1、福建省莆田第二十四中学2019-2020学年高一数学下学期期中测试试题（含解析）本卷满分150分，考试时间150分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由可得，然后由诱导公式
2、和同角三角函数的关系对选项进行逐一判断，即可得到答案.【详解】由可得，则A. ，所以不正确.B. ,所以不正确.C. ,所以不做正确.D. ,所以正确.故选：D【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数的关系，属于基础题.2.下列函数中最小正周期为的函数是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三角函数周期公式即可得到答案.【详解】A选项的最小正周期为；B选项的最小正周期为；C选项的最小正周期为；D选项的最小正周期为.故选：D【点睛】本题考查三角函数的周期性，属基础题.3.已知终边与单位圆的交点，且，则的值等于（ ）A. B. C. 3D. 【答案】C【解析】【分析】根据三角函
3、数的定义求解正余弦值，利用二倍角公式化简求值.【详解】为第二象限角，且，原式=.故选：C【点睛】此题考查三角函数的定义，根据三角函数的定义求解三角函数值，根据二倍角公式进行三角恒等变换化简求值.4.已知，那么=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根据同角三角函基本关系求出与，再由诱导公式计算可得.【详解】解：故选：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及诱导公式，属于基础题.5.已知，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】写出的坐标，由，得，即求.【详解】，.故选：.【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，考查了向量加法运算，属于基础题.6.已知
4、关于x的方程在区间恰有两个根，则（ ）A. 1B. -1C. 1或-1D. 2a【答案】A【解析】【分析】先利用辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的对称性可求，代入即可求解【详解】由在区间恰有两个根.根据对称性可知，或.当时，当时，故选：A【点睛】本题主要考查了正弦函数对称性的应用，属于基础试题7.已知A，B，C是平面上不共线的三个点，若，则ABC一定是( )A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 锐角三角形【答案】B【解析】【分析】设，利用向量加法的平行四边形法则以及向量共线定理可得点P在BC边上的中线，也在的平分线上，结合三角形的性质即可得出选项.【详解】设，则根
5、据平行四边形法则知点P在BC边上的中线所在的直线上.设，它们都单位向量，由平行四边形法则，知点P也在的平分线上，所以ABC定是等腰三角形.故选：B【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则、向量的共线定理，属于基础题.8.已知，为锐角，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知结合诱导公式及两角和的正切公式，先进行化简，然后代入到所求式子后，结合基本不等式即可求出最值，即可得出答案【详解】解：，当且仅当即时取等号，所以的最小值为.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换以及基本不等式的运用，涉及诱导公式、两角和的正切公式，考查化简计算能力.9.如图所示，某摩天轮
6、设施，其旋转半径为50米，最高点距离地面110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟. 某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为（ ）A. 75米B. 85米C 米D. 米【答案】B【解析】【分析】建立直角坐标系，利用三角函数定义将摩天轮的高度求出，即可求解.【详解】以摩天轮的圆心为坐标原点，平行地面的直径所在的直线为轴，建立直角坐标系，设时刻的坐标为，转过的角度为，根据三角函数的定义有，地面与坐标系交线方程为 ，则第7分钟时他距离地面的高度大约为.故选:B【点睛】本题考查三角函数的应用，属于中档题.10.已知函数的图像与函数的图像交于M，
7、N两点，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，利用同角三角函数商数关系和平方关系可得，解方程即可得，即可得解.详解】由得即，即，解得或，由可得，或，显然MN与x轴交于点，.故选：B.【点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A. f（x）的最小正周期为2B. f（x）的最大值为C. f（x）在上单调递增D. f（x）的图象关于直线x对称【答案】B【解析】【分析】根据倍角公式和辅助角公式化简，得.可直接判断的正误；选项，求出的取值范围，判断的单调性，即得的正误；选项，把代入，看是否取得最值
8、，即得的正误.【详解】.的最小正周期为，最大值为，故错误，正确.对，当时，又在上单调递减，在上单调递减.故错误.对，不是最值，故错误.故选：.【点睛】本题考查三角恒等变换和三角函数的性质，属于中档题.12.己知函数为f（x）的一个零点，x为f（x）图象的一条对称轴，且f（x）在（0，）上有且仅有7个零点，下述结论正确的是（ ）A. B. f（x）的最小正周期为C. D. f（x）在（0，）上单调递增【答案】D【解析】【分析】根据的零点和对称轴，可以推出为奇数，再结合在上有且仅有7个零点，推出的值，进而推出的值以及函数单调性【详解】为的一个零点，x为f（x）图象的一条对称轴，所以且 ， 将两式相
9、减得：，.设，当时，（0，）上有且仅有7个零点，即在上有且仅有7个零点，又所以，即又，所以，再由x为f（x）图象的一条对称轴有： 所以，由，所以.则，则由.得，所以在上单调递增.所以在上单调递增.故选：D【点睛】本题考查了正弦函数的奇偶性和对称性，考查了正弦型函数的单调性，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于难题二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.化简：_【答案】【解析】【分析】原式利用诱导公式化简，约分即可得到答案【详解】原式故答案为【点睛】本题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解决本题的关键，属于中档题14.已知函数的最小正周
10、期为，其图象向左平移个单位后所得图象关于轴对称，则：_；当时，的值域为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】首先根据函数的性质计算函数的解析式，再根据函数的定义域计算的范围，计算函数的值域.【详解】因为，可得，函数向左平移个单位后得到 ，因为函数是偶函数，所以，因为，所以，所以；当时，所以的值域为.故答案为：；【点睛】本题考查三角函数的性质和解析式，意在考查对称性和函数的值域，属于中档题型.15.若,则x的取值范围是_；若,则x的取值范围是_.【答案】 (1). (2). ,【解析】【分析】根据,又因为,结合特殊的三角函数值,即可就出解;利用换元法令,则转化为,解得,结合即可求出不
11、等式的的解.【详解】解：由,又因为,解得：;令,则,解得,故答案为：（1）;（2）,.【点睛】本题考查特殊角的三角函数值,以及根据三角函数的值域求参数,属于简单题.16.在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上，且，则向量的坐标为_.【答案】【解析】【分析】点在的平分线可知与向量共线，利用线性运算求解即可.【详解】因为点在的平线上，所以存在使，而，可解得，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，利用向量的坐标求向量的模，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知是关于的方程的一个实根，且是第三象限角（1）求的值；（2）
12、求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）形如，分子，分母同时除以，运算即可得解. （2）形如，除以，构造齐次式运算即可.【详解】解：是关于的方程个实根，且是第三象限角，或（舍去）（1）（2）【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，中档题.18.已知平面向量，满足.（1），求与的夹角；（2）若对一切实数，不等式恒成立，求与的夹角.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量数量积的定义及性质即可求解（2）利用平方化简不等式可得恒成立，利用判别式求解即可.【详解】（1），即，.（2）不等式两边平方可得:恒成立，即，故，只能，而，所以.【点睛】本题主要考查了向量的数量积定义，性质
13、，不等式恒成立，属于中档题.19.如图，函数，其中的图象与y轴交于点（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间；（3）求使的x的集合【答案】（1）,（2），,（3）【解析】【分析】（1）由函数图像过定点，代入运算即可得解；（2）由三角函数的单调增区间的求法求解即可；（3）由，求解不等式即可得解.【详解】解：（1）因为函数图象过点，所以，即因为，所以（2）由（1）得，所以当，即，时，是增函数，故的单调递增区间为，（3）由，得，所以，即，所以时，x的集合为【点睛】本题考查了利用函数图像的性质求解函数解析式，重点考查了三角函数单调区间的求法及解三角不等式，属基础题.20.已知为坐标原点，.（1）求函数
14、在上的单调增区间；（2）当时，若方程有根，求的取值范围.【答案】（1）单调增区间为， （2）【解析】【分析】（1）通过向量的坐标运算求出，通过三角公式整理化简，然后可求得其单调区间；（2）将方程有根转化为在上有解，求出在上的值域即可.【详解】（1），则此函数单调增区间：，设，则，所以函数在上的单调增区间为，；（2）当时，若方程有根，所以在上有解，由，得，所以，则，所以.【点睛】本题考查三角函数恒等变形，三角函数的性质，是基础题.21.某同学用“五点法”画函数f（x）Asin（x+）（0，|）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：x+02xAsin（x+）0550（1）请将上表数据
15、补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将yf（x）图象上所有点向左平移（0）个单位长度，得到yg（x）的图象.若yg（x）图象的一个对称中心为（，0），求的最小值.（3）若，求的值.【答案】（1）表格见解析，；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由表中数据求出，即可补全表格，写出解析式；（2）求出函数的解析式.根据的图象的对称中心为和，可求的最小值；（3）由得.由，根据诱导公式和倍角公式可求.【详解】（1）由表中数据可得，解得.数据补全如下表：x+02xAsin（x+）05050函数解析式为.（2）由（1）知，将图象上所有点向左平移个单位长度，得.图象的一个对称中心为，时，.（3）
16、，.【点睛】本题考查求三角函数的解析式、图象变换和三角恒等变换，属于较难的题目.22.已知向量.（1）求函数f（x）的单调增区间.（2）若方程上有解，求实数m的取值范围.（3）设，已知区间a，b（a，bR且ab）满足：yg（x）在a，b上至少含有100个零点，在所有满足上述条件的a，b中求ba的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据数量积运算和倍角公式、辅助角公式，求出.令，求出的取值范围，即得函数的单调递增区间；（2）由（1）知.当时，求得.令，则方程在上有解，即方程在上有解，即求实数的取值范围；（3）求出函数的解析式，令，得零点的值，可得零点间隔依次为和.若最小，则均为零点，结合函数在上至少含有100个零点，求得的最小值.【详解】（1），.令，得，函数的单调递增区间为.（2）由（1）知.，即.令，则.方程在上有解，即方程在上有解.又在上单调递增，在上单调递减，即.实数的取值范围为.（3）.令，得或，或.函数的零点间隔依次为和.若最小，则均为零点.函数在上至少含有100个零点，.【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的性质、函数与方程及函数的零点，属于难题.
