解集的子集，分类讨论求得不等式的解集，进行判定，即可求解.【详解】（1）函数，由，可得，所以，当时等号成立，因为，解得时等号成立，此时的最小值是. （2）由，即，又由在上恒成立，即在上恒成立，等价于是不等式解集的子集，当时，不等式的解集为，满足题意；当时，不等式的解集为，则，解得，故有；当时，即时，不等式的解集为，满足题意； 当时，即时，不等式的解集为，不满足题意，（舍去），综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，以及一元二次不等式的恒成立问题的求解，其中解答中熟记基本不等式的应用，以及熟练应用一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.