1、正、余弦定理在三角形中的应用【知识梳理】三角形的面积公式(1)Saha(ha表示a边上的高)(2)Sabsin Cbcsin Aacsin B.【常考题型】题型一、三角形的面积计算【例1】在ABC中，已知C120，AB2，AC2，求ABC的面积解由正弦定理知，即，所以sin B，由于ABAC，所以CB，故B30.从而A1801203030.所以ABC的面积SABACsin A22sin 30 .【类题通法】1求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值2事实上，在众多公式中，最常用的公式是SABCabsin
2、 Cbcsin Aacsin B，即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式【对点训练】1(1)在ABC中，若A60，b16，SABC64，则c_.(2)在ABC中，若a3，b2，c4，则其面积等于_解析：(1)由已知得SABCbcsin A，即6416csin 60，解得c16.(2)由余弦定理得cos A，所以sin A ，于是SABCbcsin A24.答案：(1)16(2)题型二、三角形中的恒等式证明问题【例2】在ABC中，求证：.解法一：左边右边，其中R为ABC外接圆的半径.法二：左边右边，(
3、cos C0).【类题通法】解决此类问题，既要用到三角形中特有的恒等变形公式，又要用到任意角三角函数的恒等变形公式，两者要结合，灵活运用三角形边和角的相互转换公式，主要是正弦定理、余弦定理这两个定理，因此这类题型都可用不同的途径求解【对点训练】2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：c.证明：由余弦定理的推论得cos B，cos A，代入等式右边，得右边c左边，c.题型三、三角形中的综合问题【例3】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(BC)16cos Bcos C.(1)求cos A；(2)若a3，ABC的面积为2，求b，c.解(1)由3cos(BC
4、)16cos Bcos C，得3(cos Bcos Csin Bsin C)1，即cos(BC)，从而cos Acos(BC).(2)由于0A，cos A，所以sin A.又SABC2，即bcsin A2，解得bc6.由余弦定理a2b2c22bccos A，得b2c213，解方程组得或【类题通法】解决三角形的综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函数、三角恒等变换、方程等知识因此，掌握正、余弦定理，三角函数的公式和性质是解题关键【对点训练】3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos，3.(1)求ABC的面积；(2)若bc6，求a的值解：(1
5、)cos，cos A2cos21，sin A.又由3，得bccos A3，bc5，SABCbcsin A2.(2)bc5，bc6，b5，c1或b1，c5.由余弦定理，得a2b2c22bccos A20，a2.【练习反馈】1已知ABC的面积为，且b2，c，则A的大小为()A60或120B60C120 D30或150解析：选A由SABCbcsin A得2sin A，所以sin A，故A60或120，故选A.2在ABC中，若，则()AAC B.ABCBC D以上都不正确解析：选Csin Bcos Ccos Bsin Csin(BC)0又BC，BC0，即BC.3等腰ABC中，顶角A120，腰长AB1，
6、则底边BC长为_解析：易知BC30，由正弦定理知：，BC.答案：4三角形的两边分别为3 cm,5 cm，它们所夹角的余弦值为方程5x27x60的根，则这个三角形的面积为_解析：方程5x27x60的两根为x12，x2，因此两边夹角的余弦值等于，并可求得正弦值为，于是三角形面积S356(cm2)答案：6 cm25在ABC中，若B30，AB2，AC2，求ABC的面积解：AB2，AC2，B30，根据正弦定理，有sin C，又ABAC，CB，则C有两解，(1)当C为锐角时，C60，A90，SABCABACsin A2.(2)当C为钝角时，C120，A30，SABCABACsin A.综上可知，ABC的面积为2或.