1、2015-2016学年福建省宁德市福安一中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合M=1，0，1，N=x|x22x0，则MN=（）A1，0，1B0，1，2C0，1D1，02已知a为实数，若复数z=a21+（a+1）i为纯虚数，则（a+i2015）（1+i）=（）A2B2C1D13下列函数中，定义域为R且为增函数的是（）ABy=x3Cy=lnxDy=tanx4等比数列an中，a3=8前三项和为S3=24，则公比q的值是（）A1BC1或D1或5如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（）A20
2、15B1CD26已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（23），则实数k=（）AB0C3D7已知f（x）=sin2（x+），若a=f（lg5），b=f（lg），则（）Aa+b=0Bab=0Ca+b=1Dab=18已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A27B18C273D1839给出命题p：若平面与平面不重合，且平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则；命题q：向量=（2，1），=（，1）的夹角为钝角的充要条件为（，+）关于以上两个命题，下列结论中正确的是（）A命题“pq”为假B命题“pq”为真C命题“pq”为假D命题“pq”为真10若0，sin2=，则cos=（）
3、ABCD11已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（）ABCD12已知函数f（x）的定义域为R且f（x）=，f（x+1）=f（x1），则方程f（x）=在区间3，3的所有实根之和为（）A8B2C0D1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知函数f（x）=logax（a，0且a1）满足f（9）=2，则a=14已知实数X，Y满足：，z=|2x2y1|，则z的取值范围是15若函数f（x）=x33ax2bx，其中a，b为实数f（x）在区间1，2上为减函数，且b=9a，则a的取值范围16设三棱柱的侧棱垂直于底面，
4、所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17如图，在ABC中，点D在边AB上，AD=DC，DEAC，E为垂足（1）若BCD的面积为，求CD的长；（2）若，求角A的大小18在数列an中，已知a1=2，an+1=4an3n+1，nN（1）设bn=ann，求证：数列bn是等比数列；（2）求数列an的前n项和Sn19如图，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD=90，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点（1）求证：PB平面EFG；（2）求异面直线EG与BD所成角的余弦
5、值20如图所示，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆E： +=1内一点P（1，1）的一条直线与椭圆交于点A，C，且=，其中为常数（1）求椭圆E的离心率；（2）当点C恰为椭圆的右顶点时，试确定对应的值；（3）当=1时，求直线AC的斜率21已知函数f（x）=x3x2+cx+d有极值（）求c的取值范围；（）若f（x）在x=2处取得极值，且当x0时，f（x）d2+2d恒成立，求d的取值范围选修4-4：坐标系与参数方程22已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程为=sin（）（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲
6、线C相交于M、N两点，求M、N两点间的距离解答题（共1小题，满分10分）23设对于任意实数x，不等式|x+7|+|x1|m恒成立（1）求m的取值范围；（2）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x3|2x2m122015-2016学年福建省宁德市福安一中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合M=1，0，1，N=x|x22x0，则MN=（）A1，0，1B0，1，2C0，1D1，0【考点】交集及其运算【分析】求出N中不等式的解集，找出M与N的交集即可【解答】解：由N中的不等
7、式变形得：x（x2）0，解得：0x2，即N=x|0x2，M=1，0，1，MN=0，1故选：C2已知a为实数，若复数z=a21+（a+1）i为纯虚数，则（a+i2015）（1+i）=（）A2B2C1D1【考点】复数代数形式的混合运算【分析】由纯虚数的概念可得a21=0，a+10，解得a=1，即有（1+i2015）（1+i），运用i的乘方性质和乘法运算，即可得到所求值【解答】解：复数z=a21+（a+1）i为纯虚数，可得a21=0，a+10，解得a=1则（1+i2015）（1+i）=（1+i4503+3）（1+i）=（1+i3）（1+i）=（1i）（1+i）=1i2=1+1=2故选：A3下列函数中
8、，定义域为R且为增函数的是（）ABy=x3Cy=lnxDy=tanx【考点】正切函数的单调性；函数单调性的判断与证明【分析】根据反比例函数，对数函数，和正切函数的定义域以及y=x3的单调性便可找出正确选项【解答】解：A.的定义域不是R，该选项错误；By=x3的定义域为R，且为增函数，该选项正确；Cy=lnx的定义域不是R，该选项错误；Dy=tanx的定义域不是R，该选项错误故选B4等比数列an中，a3=8前三项和为S3=24，则公比q的值是（）A1BC1或D1或【考点】等比数列的前n项和【分析】由题意可得q的方程，解方程可得【解答】解：由题意可得S3=a1+a2+a3=+8=24，整理可得2q
9、2q1=0，即（2q+1）（q1）=0，解得q=1或q=故选：D5如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（）A2015B1CD2【考点】程序框图【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该循环中S的值是以3为周期的，计算出k=2014时S的值即可【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=2，k=0，S=1；k=1，S=；k=2，S=2；k=3，；所以，该循环中S的值是以3为周期的，且k=2014=3671+1时，S=，k=2015时，终止循环，输出S=故选：C6已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（23），则实数k=（）AB0C3D【考点】平面向量的坐标运算【分析】根据两
10、个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可【解答】解：=（k，3），=（1，4），=（2，1）23=（2k3，6），（23），（23）=02（2k3）+1（6）=0，解得，k=3故选：C7已知f（x）=sin2（x+），若a=f（lg5），b=f（lg），则（）Aa+b=0Bab=0Ca+b=1Dab=1【考点】二倍角的余弦；对数的运算性质；余弦函数的定义域和值域【分析】由题意，可先将函数f（x）=sin2（x+）化为f（x）=，再解出a=f（lg5），b=f（lg）两个的值，对照四个选项，验证即可得到答案【
11、解答】解：f（x）=sin2（x+）=又a=f（lg5），b=f（lg）=f（lg5），a+b=+=1，ab=sin2lg5故C选项正确故选C8已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A27B18C273D183【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知几何体为直四棱柱且中间挖去半个圆柱，根据三视图的数据求四棱柱和圆柱的高、以及底面上的几何元素对应的数据，代入体积公式计算即可【解答】解：由三视图可知，该几何体为放到的直四棱柱，且中间挖去半个圆柱，由三视图中的数据可得：四棱柱的高为3，底面为等腰梯形，梯形的上、下底边分别为2、4，高为2，圆柱的高为3，圆柱底面的半径都是1，几何
12、体的体积V=，故选：B9给出命题p：若平面与平面不重合，且平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则；命题q：向量=（2，1），=（，1）的夹角为钝角的充要条件为（，+）关于以上两个命题，下列结论中正确的是（）A命题“pq”为假B命题“pq”为真C命题“pq”为假D命题“pq”为真【考点】复合命题的真假【分析】命题p：由已知可得或相交，即可得出真假；命题q：向量=（2，1），=（，1）的夹角为钝角的充要条件为，解出即可判断出真假再利用复合命题真假的判定方法即可得出【解答】解：命题p：若平面与平面不重合，且平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则或相交，因此是假命题；命题q：向量=（2，1），=（
13、，1）的夹角为钝角的充要条件为，210，解得，由+2=0，解得=2，此时与异向共线，因此向量=（2，1），=（，1）的夹角为钝角的充要条件为（，+）且2，因此是假命题关于以上两个命题，下列结论中正确的是“pq”为假命题故选：A10若0，sin2=，则cos=（）ABCD【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系【分析】由已知可求20，由sin2=，则由同角三角函数关系式可求cos2，由半角公式即可求cos的值【解答】解：0，20，由sin2=，则cos2=，cos=故选：C11已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是
14、（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正边长的关系，求出边长，即求出底面正的面积；得出棱柱的表面积【解答】解：由球的体积公式，得R3=，R=1正三棱柱的高h=2R=2设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为： a=1，a=2该正三棱柱的表面积为：3a2R+2=18故选C12已知函数f（x）的定义域为R且f（x）=，f（x+1）=f（x1），则方程f（x）=在区间3，3的所有实根之和为（）A8B2C0D1【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断【分析】由题意作出函数y=f（
15、x）与函数y=在区间3，3上的图象，结合图象求解即可【解答】解：f（x+1）=f（x1），即有f（x+2）=f（x），f（x）是周期为2的周期函数，又f（x）=，作函数f（x）与函数y=2+在区间3，3上的图象如右：结合图象可知，图象共有3个交点，即共有3个实根，其中有两个关于原点对称，第三个为1；故其实根之和为1；故选D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知函数f（x）=logax（a，0且a1）满足f（9）=2，则a=【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】根据f（9）=2建立等式，利用对数与指数的互化建立等式，解之即可求出所求【解答】解：由f（9）=2得f（
16、9）=loga9=2即a2=9，而a0所以a=3故答案为：314已知实数X，Y满足：，z=|2x2y1|，则z的取值范围是【考点】基本不等式【分析】先画出可行域，再把目标函数变形为直线的斜截式，根据其在y轴上的截距即可求之【解答】解：画出可行域，如图所示解得A（，），C（2，1）把设z=|t|，则t=2x2y1t=2x2y1变形为y=xt，则直线经过点A时t取得最小值；则直线经过点C时t取得最大，所以tmin=221=，tmax=222（1）1=5z的取值范围为0，5）故答案为：0，5）15若函数f（x）=x33ax2bx，其中a，b为实数f（x）在区间1，2上为减函数，且b=9a，则a的取值
17、范围【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出f（x）的导数，问题转化为3x26ax9a0在1，2恒成立，得到关于a的不等式组，解出即可【解答】解：由b=9a，得f（x）=）=x33ax29ax，f（x）=3x26ax9a，若f（x）在区间1，2上为减函数，则3x26ax9a0在1，2恒成立，解得：a1，故答案为：1，+）16设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为【考点】正弦定理的应用；棱柱的结构特征；球的体积和表面积【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三
18、棱柱，设上下底面中心连线EF的中点O，则O就是球心，则其外接球的半径为OA1，又设D为A1C1中点，在直角三角形EDA1中，EA1=在直角三角形OEA1中，OE=，由勾股定理，球的表面积为，故答案为：三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17如图，在ABC中，点D在边AB上，AD=DC，DEAC，E为垂足（1）若BCD的面积为，求CD的长；（2）若，求角A的大小【考点】解三角形【分析】（1）利用三角形的面积公式，求出BD，再用余弦定理求CD；（2）先求CD，在BCD中，由正弦定理可得，结合BDC=2A，即可得结论【解答】解：（1）BCD的面积为
19、，BD=在BCD中，由余弦定理可得=；（2），CD=AD=在BCD中，由正弦定理可得BDC=2AcosA=，A=18在数列an中，已知a1=2，an+1=4an3n+1，nN（1）设bn=ann，求证：数列bn是等比数列；（2）求数列an的前n项和Sn【考点】数列的求和；等比关系的确定【分析】（1）确定数列bn是等比数列，则要证明是个不为0的定值，结合题干条件即可证，（2）首先根据（1）求出数列bn的通项公式，然后根据题干条件求得an=bn+n=4n1+n，结合等差数列和等比数列的求和公式即可解答【解答】解：（1），且b1=a11=1bn为以1为首项，以4为公比的等比数列，（2）由（1）得bn
20、=b1qn1=4n1an=bn+n=4n1+n，=，19如图，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD=90，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点（1）求证：PB平面EFG；（2）求异面直线EG与BD所成角的余弦值【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定【分析】（1）取AB的中点M，连接EM，MG利用平行四边形的性质、三角形的中位线定理可得MGEF即四点E，F，G，M共面而在三角形PAB中，再利用三角形的中位线定理可得PBEM，利用线面平行的判定定理可得PB平面EFGM（2）通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可得出异面直线的夹角【解答】（1）
21、证明：取AB的中点M，连接EM，MGMGAD，ADEF，MGEF四点E，F，G，M共面而在三角形PAB中，PBEM，又PB平面EFGM，EM平面EFGMPB平面EFGM即得PB平面EFG（2）解：如图所示，建立空间直角坐标系则B（2，0，0），D（0，2，0），G（1，2，0），E（0，0，1）=（2，2，0），=（1，2，1）=异面直线EG与BD所成角的余弦值为20如图所示，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆E： +=1内一点P（1，1）的一条直线与椭圆交于点A，C，且=，其中为常数（1）求椭圆E的离心率；（2）当点C恰为椭圆的右顶点时，试确定对应的值；（3）当=1时，求直线AC的斜率【考点】
22、直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）因为a2=4，b2=3，由此能求出离心率（2）因为C（2，0），所以直线PC的方程为y=x+2，由，能求出（3），设A（x1，y1），C（x2，y2），利用点差法能求出【解答】（本小题满分16分）解：（1）因为a2=4，b2=3，所以c2=1，即a=2，c=1，所以离心率（2）因为C（2，0），所以直线PC的方程为y=x+2，由，解得，代入中，得（3）因为=1，所以，设A（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=2，又，两式相减，得，即，从而，即21已知函数f（x）=x3x2+cx+d有极值（）求c的取值范围；（）若f（x）在x=2处
23、取得极值，且当x0时，f（x）d2+2d恒成立，求d的取值范围【考点】函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（I）由已知中函数解析式f（x）=x3x2+cx+d，我们易求出导函数f（x）的解析式，然后根据函数f（x）=x3x2+cx+d有极值，方程f（x）=x2x+c=0有两个实数解，构造关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围；（）若f（x）在x=2处取得极值，则f（2）=0，求出满足条件的c值后，可以分析出函数f（x）=x3x2+cx+d的单调性，进而分析出当x0时，函数的最大值，又由当x0时，f（x）d2+2d恒成立，可以构造出一个关于d的不等式，解不等式
24、即可得到d的取值范围【解答】解（）f（x）=x3x2+cx+d，f（x）=x2x+c，要使f（x）有极值，则方程f（x）=x2x+c=0有两个实数解，从而=14c0，c（）f（x）在x=2处取得极值，f（2）=42+c=0，c=2f（x）=x3x22x+d，f（x）=x2x2=（x2）（x+1），当x（，1时，f（x）0，函数单调递增，当x（1，2时，f（x）0，函数单调递减x0时，f（x）在x=1处取得最大值，x0时，f（x）恒成立，即（d+7）（d1）0，d7或d1，即d的取值范围是（，7）（1，+）选修4-4：坐标系与参数方程22已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系
25、的x轴的正半轴重合直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程为=sin（）（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于M、N两点，求M、N两点间的距离【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程；直线的参数方程【分析】（1）利用直角坐标与极坐标间的关系，将曲线C的极坐标方程：=2 sin（+）化成直角坐标方程：x2+y2xy=0，问题得以解决；（2）先将直线l的参数方程化成普通方程：4x3y+1=0，由（1）得曲线C是以（）为圆心，半径等于的圆，结合点到直线的距离公式及圆的几何性质，可求得M、N两点间的距离【解答】解：（1）将曲线C的极坐标方程化为=sin（）=co
26、s+sin两边都乘以，得2=cos+sin因为x=cos，y=sin，2=x2+y 2代入上式，得方求曲线C的直角坐标方程为：x2+y2xy=0（2）直线l的参数方程是（t为参数），消去参数t得普通方程：4x3y+1=0，将圆C的极坐标方程化为普通方程为：x2+y2xy=0，所以（）为圆心，半径等于所以，圆心C到直线l的距离d=所以直线l被圆C截得的弦长为：|MN|=2 =即M、N两点间的距离为解答题（共1小题，满分10分）23设对于任意实数x，不等式|x+7|+|x1|m恒成立（1）求m的取值范围；（2）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x3|2x2m12【考点】绝对值不等式的解法【分析】（1）要使不等式|x+7|+|x1|m恒成立，需f（x）=|x+7|+|x1|的最小值大于或等于m，问题转化为求f（x）的最小值（2）当m取最大值8时，原不等式等价于：|x3|2x4，去掉绝对值符号，解此不等式【解答】解：（1）设f（x）=|x+7|+|x1|，则有f（x）=，当x7时，f（x）有最小值8；当7x1时，f（x）有最小值8；当x1时，f（x）有最小值8综上f（x）有最小值8，所以，m8（2）当m取最大值时m=8，原不等式等价于：|x3|2x4，等价于：，或，等价于：x3或x3，所以原不等式的解集为x|x2016年10月13日
