1、课时质量评价(四十八)(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1(2020泸县第二中学高三月考)已知双曲线1(a0，b0)的焦距为4，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为()A2 B4 C6 D8B解析：双曲线1(a0，b0)的两条渐近线方程为yx.因为两条渐近线互相垂直，所以1，得ab.因为双曲线的焦距为4，所以c2.由c2a2b2得2a28，解得a2，所以实轴长为2a4.2已知双曲线C：1(a0，b0)的顶点分别为A1，A2，以线段A1A2为直径的圆与直线axby2ab0相切，且双曲线C的焦距为4，则双曲线C的方程为()Ay21 B1 Cx21 D1A解析：由题意知，圆的半径为a，圆心
2、为(0,0)设圆心到直线的距离为d，则da，所以a23b2.因为双曲线的焦距为4，所以c2，又c2a2b2，解得a，b1，所以双曲线的方程为y21.3已知圆C1：(x4)2y225，圆C2：(x4)2y21，动圆M与C1，C2都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A1(x0)C1(x0)A解析：设动圆M的半径为r，由题意知，|MC1|r5，|MC2|r1，则|MC1|MC2|4|C1C2|8，所以M点的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的左支，且a2，c4，则b212，所以动圆圆心M的轨迹方程为1(x0，b0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴若AB的斜率为3，则C的离心率为
3、_2解析：点B为双曲线的通径位于第一象限的端点，其坐标为，点A的坐标为(a,0)因为AB的斜率为3，所以3，即e13，所以e2.8(2020临沂市高三模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的渐近线与圆F：(x2)2y23相切，且双曲线C的一个焦点与圆F的圆心重合，则双曲线C的方程为_x21解析：由题意，圆F：(x2)2y23的圆心F(2,0)是双曲线C的右焦点，所以c2.双曲线C的渐近线方程为yx.因为双曲线C的渐近线与圆F相切，所以圆心F(2,0)到直线yx的距离等于圆的半径，即，所以b23a2.又c2a2b24，所以a21，b23.所以双曲线C的方程为x21.9已知双曲线C：x2y2m(m0
4、)的焦距为4，且它的渐近线与圆x2(ym)216有交点，连接所有交点的线段围成了几何图形M，则几何图形M的面积为_16解析：由双曲线C：x2y2m(m0)，得1，则c2，解得m4.所以双曲线的渐近线方程为yx.圆x2(ym)216化为x2(y4)216，如图联立解得B(4,4)；联立解得A(4,4)所以几何图形M的面积为8416.10(2021黄冈中学模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)点M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线的方程；(2)求证：0；(3)求F1MF2的面积(1)解：因为e，所以双曲线的实轴、虚轴相等可设双曲线方程为x2y2.因为双曲线
5、过点(4，)，所以1610，即6.所以双曲线方程为1.(2)证明：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则(23，m)，(23，m)，所以(32)(32)m23m2.因为点M在双曲线上，所以9m26，即m230，所以0.(3)解：F1MF2的底边|F1F2|4.由(2)知m，所以F1MF2的高h|m|，所以S46.B组新高考培优练11(2020甘肃适应测试)已知F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P是双曲线上一点若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为，则双曲线的渐近线方程为()Ay2x Byx Cyx DyxD解析：不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|PF2|.由双
6、曲线的定义得|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，所以|PF1|4a，|PF2|2a.又因为所以PF1F2为最小内角，故PF1F2.由余弦定理，得cos，即(ac)20，所以ca，则ba，所以双曲线的渐近线方程为yx.12已知点F为双曲线E：1(a0，b0)的右焦点，直线ykx(k0)与E交于不同象限内的M，N两点若MFNF，设MNF，且，则该双曲线的离心率的取值范围是()A， B2，1C2， D，1D解析：如图，设左焦点为F，连接MF，NF.令|MF|r1，|MF|r2，则|NF|MF|r2.由双曲线的定义可知r2r12a，因为点M与点N关于原点对称，且MFNF，所以|OM|ON
7、|OF|c，所以rr4c2.由得r1r22(c2a2)，又知SMNF2SMOF，所以r1r22c2sin 2，所以c2a2c2sin 2，所以e2.又因为，所以sin 2，所以e22，(1)2又e1，所以e，113(2020泉州模拟)已知椭圆M：1(a0，b0)，双曲线N：1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_；双曲线N的离心率为_12解析：如图，设椭圆的右焦点为F(c,0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A由题意可知A，因为点A在椭圆M上，所以1，所以b2c23a2c24a2b2.因为b2a2c2，所以(a2c
8、2)c23a2c24a2(a2c2)，所以4a48a2c2c40，所以e8e40，所以e42，所以e椭圆1(舍去)或 e椭圆1，所以椭圆M的离心率为1.因为双曲线的渐近线过点A，所以渐近线方程为yx，所以，故双曲线的离心率e双曲线2.14已知椭圆1与双曲线x21的离心率分别为e1，e2，且有公共的焦点F1，F2，则4ee_.若P为两曲线的一个交点，则|PF1|PF2|_.03解析：由题意得椭圆的半焦距满足c4m，双曲线的半焦距满足c1n.因为两曲线有相同的焦点，所以4m1n，即mn3，则4ee4(1n)3(mn)0.不妨设F1，F2分别为两曲线的左、右焦点，点P为两曲线在第一象限的交点，则解得
9、所以|PF1|PF2|3.15已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且2(其中O为原点)，求k的取值范围解：(1)设双曲线C2的方程为1(a0，b0)，则a23，c24.再由a2b2c2，得b21.故双曲线C2的方程为y21.(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得所以k2且k21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.所以x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2.由2，得x1x2y1y22，所以2，即0，解得k23.由得k21，故k的取值范围为.
