1、 A基础达标1若向量a，b满足|a|b|1，a与b的夹角为60，则aaab等于()A.B.C1 D2解析：选B.aaab|a|2|a|b|cos 601.2已知单位向量a，b的夹角为，那么|a2b|()A2 B.C2 D4解析：选B.|a|b|1，|a2b|2a24ab4b21411417，所以|a2b|.3若向量a，b，c，满足ab且ac，则c(a2b)()A4 B3C2 D0解析：选D.因为ab，ac，所以bc，所以ac0，bc0，c(a2b)ac2bc000.4已知平面向量a，b是非零向量，|a|2，a(a2b)，则向量b在向量a上的投影的数量为()A1 B1C2 D2解析：选B.因为a
2、(a2b)，所以a(a2b)a22ab|a|22ab42ab0，所以ab2，所以向量b在向量a上的投影的数量为1.5已知非零向量a，b满足2|a|3|b|，|a2b|ab|，则a与b的夹角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选C.|a2b|ab|(a2b)2(ab)2abb2cosa，b.6已知|a|3，|b|5，且a与b的夹角为45，则向量a在向量b上的投影的数量为_解析：由已知得向量a在向量b上的投影的数量为|a|cos 3.答案：7已知向量|a|，ab10，|ab|5，则|b|_解析：因为|a|25，|ab|5，所以|ab|250，即|a|2|b|22ab50，所以5|b|22050
3、，所以|b|5.答案：58若a，b均为非零向量，且(a2b)a，(b2a)b，则a，b的夹角为_解析：设a，b的夹角为，由题知(a2b)a0，(b2a)b0，即|a|22ba|a|22|a|b|cos 0，|b|22ba|b|22|a|b|cos 0，故|a|2|b|2，即|a|b|，所以|a|22|a|a|cos 0，故cos ，因为 0，故.答案：9已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc0，求t的值解：因为bc0，所以bta(1t)b0，即tab(1t)b20，又因为|a|b|1，a，b的夹角为60，所以t1t0，所以t2.10已知非零向量a，b满足|a|1，且(ab
4、)(ab).(1)求|b|；(2)当ab时，求向量a与a2b的夹角的值解：(1)因为(ab)(ab)，即a2b2，即|a|2|b|2，所以|b|2|a|21，故|b|.(2)因为|a2b|2|a|24ab|2b|21111，故|a2b|1.又因为a(a2b)|a|22ab1，所以cos ，又0，故.B能力提升11已知平面向量a，b都是单位向量，若b(2ab)，则a与b的夹角等于()A.B.C.D.解析：选C.设向量a，b的夹角为，因为b(2ab)，所以b(2ab)2abb2211cos 120，解得cos ，又0，所以，即a与b的夹角为，故选C.12如图，在ABC中，ADAB，|1，则等于()
5、A2 B. C. D.解析：选D.|cosDAC|cos|sinBAC|sin B|sin B|.13设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：acbc(ab)c；(bc)a(ca)b不与c垂直；|a|b|ab|；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中正确的序号是_解析：根据向量数量积的分配律知正确；因为(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0，所以(bc)a(ca)b与c垂直，错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|ab|组成三角形的三边，所以|a|b|ab|成立，正确；正确故正确命题的序号是.答案：14已知两个非零向量a，b，夹角120
6、，且(a3b)(7a5b)，问是否存在实数，满足(a4b)(ab)?解：由(a3b)(7a5b)，得(a3b)(7a5b)0.即7|a|215|b|216ab0.由(a4b)(ab)，得(a4b)(ab)0，即|a|24|b|2(14)ab0，又ab|a|b|cos 120|a|b|，把代入得|a|b|，把代入得(4)|a|20.因为|a|0，所以40，即.故存在实数，使(a4b)(ab)C拓展探究15在四边形ABCD中，已知AB9，BC6，2.(1)若四边形ABCD是矩形，求的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，且6，求与夹角的余弦值解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以0，由2，得，.所以22368118.(2)由题意，所以22361818.又6，所以186，所以36.设与的夹角为，又|cos 96cos 54cos ，所以54cos 36，即cos .所以与夹角的余弦值为.