1、第七节函数的图象学习要求:1.会运用函数图象理解和研究函数的性质.2.培养学生直观想象的数学核心素养.1.描点法作图方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、周期性、单调性、最值,甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象.2.图象变换(1)平移变换:(2)伸缩变换:y=f(x)y=f(x);y=f(x)y=Af(x).(3)对称变换:y=f(x)y=-f(x);y=f(x)y=f(-x);y=f(x)y=-f(-x).(4)翻折变换:y=f(x)y=f(|x|);y=f(x)y=|f(x)|.知识拓展函数图象对称变换的相关结论(1)y=f(x
2、)的图象关于直线y=x对称的图象是函数y=f(x)-1的图象.(2)y=f(x)的图象关于直线x=m对称的图象是函数y=f(2m-x)的图象.(3)y=f(x)的图象关于直线y=n对称的图象是函数y=2n-f(x)的图象.(4)y=f(x)的图象关于点(a,b)对称的图象是函数y=2b-f(2a-x)的图象.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到函数y=f(-x-1)的图象.()(2)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.()(3)函数y=f(|x|)的图象关于y轴对称.()(4)
3、函数y=af(x)与y=f(ax)(a0,且a1)的图象相同.()答案(1)(2)(3)(4)2.下列是函数y=x2,x0,x-1,x0的图象的是()答案C3.甲、乙二人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步,乙先跑步到中点再改为骑自行车,最后两人同时到达B地.已知甲骑车的速度比乙骑车的速度快,且两人骑车速度均大于跑步速度.现将两人离开A地的距离S与所用时间t的函数关系用图象表示,则下列给出的四个函数图象中,甲、乙的图象应该是() A.甲是图,乙是图B.甲是图,乙是图C.甲是图,乙是图D.甲是图,乙是图答案B4.已知函数f(x)的图象如图,则f(x)=.答案x+1,x-1,0-
4、12x,x(0,25.函数y=5x与函数y=-15x的图象关于对称.答案原点6.使log2(-x)x+1成立的x的取值范围是.答案(-1,0)作函数的图象1.作出下列函数的图象. (1)y=2-xx+1;(2)y=12|x+1|;(3)y=|log2x-1|;(4)y=x2-2|x|-1.解析(1)易知函数的定义域为x|x-1,xR.y=2-xx+1=-1+3x+1,因此把y=3x的图象向左平移1个单位长度,向下平移1个单位长度,即可得到函数y=2-xx+1的图象,如图所示.(2)先作出y=12x,x0,+)的图象,然后作出其关于y轴对称的图象,再将整个图象向左平移1个单位长度,即可得到y=1
5、2|x+1|的图象,如图所示.(3)先作出y=log2x的图象,再将其图象向下平移1个单位长度,保留x轴上方的部分,然后将x轴下方的图象翻折到x轴上方来,即可得到y=|log2x-1|的图象,如图所示.(4)y=x2-2x-1(x0),x2+2x-1(x0)的图象如图所示.2.画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)=2x的图象经过怎样的变换得到的.(1)y=2x-1;(2)y=2x+1;(3)y=-2x;(4)y=2|x|;(5)y=|2x-1|;(6)y=-2-x.解析(1)y=2x-1的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位长度得到的.(2)y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上
6、平移1个单位长度得到的.(3)y=-2x的图象与y=2x的图象关于x轴对称.(4)y=2|x|的图象是由y=2x的y轴右边的图象和其关于y轴对称的图象组成的.(5)y=|2x-1|的图象是由y=2x的图象先向下平移1个单位长度,再将其x轴下方的图象翻折到x轴上方得到的.(6)y=-2-x的图象与y=2x的图象关于原点对称.3.对a、bR,记maxa,b=a,ab,b,ab,函数f(x)=max|x|,-x2-2x+4(xR).(1)求f(0), f(-4)的值;(2)写出函数f(x)的解析式,并作出函数f(x)的图象;(3)若关于x的方程f(x)=m有且仅有3个不等的解,求实数m的值.(只需写
7、出结论)解析(1)maxa,b=a,ab,b,ab,函数f(x)=max|x|,-x2-2x+4,f(0)=max0,4=4, f(-4)=max4,-4=4.(2)f(x)=-x,x-1-172,-x2-2x+4,-1-172xb)的大致图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的大致图象是()答案(1)A(2)A角度三根据实际背景、图形判断函数图象典例3如图,矩形ABCD的周长为8,设AB=x(1x3),线段MN的两个端点在矩形的边上滑动,且MN=1,当N沿ADCBA在矩形的边上滑动一周时,线段MN的中点P所形成的轨迹为G,记G围成的区域的面积为y,则函数y=f(x)的图象大致为()答案D规律
8、总结函数图象的识辨可从以下方面入手(1)由函数的定义域判断图象的左右位置;由函数的值域判断图象的上下位置;(2)由函数的单调性判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性判断图象的对称性;(4)由函数的周期性判断图象的循环往复;(5)由特殊点排除不符合要求的图象.1.函数y=2|x|sin 2x的图象可能是()答案D令f(x)=2|x|sin 2x,因为xR, f(-x)=2|-x|sin(-2x)=-2|x|sin 2x=-f(x),所以f(x)=2|x|sin 2x为奇函数,故排除选项A,B;因为x2,时, f(x)0,选D.3.(2019河南郑州三模)我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时
9、少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征.函数f(x)=x4|4x-1|的图象大致是()答案D对于函数f(x)=x4|4x-1|, f(-x)=(-x)4|4-x-1|=x44x|4x-1|,易得f(x)为非奇非偶函数,排除A、B,当x+时, f(x)=x44x-10,排除C.故选D.4.如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为()答案B当点P与
10、C、D重合时,易求得PA+PB=1+5;当点P为DC的中点时,有OPAB,则x=2,易求得PA+PB=2PA=22.显然1+522,故当x=2时, f(x)没有取到最大值,则C、D选项错误.当x0,4时, f(x)=tan x+4+tan2x,不是一次函数,排除A.故选B.函数图象的变换及应用角度一研究函数的性质典例4(1)已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是()A. f(x)是偶函数,递增区间是(0,+)B. f(x)是偶函数,递减区间是(-,1)C. f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)D. f(x)是奇函数,递增区间是(-,0)(2)已知函数f(x)=|x|(x-a)
11、,a0.作出函数f(x)的图象;写出函数f(x)的单调区间;当x0,1时,根据图象写出f(x)的最小值.答案(1)C解析(1)由题意得f(x)=x2-2x,x0,-x2-2x,x0,作出函数f(x)的图象,如图所示,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且递减区间是(-1,1).(2)由题意得f(x)=x(x-a),x0,-x(x-a),x1,即a2时,f(x)min=f(1)=1-a;当0a21,即0a2时, f(x)min=fa2=-a24.综上, f(x)min=-a24,02.角度二解不等式典例5已知奇函数f(x)在(-,0)上是减函数,若f(-2)=0
12、,则xf(x)0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.-1,0)B.0,+)C.-1,+)D.1,+)答案C规律总结利用函数图象的直观性求解相关问题,关键在于准确作出函数图象,根据函数解析式的特征和图象的直观性先确定函数的相关性质,特别是函数图象的对称性,然后解决相关问题.1.(2020北京,6,4分)已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)0的解集是() A.(-1,1)B.(-,-1)(1,+)C.(0,1)D.(-,0)(1,+)答案D不等式f(x)0等价于不等式2xx+1,作出函数y=2x和函数y=x+1的图象,如图所示,易知两个函数图象
13、的交点坐标为(1,2)和(0,1),观察函数图象可知,当x1或xx+1,故不等式f(x)0的解集为(-,0)(1,+),故选D.2.(2020山东泰安一中模拟)已知函数f(x)=log12x,x0,2x,x0,若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实数根,则实数k的取值范围是.答案(0,1解析作出函数y=f(x)的图象与直线y=k,如图所示,由图可知k(0,1.A组基础达标1.(2020广州四校联考)函数y=xcos x+ln|x|x的部分图象大致为()答案A2.(2020广东广雅模拟)若函数f(x)=ax+b,x0时, f(x)=2x-4.若关于x的方程f(x)=k恰有两个实根,则k的取值范
14、围是()A.(-3,0)(0,3)B.-3,0)(0,3C.(-3,3)D.-3,3答案A6.若函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(2-x)的图象是()答案C把y=f(x)的图象先关于y轴对称,得到y=f(-x)的图象,再向右平移两个单位长度,即可得到y=f(-(x-2)=f(2-x)的图象.故选C.7.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x0,2时, f(x)=x-1,则不等式xf(x)0在(-1,3)上的解集为()A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)(1,3)D.(-1,0)(0,1)答案C作出函数f(x)的图象如图所示.当x(-1,0)时,由xf(x)0得x(-1,0);当
15、x(0,3)时,由xf(x)0得x(1,3).故原不等式的解集为(-1,0)(1,3).8.若函数y=f(x)的大致图象如图所示,则f(x)的解析式可能是()A.f(x)=xex+e-xB.f(x)=xex-e-xC.f(x)=ex+e-xxD.f(x)=ex-e-xx答案CB组能力拔高9.已知函数y=f(x)的周期为2,当x-1,1时, f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lg x|的图象的交点共有()A.10个B.9个C.8个D.7个答案A根据函数y=f(x)的周期为2,且当x-1,1时, f(x)=x2,g(x)=|lg x|,在同一平面直角坐标系中分别作出这两个函数的
16、图象如图所示.由图可知,交点共有10个,故选A.10.已知函数f(x)=13x3-12x2,xf(2x)的解集为()A.(-,-3)(1,+)B.(-3,1)C.(-,-1)(3,+)D.(-1,3)答案B当x0时, f(x)=13x3-12x2, f (x)=x2-x,当x0, f(x)单调递增,且x0时, f(x)0,f(x)f(2x)可转化为3-x22x,解得-3x1,故选B.11.已知函数f(x)=2x(x0)的图象与函数g(x)=ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是()A.(-,2)B.(-,e)C.(2,e)D.(e,+)答案B函数f(x)=2x(x0),要
17、使得函数f(x)=2x(x0)的图象与函数g(x)=ln(x+a)的图象存在交点,在同一平面直角坐标系中作出函数y=12x(x0)的大致图象与函数g(x)=ln(x+a)的大致图象,如图所示,由图可得g(0)=ln(0+a)120,解得ae.故选B.12.(2020内蒙古师大附中模拟)已知函数y=f(x+1)的图象过点(3,2),则函数y=f(x)的图象关于x轴对称的图象一定过点.答案(4,-2)解析因为函数y=f(x+1)的图象过点(3,2),所以函数y=f(x)的图象一定过点(4,2),所以函数y=f(x)的图象关于x轴对称的图象一定过点(4,-2).C组思维拓展13.(2020湖北武汉调
18、研)定义在R上的函数f(x)=lg|x|,x0,1,x=0,若关于x的方程f(x)=c(c为常数)恰有3个不同的实数根x1,x2,x3,则x1+x2+x3=.答案0解析由题意知函数f(x)的大致图象如图所示,方程f(x)=c有3个不同的实数根,即y=f(x)的图象与y=c的图象有3个不同的交点,易知c=1,且一根为0,由lg|x|=1知另两根为-10和10,故x1+x2+x3=0.14.已知f(x)=|log4x|,04,a,b,c,d是互不相同的正数,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd的取值范围是.答案(24,25)解析先画出函数f(x)=|log4x|,04的图象,如图所示.因为a,b,c,d互不相同,所以不妨设abcd,又f(a)=f(b)=f(c)=f(d),所以-log4a=log4b,则log4a+log4b=0,得ab=1,则abcd=cd,由c+d=10,且cd得cdc+d22=25,且cd=c(10-c)=-(c-5)2+25,当c=4时,d=6,此时cd=24,但此时b,c相等,故abcd的取值范围是(24,25).
